山东省青岛市胶州市2019_2020学年高一数学下学期期中学业水平检测试题含解析

1、山东省青岛市胶州市2019-2020学年高一数学下学期期中学业水平检测试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.L某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌.现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行质量检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7种，则=A. 100B. 50C. 20D. 10#【答案】C 【解析】 【分析】 首先计算商品品牌的种数，再按抽样比列式计算.100【详解】由条件可知共有30+10+3

2、5 + 25 = 100种品牌，采用分层抽样，则得：n = 20.故选：C 【点睛】本题考查分层抽样，重点考查抽样比计算，属于基础题型.2,已知向量" = (1,2),向量B = (x,4),且aJJ；,则工=()A. 6B. 2D.【解析】 【分析】 由向量数量积的冲算公式直接列式求解.【详解】由条件可知万_LB,则1x+2x4 = 0,解得：x = -8.故选：D 【点睛】本题考查向量数量积表示垂直关系，属于简单题型.3,复数Z =（i是虚数单位），则z在复平而内对应的点位于（ 2 + 1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数Z,再求复

3、数对应复平面的点所在的象限.i i(2-i)2/ + 1 1 2.(1 2【详解】z =-二=八 = - = - + -11则z在复平面内对应的点是 二，二，2 + 1 (2 + /)(2-/)55 5V5 5；位于第一象限.故选：A【点睛】本题考查复数的除法计算，以及复数的几何意义，属于基础题型.4 .在A43C中，b、。分别是角A、B、。的对边，若，一=- = ' =2点， sin A cosB sin B则A43C的面积为()A. 2B. 4C. y/2D. 2y/2【答案】A【解析】【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆

4、心在斜边的中点，所以由A3C外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.【详解】由正弦定理可知一。一=二=J = 2rsin A sin B sin C已知=-=2>/2 ,所以 sin 8 = cos B 和 sin C = sin B .sin A cos B sin B所以8 = 45'，C = 45'，所以aABC是等腰直角三角形，由条件可知ABC外接圆的半径是JJ，即等腰直角三角形的斜边长为2式，所以='x 2 >/2 x >/?. = 2.2故选：A【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型.5.已

5、知数据补七,020的平均数、标准差分别为7 = 90,久=20,数据如为，乃020的 >一x平均数、标准差分别为SV,若% =m+ 5( = 1，2，,，2020),则()A. y = 45, s = 5B. y = 45, sy = 10 C. y = 50, sy = 5D.5y = 50,5V =10> 】D【解析】【分析】 分别代入平均数和标准差的公式，得到无和下的关系，以及3,和1的关系，计算求值.Y详解% =冷+5( = 1,2,.,2020)五+ 5 + /&+5+. + 弧 + 5 = '|"1甘+毛+. + /。2。 + 520202)

6、2)( 2) 20202)= 15=ix20 = 10.22故选：D【点睛】本题考查样本平均数和标准差的计算公式，重点考查计算化简能力，属于中档题型, 本题的关键是利用公式正确化简两个数据的平均数和标准差.6.已知向量不=。,2), A(6,4), 8(4,3), B为向量几 在向量d上的投影向量，则1=()A. 土£B. 1C. J5D. 45【答案】A【解析】【分析】首先计算而，再根据投影公式计算投影向量的模.由投影公式可知b2 xl + (1)x2故选：A 【点睛】本题考查投影的计算，属于基础题型.7.已知复数3 2i是关于x的方程2/_a+ = 0的一个根，则实数相，的值分别

7、为（）A. 6,8B. 12,0C, 12,26D, 24,26【答案】C【解析】 【分析】由条件可知2x（3 ?（3 2i） + = 0,化简求值.【详解】由条件可知3 2i是方程的一个实数根，则2x（3 ?（3 2i） + = 0化简为：（103加 + ）+ （27 24" = 0,即，解得：加= 12, = 26.2? - 24 = 0故选:c【点睛】本题考查复数的代数计算，重点考查计算化简能力，属于基础题型.8 .在A43C中，若总IA总F,则此三角形为（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角直角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】而，=|而做差化简.衣猫而（=/

8、.而而，利用数量积的公式判断三角形的 形状.【详解】丽，=|丽.：.77-B=ACAB-AB=AB-（AC-AB = ABBC>Qt而通.比 =|通口而卜0$（乃_8） = -府口前卜0$8>0,.cos8<0,即角8为钝角，所以此三角形是钝角三角形.故选:B【点睛】本题考查向量数量积，重点考查转化与化归的思想，计算，化简能力，属于中档题 型.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.9 .已知复数Z =上！（i是虚数单位），则下列结论正确的是（）1A. lzl=V

9、2B.复数z的共规复数之= l+iC.复数z的虚部等于1D. lz2nl=2M,neN*【答案】ACD【解析】【分析】首先化简复数Z = 1 i，再分别分析四个选项，利用复数的相关定义判断.初1 I （I），211 .【佯解】z =-；=1 /i r -i所以|z| = J（_l）2+（_1）2 =壶,故A正确：复数Z的共胡复数N = 1 + i,故B不正确： 复数z的虚部等于-1,故C正确：,=卜）1 = 口）"卜%1 = 2"，eN.故D正确. 故选：ACD【点睛】本题考查复数的的化简，定义，运算律，属于基础题型.10.如图，在梯形A8CO中，AB/CD, AB=2CD

10、t 与8C相交于点O,则下列结 论正确的是（）DABA. AD -AC = AB 2B. AB + BC + CD + DA = OC. OA + 2OD 1=02> 1D. OA = -DC + -DB 33I ABC【解析】【分析】由条件可知，OCDzNDAB,所以空="=?,再根据向量加减法的法则，分别计算 AB OA 2每个选项. I I I I 【详解】A. AD-AC = CD = -AB 9所以A正确；2B.而+瑟+5+方彳=6正确，所以B正确；.CD OD 一 1 一 “C.NJCDzNDAB,所以=一，即一一04,所以 AB OA 22|oA+2d5| = |

11、oA-OA| = |6| = o,所以C正确：D. OA = -DA = -（DB + BA）= -（DB + 2DC）= -DB + -DC ,故 D 不正确.故选：ABC【点睛】本题考查向量加，减法，以及平面向量基本定理的应用，属于基础题型，本题后两个选项的判断，需根据条件08OA8,所以空=丝=:，确定向量关系.AB OA 21L设Z为非零向量，下列有关向量义的描述正确的是（）a IA.14-1 = 1B. 2ZI 6/1C.aD.-4 =1 a Ia【答案】ABD【解析】【分析】-A首先理解告表示与向量不同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】各表示与向量不同方向的单位向量，所以=

12、1正确，口/不正确，所以AB正确, 同7当d不是单位向量时，3不正确,不一 aa=B|cosO =gx同=|矶，所以D正确.故选：ABD【点睛】本题重点考查向量自的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关犍是理 解而表示与向量,同方向的单位向量.12.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染 的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”.过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增 疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ）甲地：总体平均数3,且中位数为0;乙地：总体平均数为2,且标准差s<2：丙地：总体平均数3,且极差。<2：丁地：众数为

13、1,且极差c<4.A.甲地B,乙地C.丙地D. 丁地【答案】CD【解析】【分析】根据条件，举例说明甲地和乙地，根据极差的概念，说明每天新增疑似病例的最大值，判断 丙地和丁地.【详解】甲地：满足总体平均数743,且中位数为0,举例7天的新增疑似病例为0, 0, 0, 0, 5, 6, 7,则不符合该标志：乙地：若7天新增疑似病例为1, 1, 1, 1, 2, 2, 6,满足平均数为2,标准差§ =（1一2）2+2（-2）2+（6一2）2 < 2 ,但不符合该标志：丙地：由极差c«2可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人, 那么总体平均数了

14、43就不正确，故每天新增疑似病例低于5人，故丙地符合该标志；丁地：因为众数为1，且极差。<4,所以新增疑似病例的最大值<5,所以丁地符合该标志.故选：CD【点睛】本题考查统计的实际应用，重点考查统计的相关概念，以及举例推理的能力，属于 基础题型.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知i是虚数单位，若复数z =是纯虚数，则?=.2 + 13【答案】-2【解析】【分析】由条件设与士 =万（人工0）,再化简，列式求解.4I <【详解】Z是纯虚数，则设f =万伍工。）4I .m-?>i = （2+i）bi = -b+?l）i,m = -b33,解得：b

15、= ,i = 一2/7 = -3223故答案为：-2【点睛】本题考查根据复数的特征求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.14.若向量满足Ii=1, 1臼=2"1+ 2臼=&L记"与，的夹角为6,则8 =【】y【解析】【分析】 根据公式卜+ 2q=,（切+ 26，展开后利用数量积的运算公式化简求值.【详解】因为 a + 2b =+=JQ+4户+4向日=Jl + 16 + 4，.b = &T，所以不 =1即同 b cosO = 2cos® = 1 = cos。=,因为6£o,4）,所以e = f.故答案为：!【点睛】本题考查向量数

16、量积，模，夹角的运算公式，属于基础题型.15.某地区年龄超过40周岁的男士的体重（单位：千克）全部介于49千克到99千克之间，现 从该地区年龄超过40周岁的男士中随机抽取100人组成一个样本进行统计.将这100名男士的体重的统计结果按如下方式分成五组：第1组49,59）,第2组59,69）,第3组69,79）,第4组79,89）,第5组89,99,其频率分布直方图如图所示.则：（1）加=：（2）以每组的中位数作为本组每人体重的估计值估算该地区年龄超过4。周岁的男士体重的平均值为 （千克）.【答案】（1）. 0.035（2）. 72【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可知频率和为1,求加；（

17、2）根据频率分布直方图直接求解平均值.【详解】（1）由频率分布直方图可知（0.01 + 0.03 + ?+0.02+0.005）xl0 = l9解得：m = 0.035 ；(2)平均数为(54x0.01 + 64x0.03+74x0.035+84x0.02+94x0.005)x10 = 72.故答案为：0.035 ： 72【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，平均数的计算，属于基础题型，本题的关键是熟 记公式.16 .已知开始时A轮船在8轮船正南6千米处，当A轮船以2千米/分钟的速度沿北偏东60。 方向直线行驶时，4轮船同时以近千米/分钟的速度直线行驶去拦截A轮船，则3轮船拦截 所用的最短时间

18、为 分钟.【答案】2【解析】【分析】设拦截所用的最短时间为7分钟，由题意画出A8C,根据余弦定理解三角形.【详解】如图，设拦截所用的最短时间为1分钟，AB = 6千米，N84C = 60，4c = 21千米，8c = "/千米，根据余弦定理可知 BC2 = AB +AC2-2xABxACx cos 60S所以力2 =36+4/ 12r ，即产+4，-12 = 0，解得：7=2或/ = -6 (舍)故答案为：2【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，重点考查余弦定理解三角形，属于基础题型.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .甲、乙两台机床同时生产一种零

19、件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为: 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0：乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0.（1）分别求两组数据的众数、中位数：（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能.【答案】（1）甲的众数等于0：乙的众数等于0和2：甲的中位数等于0：乙的中位数等于1：（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【解析】【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平 均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳

20、定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于。：乙的众数等于。和2：甲的中位数等于0：乙的 中位数等于10 + 0 + 1 + 2 + 04-0 + 3 + 0 + 4 + 0(2)甲的平均数等于-=1乙的平均数等于2+0+2+0+2+0+2+0+2+010-17-甲的方差等于(0-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1尸+(0-1)2+(0-1尸+(3-1)2+(0-1尸+(4-1)2+(0-1)210乙的方差等于(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2 , =110所以甲标准

21、差等于J?，乙的标准差1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型.18 .在复平面内，平行四边形OA3C的顶点。，A，C，对应复数分别为0, 2+i, -l + 3i.（1）求赤，方及I丽I, ICAI：V210(2)设NOC5 = 6，求cos8.【答案】(1)OB = 1 + 4i9 OB = y/V7 之=3 2 1011 = 713 ： (2)【解析】【分析】（1）因为无=函+无，再根据复数的几何意义可知向量d砺，方的坐标，再表示方=方-花的坐标，再根据向量模的计算公式计算;（2）分别求向量将和赤坐标，再

22、根据夹角公式cose =icSmcoi计算.【详解】解：（1）因为砺=3+反 所以砺所对应的复数4 = （2 +，） +（-1+ 3，）= 1 + 4,所以方= （L4）, |O§| = 712+42 =717因为。4 =。4一。6 所以五所对应的复数"=(2 + i)-(-l + 3i) = 3-2i所以徐=(3,-2), |04| = 32+(-2)2 =713(2)由题夕=<C从C。因为方=取= (2,1), CO = -OC = (L-3)所以屈4 = 2xl + lx(3) = l，I函:拉+尸=&= jF+(-3)2 =如所以 cos 0 = co

23、s <CB.COCBCOCB-CO正10【点睛】本题考查复数，向量，以及坐标的关系，向量数量积的坐标表示，重点考查定义, 公式，属于基础题型，本题的关键是理解向量坐标和复数的几何意义的关系.19 .已知 tan（生+ a） = l,aeR .42（1）若向量Z = （2tane）I = （l,一lana）,求）万的值： (2)若向量。= (6,l + cos2a),B = (-5,sin2c-cos%),证明:a/b .【答案】（1）一;；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据两角和的正切公式求tana,再表示万石=tana：（2）根据公式计算si'2夕cos-a的值,再根据

24、向量平行的坐标表示判断两向量平行. 1 + cos 2a1 + tan a1 一 tan atan f tan a【详解】解：(1)因为tan(J + a) =4. 乃1 - tan tan a4所以 tan a =- 3_ - 一 1所以 a Z? = 2 tan a - tan a = tan <z =3(2)因为-2s-a1+cos 2a2 sin a cos a - cos2 a2cos2 a2sina - cosa1 5=tan a =2cos<z26所以6(2sin2a-cos2 a)-(-5)(1 +cos2a) = 0.所以【点睛】本题考查三角函数恒等变形，向量平行

25、的坐标表示，重点考查基本公式，恒等变形 能力，属于基础题型.20 ,在八43。中，若。、b、c分别是内角A、B、。的对边，已知同时满足下列4B ：个条件中的3个：sin = ：a2+2-/+" = o；h = 2y/3tc = 3. 2 2（1）请指出这3个条件，并说明理由：（2）求 sin A .【答案】（1），理由详见解析；（2） 土亘. 8【解析】【分析】（1）由可知8 = 60，由可知cosC =a2+b2-c22ab= -，可得。= 12。，所以条件 2不能一起，所以一起，再分别判断或那个条件满足；（2）由正弦定理求sinC,再求cosC,再根据 A + 8 + C = 1

26、80 ,表示sinA = sin（3 + C）,化简求值.【详解】解：（1）AA8C同时满足条件，.理由如下：若AA3C同时满足，.因为sin& =2,且具(0," 所以与二：，即8 = g 2 2222 63因为c°sC = 土二生二二=一1,且Ce（0,左），所以。=三 2ab 23所以8+。=万，矛盾所以AA8C只能同时满足，.因为Z;>c,所以BC,故AA3C不满足故AABC满足，（2）在 AABC 中，h = 2y/3 , c = 3, B = 3又由正弦定理知：一二=一，所以sinC = ?"0 = 3sin B sinCb 4又因为c&

27、lt;Z?,所以C£（0,g）, cosC = ®24,乃 6a 13 3 + 庖 所以 sin A = sin(B + C) = sin(y + C) = x j- + x =-【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角恒等变换，属于基础题型，本题的关键是判断 条件不能一起，再判断其他就迎刃而解了.21.一年来，某足球队的A足球运动员每天进行距离球门20米远的射门训练100次，若打进 球门算成功，否则算失败.随机提取该球员连续20天的成功次数统计如下：68,66,72,58,49,62,67,49,80,76,66,59,6。, 71,70,68,78,60,66,68 .

28、（1）估计该球员一天射门成功次数的四分位数：（2）若每天4民C三位球员均进行“三角战术”配合训练，要求三位球员在运动中必须保持如下规则：三人所在的位置构成AA3C, NB4C = £, AA8C的面积S = 4jT （平方米）.求8.C球员之间的距离的最小值（米）.【答案】（1）第25, 50, 75分位数分别约为：60, 66.5, 70.5： （2） 4米.【解析】【分析】（1）首先将球员连续20天的成功次数从小到大排序，按照四分位数的定义计算；（2）根据面积公式计算可得加= 16,再根据余弦定理结合基本不等式计算求得BC距离的最小值.【详解】解：（1）将该球员连续20天的成功次

29、数从小到大排序，可得49 49 58 59 60 60 62 66 66 6667 68 68 68 70 71 72 76 78 80因为25%x20 = 5, 50%x20 = 10, 75%x20 = 15.所以，样本数据的第25分位数等于”"=6°，第50分位数等于蛆包=66.5, 22第75分位数等于"4 = 70.5 2所以该球员一天射门成功次数的第25, 50, 75分位数分别约为：60, 66.5，70.5（2）设A48C的内角所对的边分别为小4c,则A = £,3因为 S = besin A = 叵be = 4小»所以历=16 24由余弦定理知：a2 =b2 +c2 -2bccosA所以/ =b + c -be > The-be = be = 16 （当且仅当h = c = 4时等号成立）所以所以aC球员之间的距离的最小值是4（米）【点睛】本题考查四分位数，余弦定理，基本不等式求最值，重点考查基本公式，基本转化, 计算能力，属于基础题型.22.如图所示，在四边形45CD中：ZACB = -t AB = B AC + BC = 3t AC>BC, 3点七为四边形45。的外接圆劣弧（不含C。）上一动点.E（2）若从。=工人3 +）么石（1,丁£1）,设ND4£ = a，