特殊三角形复习学案

1、特殊三角形复习课标要求（1） 了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形 的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形 的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理: 等边三角形的各角都等于60° ,及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三 角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。（2） 了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形 的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余 的三角形是直角三角形。（3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解

2、决一些简单的实际问题。课标分析从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述（1）、知识与技能掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；掌握基本的推理技能。（2）、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空 间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。体会通过合情推理 探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展 合情推理与演绎推理的能力。能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式（3）、问题解决尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；在与他人合作和交流 过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。经历借助图形思考问题的

3、过程， 初步建立几何直观。（4）、情感与态度感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气, 具备学好数学的信心。在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、 严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。教学目标：1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴；2、掌握等腰三角形和等边三角形的有关性质和判定，能运用这些性质及判定进 行有关计算和证明。3、掌握直角三角形的性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。 4、掌握勾股定理及其逆定理，进一步理解数形之间的联系。教学重点：等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，勾股定理。教学难点：灵活运用等腰三角形、直角三

4、角形的性质和判定，进行有关计算和证明。教学过程【自主练习】自主完成课件“自主尝试”环节。【知识回顾】1 .等腰三角形：(1)性质：相等，相等，底边上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形.2 .等边三角形：(1)性质：相等，三角都等于;(2)判定：三边相等、三角相等或有一个角是60°的等腰三 角形是等边三角形.3 .直角三角形：在板中，NC=90° .(1)性质：边与边的关系：(勾股定理)a2 + 62=；(2)角与角的关系：NN6=；(3)边与角的关系：若NA=30° ,则a=_c, b=c；若

5、a=_c,则N月=30。；若N月=45。，则 a=6=_c；若=c,则N月=45° ；斜边上的中线zz?=c=万.其中斤为三角形外接圆的半径.(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角的三边长a、6、 。满足a2 + 62=c2,那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中 线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.【基础自测】1. (2011)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm,那么此三角形 的周长是()A. 15 cm B. 16 cm C. 17 cmD. 16 cm 或 17 cm2. (20H)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是(

6、)A.等腰三角形两底角相等B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互 相重合C.等腰三角形是中心对称图形D.等腰三角形是轴对称图形5.如图，在边长为4的等边三角形月6。中，曲是6。边上的高，点E.尸是49上的两点，则图中阴影部分的面积是()A. 4 指B. 3/C. 2 昭D. V3题型分类深度剖析题型一等腰三角形有关边角的讨论例1(1)方程/-9*+18 = 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为()A. 12B. 12 或 15 C. 15 D.不能确定(2)如果等腰三角形的一个角是80° ,那么顶角是度.探究提高 在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，

7、某一边可以是底, 也可以是腰.同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论.变式训练1 (2011 株洲)如图，月6c中，AB=AC ZA=36° ,月。的垂 直平分线交月方于瓦为垂足，连接也求NM9的度数；若35,求长.(2) (2011 )等腰三角形的周长为14,其一边 长为4,那么，它的底边为题型二 等腰三角形的性质例2 如图，在等腰Rt月比中，ABAC = 90° ,点，是灰的中点，且AE=5F,试判 断无尸的形状.变式训练2 已知：如图，是等腰板底边5。上一点，它到两腰月氏月。的 距离分别为庞、勿:当。点在什么位置时，DE= DF?并加 以证明.题型三等边

8、三角形例3(1)已知：如图，P、。是板边5C上两点，&BP= PQ= QC= AP=阳，求N的。的度数.(2) (2010 大兴安岭)如图所示，已知和吸均是等边三角形，点6、C. £在同一条直线上，与物交于点 0,然与交于点G, 4。与物交于点F,连接OC. FG,则下列结论： AE= BD； AG= BF；尸G 傲®ZBOC= ZEOC.其中正确结论的个数()A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个变式训练3如图，在等边月6c中，点小£分别在边6G月月上，且BD=AE, 助与"交于点£(1)求证：AD=CEx(2)求NO尸。的度数

9、.题型四直角三角形、勾股定理例4 如图，已知板中，/板'=90° , AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线 11、12、13上,且11、22之间的距离为2, 12、13之间的距离为3,则4。的长是（）A.2如图，在钝角三角形板中，BC=9, AB= 17,= 10, ADLBC,交6。的延长线于，求助 的长.变式训练4 （1）如图，直线1上有三个正方形a、6、C,若a、C的面积分别为5和11,则6的面积为（）（2）（2011 鸡西）已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm,第三边上的高为10 cm,则此三角形的面积为 cm-.三角形的高可能在形外在板中，高4?

10、和高疫相交于"旦蚌AC,求乙奶。的度数易出错的等腰三角形问题已知是等腰三角形，山月所引6。边上的高恰好等于6C边长 的一半，试求N物。的度数.总结提醒b对于等腰三角形问题，当给出的条件（如边、角情况）不明时，一般要分情况 逐一考察，否则，容易出现错解或漏解的错误.2.当顶角是锐角时,，腰上的高在三角形；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰 重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外.这是在解与等腰三角形腰上的高 有关的问题时，应考虑的儿个方面.方法与技巧1 .掌握分类的思想和方法，可深入理解.，有效记忆，便于应用.例如：从 三角形三边长的比较，可把三角形分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三

11、角形 乂分为等边三角形和其它等腰三角形；而从最大角的大小出发，乂可以把三角形 分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.由于两种分类的标准不同，所以 一个具体的三角形，在两种分类中，必各属于其中的一类.如等腰直角三角形， 在第一种分类中，属于其它等腰三角形；在第二种分类中，属于直角三角形.2 .在一个三角形中“等边对等角，等角对等边”，当所要求证的两边、两 角位于同一个三角形中，利用等腰三角形来论证它们的相等关系是常用的方法. 3.等腰三角形“三线合一”的性质，运用广泛而乂灵活，在于三线中只要有任 两线重合，则可判定三角形等腰，即第三线也重合.4 .证明等边三角形的方法一般有两种：一是直接论证三

12、边或三角相等；二 是先证明是等腰三角形，再证明其中一角为600.5 .在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角 形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐 角30。、45°这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应 该熟记在心.失误与防1 .在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底, 这是造成错解的原因.实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形.2 .有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边 是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同样，在底 角没有被指定的

13、等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论.我们要细心 谨慎，注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然.3 .在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先 要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定.在解题时，往往受 思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则。就是斜边，从而造成误解. 当堂测试考点一：等腰三角形性质的运用1、 （2012襄阳）在等腰ABC中，ZA=30° , AB=8,则AB边上的高CD的长 是.2、 （2012）已知等腰ABC中，AD_LBC于点D,且AD=1BC,则ABC底角的2度数为（）A. 45° B. 75

14、° C. 45° 或 75° D. 60°考点二：线段垂直平分线3、（2012地区）如图.在RtZiABC中，ZA=30° , DE垂直平分斜边AC,交AB 于D, E是垂足，连接CD,若BD=1,则AC的长是（）A. 2G B. 2 C. 473 D. 44. （2012）如图，在RtZABC中，NACB=90° , AB的垂直平分线DE交于BC 的延长线于F,若NF=30° , DE=1,则EF的长是（）A. 3 B. 2 C.6 D. 1考点三：等边三角形的判定与性质5. （2012*）如图，ABC是边长为3的等边三角

15、形，将AABC沿直线BC向右平 移，使B点与C点重合，得到ADCE,连接BD,交AC于F.（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长.考点四：角的平分线6、（2012）如图，NA0E二NB0E= 15° , EFOB, ECJ»OB,若 EC=1,则 EF=7. （2012*）如图，在 Rt2ABC 中，ZC=90° , AD 是NBAC 的平分线，DO2,则 D到AB边的距离是.考点五：勾股定理8. （2012黔西南州）如图，在/XABC中,ZACB=90° , D是BC的中点,DE1BC, CEAD,若AC=2, CE=4,

16、则四边形ACEB的周长为.9. （2012-）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆 25的面积Si二“，S：=2n9则S3是：8课下作业1. （2012-）如图，在矩形ABCD中，AB=2, BO4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、0,连接CE,则CE的长为（）A. 3B. 3. 5C. 2. 5D. 2. 82. （2012-）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2, 3）,以点0为圆 心，以0P的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于（）A. -4和-3之间 B. 3和4之间C. -5和-4之间 D. 4和5之间3. （2012）等腰

17、三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为（）A. 16B. 18C. 20D. 16 或 204. （2012*）已知实数x, y满足lx-4I+J有=0,则以x, y的值为两边长的等 腰三角形的周长是（）A. 20 或 16B. 20C. 16D.以上答案均不对5. （2012-）如图在直角ABC 中，ZBAC=90° , AB=8, AC=6, DE 是 AB 边的垂 直平分线，垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则4ACE的周长为（）A. 16B. 15C. 14D. 136. （2012黔东南州）如图,矩形ABCD中，AB=3, AD=1, AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M,则点M的坐标为（）A. （2, 0） B. （75-1, 0） C. （V1O-1 , 0） D.（6，0）7. （2012地区）如图，在ABC中，NABC和NACB的平分线交于点E,过点E作MNBC交AB