第27章相似三角形专题讲解：第3讲相似三角形的基本模型总结(word精编版)

1、人教版九年级下册第二十七章相似第17页共12页相似三角形的基本模型总结相似三角形证明方法相似三角形的判定方法总结:1 .定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似。2 .平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。3 .判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似。（AA）4 .判定定理：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（SAS）5 .判定定理：如果

2、一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似。（SSS）其中，直角三角形是特殊的三角形，所以可以根据它自身的特点，在判定直角三角形相似的时候再加两种判定方法： （1）以上各种判定均适用。（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（HL）（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。相似三角形的模型方法总结“A”型与“ X”型.示意图结论A /' B CA型：（平行）如图，已知 DE/BC,则aADEsABCBX型：（平行）如图，已

3、知 AB II CD,则4 ABOs DCO“反A”型与“反X”型.反A型:如图，已知 ABC, /ADE=/C,则AADEg/dA ACB (AA ) , AE AC=AD AB.若连CD、BE,进而能证明 ACDs4ABE(SAS)反X型：(蝴蝶型)如图，已知角/ BAO=/CDO,则AOBsDOC (AA ) , OA OC=OD OB.若连 AD , BC,进而 能证明 AODs BOC.示意图结论AC旋转相似：.一,一 AB AD如图，已知 ABC sADE,则一 AC AE '/ BAC= / DAE,/ BAD = Z CAE , .BAD sCAE (SAS)ABE1

4、jC一线三等角：如图，已知/ A=/C=/DBE,则 DABBCE(AA)其他题型示意图MHGFBCEB H ECADF. N典题精练类型一“A”型与“ X”型.【例1】如图：AD平分 BA/ BC于D ,求证:BDDCABACB D C12,3BD BAE . AC AE. AD/CE, . DC BE BE / AC,BDDCBE AB ac AC .BAAC【例2】 如图，已知 ABC中，AC=BC, F为底边AB上一点，BF： AF=m： n ( m> 0,【解答】解：过 F作FT / BC交AE于T,n>0),取CF的中点D,连结AD并延长交BC于E.求BE：EC的值.【

5、解答】证法一：过C作CE/AD,交BA勺延长线于E .- 1 E,23.证法二：过B作AC的平行线，交 AD的延长线于E .12 E, AB BE.BF： AF=m： n,FT=CE,BE： CE= ( m+n) : n.类型二“反A”型与“反X”型. FT/BC, /.A TFDc/dA ECD,D 为 CF 中点，CD=FD,FT = CE,. FT/BC, .AFTsABE, .鳖=黑，BE AB【例3】 如图，D、E是4ABC的边AC、AB上的点，且 AD?AC =AE?AB,求证：/ ADE = Z B.【解答】证明： AD?AC = AE?AB,.断猊二/ A=/ A,.AEDA

6、ABC, ./ ADE = / B.【例4】 如图，在 ABC中，/ CAB=90° , BC的中垂线交 BC于E,交AB于F,交CA的延长线于D.求证：AE2=EF?ED.【解答】证明：连接 AE, 在 ABC中，/ CAB =90。，BC的中垂线交.AE = BE=CE, Z BEF = Z BAD =90° , ./ B = Z EAB , / B = Z D, ./ EAB = Z D,又. / AEF = Z DEA ,AEFc/dA DEA ,.EF =原一奥. .AE2 = EF?ED.【例5】 如图，已知 ABC中CEAB于E,【解答】证明：CE±

7、 AB , BFXAC , ./ AEC = Z AFB = 90° .Z A是公共角，ABFA ACE . 一砥.AF AF超起；杷又/ A是公共角，AEFA ACB .【例6】 如图，AB II CD , AC、BD交于点E,1 ,1 1)羞 寿 12)跖盍忘嬴蒸嬴.EF / CD交BC于F.求证:【解答】证明：（1） ; AB/ EF / CD,CEFA CAB, BEFsBDC,(2)分别作 AMLBC 于 M, ENLBC 于 N, DG，BC于G,AM / EN / DG ,N型蛉现0噩上崎岫郃戏旃谭嘿=1,由（1）知一 .M D类型三“类射影”与射影模型 （母子型）in

8、【例7】 如图， ABC中，CD是边AB上的高，且常(1)求证： ACDsCBD;CD BD（2）求/ ACB的大小.【解答】（1）证明：CD是边AB上的高, ./ ADC =/ CDB = 90° ,ACDA CBD;(2)解：. ACDsCBD,在 ACD 中，/ ADC =90° , ./ BCD+ Z ACD =90 ° ,即/ ACB = 90°C3【例8】 如图，在正方形 ABCD中，E是BC上的一点，连接 AE,作BF ±AE,垂足为H,交CD于F,作CG / AE,交BF(1) CG = BH;(2) FC2=BF?GF；尤国2

9、 J,能” 发B “朋【解答】证明：(1) . BFXAE, CG/AE,CGXBF,.在正方形 ABCD 中，Z ABH + Z CBG=90° , / CBG+/ BCG = 90° ,/ BAH+ /ABH = 90° ,/ BAH = / CBG , / ABH = / BCG ,AB = BC, . ABHA BCG, .CG = BH;(2)/ BFC = Z CFG, Z BCF=Z CGF=90° , . CFGA BFC,典里萨一前？即 fc2 = bf?gf；(3)同(2)可知，BC2=BG?BF,.AB=BC,AB2= BG?BF

10、,一朝涔册咱上.房Jr “旋转相似”与“一线三等角”模型【例 9】15,如图，在 ABC 和 4ADE 中，/ BAD = / CAE, / B = / D.(1) ABC与 ADE相似吗？为什么？(2)已知 AB = 2AD , BC = 8cm,求 DE 的长.【解答】解：(1)如图，二.在 ABC和4ADE中，/ BAD = /CAE, / BAD+Z DAC = / CAE+ / DAC , / BAC = Z DAE .又. / B=Z D,W .ABCs ADE；(2)由(1)知， ABCsADE,则黑=受. AD. AB= 2AD, BC=8cm,囱,g '解得，DE =

11、 4 (cm),即DE的长度是4cm.【例10如图，已知abxbd, edxbd, C是线段BD 的中点，且 acxce, ED=1, BD=4,那么 ab =4 .【解答】解： abxbd, edxbd./B = / D=90。，Z A+ZACB=90o. ACXCE,即/ ECD+Z ACB=90o./ a=/ ecd. ABCs cde.AB=4.【例 11】在 abc 中，AC = BC, /ACB=90。，点 M是 一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边 = ap： pb.【解答】证明：连接 PC,过点P作PDLAC于D,.BCXAC,AC上的一点，点N是BC上的AB上的P点.求

12、证：MC： NC根据折叠可知：MNXCP,/ 1 + /PCN=90° , / PCN + /CNM =90° ,. / CDP = Z NCM = 90° ,PDCA MCN,.MC： CN= PD： DC,. / ADP= 90° , / A=45.ADP为等腰直角三角形,.PD= DA, .MC： CN= DA： DC,1. PD / BC,/.DA： DC=PA： PB,/.MC : CN= PA： PB.【例12如图，已知AM /BN, /A=/B=90。，AB = 4,点D是射线AM上的一个动 点(点D与点A不重合)，点E是线段AB上的一个动

13、点(点 E与点A、B不 重合)，连接 DE,过点E作DE的垂线，交射线 BN于点C,连接DC.设AE =x, BC = y.(1)当AD=1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；(2)在(1)的条件下，取线段 DC的中点F,连接EF,若EF=2.5,求AE的长；(3)如果动点D、E在运动时，始终满足条件 AD+DE = AB,那么请探究： BCE的周长 是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由.【解答】解：（1）由题中条件可得 AEDsBCE,.幽里BE即:AE = x, BC=y, AB = 4, AD = 1. BE = 4- x,一二 ¥.，y=-x2+4x (0

14、vxv4)；(2) DEXEC, ./ DEC = 90° , 又 DF = FC,DC = 2EF=2X2.5= 5,过 D 点作 DH ±BN 于 H ,则 DH = AB = 4, DHC 中，HC =盟 2 式5 层一( 2 = 3, .-.BC =BH+HC=1+3=4,即 y=4,- x2+4x= 4解得：xi = x2=2, AE =2;(3) BCE的周长不变.理由如下：Caaed= AE + DE+AD = 4+x, BE= 4- x,设 AD = m,则 DE = 4 m,/ A=90° , . DE2=AE2+AD2即，(4-m) 2=x2+

15、m2由(1)知： AEDs BCE,有函的虚丁力闻魄可 i"nInBCE的周长不变.【例13】等腰 ABC中，AB = AC=6, /BAC=120° , P为BC的中点，小明拿着含30 ° 的透明三角板，使 30°角的顶点落在 P处，三角板绕P点旋转.(1)如图1,当三角板的两边分别交 AB、AC于点E、F时，求证： BPEsCFP；(2)操作：将三角形绕点 P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交 BA的延长线、边AC 于 E、F.探究 BPE、ACFP还相似吗？(只写结论，不需证明)；连接EF,求证：EP平分/ BEF;设EF = m, AEPF的面

16、积为S,试用m的代数式表示 S.图1:回【解答】（1）证明：二.在 ABC 中，/ BAC=120° , AB = AC, .Z B=Z C=30° ./ B+Z BPE+Z BEP= 180° , ./ BPE+Z BEP =150° ,又/EPF = 30° ,且/ BPE+Z EPF+Z CPF = 180° , ./ BPE+Z CPF = 150° , ./ BEP=Z CPF, .BPEsCFP （两角对应相等的两个三角形相似）.（2）解：BPEsCFP；理由：.在 ABC 中，/ BAC=120° , AB=AC,.Z B=Z C=30° . . / B+Z BPE+Z BEP= 180° ,BPE+Z BEP =150° ,又/EPF = 30° ,且/ BPE+/EPF+/CPF= 180° ,/ BPE+Z CPF= 150° , ./ BEP=Z