第二十七章相似教案及全章测试

1、第二十七章相似本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相 等，对应边成比例，而积的比等于相似比的平方.了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的 条件.【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题.【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角 相等，对应边成比例以及而枳的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题, 了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐 标.知

2、识网络结构图8<BC<16.专题总结及应用一、知识性专题专题1比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解.图2796(1)求证CD CE例1如图2796所示，A, B, D, E四点在。上，AE. 8。的延长线相 交于点 C, AE=8, 0C=12, /EDC=/BAO.(2)计算。C8的值，并指出CB的取值范围.分析利用CQEsacAB,可证明？ = ££ AC CB证明：(1)VZEDC=ZBAO, ZC=ZC：.ACDEACAB, ：. = . AC CB解：(2)VAE=8, 0C=12,，AC=12+4=16, CE=12

3、-4=8.w.CD _CE乂 = , AC CB：.CD - C8=AC CE=16X8=128.连接。& 在08C 中，O8=2AE=4, 0C=12, 2【解题策略】 将证0=延转化为证明AC CB专题2乘积式或比例式的证明【专题解读】 证明形如£ = £, <=£或"=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解 h2 d / cl def决.如要证± = £,可设法证巴=£,然后将两式相乘即可，这里寻找线段K便是证题的关键, lr db x b d例2如图2797所示，在等腰三角形ABC中，过A作AOJ_

4、8C,过C作CEL4B,又作OFJ_CE, FG上AD,求证三=”.AG AD3分析欲证薨=黑可将其分成三个比例式笔=?黑=焉'器弋'再将三式相乘 即可.不难得知人就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长/G交A5于K,则y就是GK, 只要证明处=义就可以了.AD GK证明：延长FG交A8于K,连接OK, VDF1EC, BE±EC,:DFBE, 9：AB=AC, AD±BC,:.BD=DC, ：.EF=CF. :FG/BC,，N1 = N2, ARtAFDCRtAEKF. ：.KF=DC, N3=N4, 四边形KFC。是平行四边形，.N2=N5,

5、A ZEKD= Z3+Z5 = Z4+Z2=90° , ：.DK±AB,:.DF/AB,:/BAD=/FDG,ARtAADBRtADGF,AD GDRD :GK/BD, AAKGsAABD,， =.AD AG在A3。中，ZADB=90° , DKLAB. ：.AADB>AAKD.rd m又AAKDsKGD.AADBs4KGD,： AD KG由义X，得竺二=”AD AG例3如图2798所示，在ABC中，已知NA： NB： ZC=1： 2： 4,求证_ +_ =_AB AC BC分析 原式等价于0£ +.=1,也就是0£ = "一/

6、«,在CA上取一点O,o/AAB ACAB AC/ nAnE使CD = BC,原式就变成竺=把，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，图27、98AB AC为此作NACB的平分线CE,交A8于点E,连接。匕 显然有3CEgZOCE,从而易证AO=Z)E=CE, 于是只需证0£ =即可.AB AC证明：V ZA： NB： ZC=1： 2： 4, ，设NA=x,则 N8=2x，ZC=4x作CE平分N3cA,交A8于E,在AC边上取一点。，使CO=C8,连接。£:DCEQABCE,：.ZCDE= /B=2x, ZDEC= NBEC=3x,又/CDE=NA+NDEA, ；

7、NDEA=x, ：.AD=DE, 又：OE=EC, ：.AD=CE.在aABC 和ACE 中，NCAB=NCAE, ZACE=ZB=2x,ABCsACE,二丝= hL, AB AC11nBe AD AC-CD AC-BCLJJ=,AB AC AC AC.BC AC BC . BC BC.益=就一旅而+旅T二、规律方法专题专题3：相似三角形的性质【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、 垂直，也可以计算图形的而枳及线段的比值等，解题的关键是识别（或构造）相似三角形的基本图形.An 1例 4 如图 2799 所不，在ABC 中，看 DEBC, = DE

8、=4cm> 贝ij 5CBD 2的长为 ()A. 8cmB. 12cmC. 11 cmD. 10 cm分析 由。石3C,可得AOEsAABC,=.因为业=1,所以=BC AB BD 2 AB 3nr i所以二二一.因为。丘4 cm,所以5c=12 cm故选B. BC 3图 27 - 100例 5 如图 27 100 所示，在ABC 中，AB=BC=2cm. ZABC= , BD 是NA3C的平分线，DE/BC.(1)求NEZ犯的度数；(2)求OE的长.分析 (1)由 DE/BC,得NEDB= NDBC= L /ABC,可求NEDS (2)由 DE2/BC. WAADEAACB,则竺二任，

9、再证出 8E=OE,可求 BC AB解：(1),:DE/BC,:/EDB=/DBC.8。平分 NA8C,/. ZDBC= 1 ZABC= 1 X 80° =40。, ：.ZEDB=40° . 22(2)；8。平分 NA8C, :. ZABD= /DBC,:DE/BC,:./EDB=/DBC, /EDB=NEBD, ：.BE=DE.:DE/BC, AOEszMCB, .DE _AE _AB-BE _AB-DE正一而一 AB 一 AB.DE _) 1212-DE 12:DE=6cm【解题策略】 将比例式中的AE转化为AB OE,逐步由未知转化为已知，建立关于。七的关系 式来求解

10、.例 6 如图 27 101 所示，点。，E 在 BC 上，RFD/AB. FE/AC,求证分析 由已知可证NFDE=N8, /FED=NC,从而可证证明：:FDAB, FE/AC,:/FDE=/B, NFED=NC,：.AABCAFDE.例7 （08 无锡）如图27 102所示，已知点正是矩形A8CD的边CQ上一点，BFLAE于点F, 求证A8Fs2E4O.10分析 由矩形的性质可知NB4O=NO=90° ,再由8口LAE可证NAFB=NO和NOAE=NE8A, 从而证明A48FsZeaO.证明：在矩形A8C。中，ZBAD=ZD=90° ,TBF上AE,，NAFB = N

11、O=9(T ,A ZABF+ZBAE=W .又NOAE+N8AE=NBAO=90° ,：.ZABF=ZEAD.：.ABFsAEAD 一、选择题（每题3分，共24分）DF1 .如图所示，在ABC中，DE/BC,若AO=1, DB=2,则=的值为（）BC2 111A, -B. -C. 1D.-3 4324 .如图所示，A8C中OE8C,若AO：DB=1：2,则下列结论中正确的是（）A DE 1D研J 周长 1BC 2周长 2AWE的面枳1n AADETl勺周长IAA3C的面积一3. A48C的周长一35 .如图所示，在AABC中N8AC=9（T ,。是8。中点，AEL4。交C8延长线于E

12、点，则下列结论正 确的是（）A. XAEDsXACBC. ABAEAACEB. AAEBAACDD. AAECADAC4,如图所示，在ZVIBC中。为AC边上一点，若NOBC=NA, BC = ® AC=3,则CO长为（）A. 1B.C.2D.第7题图第4题图第6题图5 .若尸是RtAABC的斜边8C上异于8,。的一点，过点P作直线截A8C,截得的三角形与原ABC 相似，满足这样条件的直线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6 .如图所示，ZVIBC中若OE8C, EF/AB,则下列比例式正确的是（）AD _DEBF _EFBC ADC.任=也EC FCEF _DEAB

13、= BC7.如图所示，。中，弦A3, CD相交于P点，则下列结论正确的是（）A. PA AB=PC PBB. PA - PB=PC PDC. PA AB=PC CDD. PA ： PB=PC ： PD8.如图所示，ABC中，AQ_L3C于。，对于下列中的每一个条件: N5+ NOAC=90° NB= ADACCD： AD=AC： AB ®AB2=BD - BC其中一定能判定ABC是直角三角形的共有（）A.3个B2个C. 1彳、二、填空题（每题4分，共16分）：测得她在灯光下的影长CD为2.5m,9.如图9所示，身高1.6m的小华站在距路灯杆5m的C点处,则路灯的高度A5为a

14、 f 110.如图所示，A4BC中，AD是8c边上的中线，尸是A。边上一点，且=,射线CF交月3于第9题图E点,则需等于第11题图11 .如图所示，ZiABC中，DEBC, AE： EB=2 ： 3,若zME。的面积是4m，则四边形OE8C的而 积为.12 .若两个相似多边形的对应边的比是5： 4,则这两个多边形的周长比是.三、解答题13. （10 分）已知，如图，A8C 中，AB=2, BC=4,。为 8C 边上一点，BD=.（1）求证：ABDsMBA；作DE/AB交AC于点E,请再写出另一个与ABO相似的三角形, 并直接写出OE的长.14. （8分）已知：如图，A8是半圆。的直径，CO_L

15、4B于。点，AO=4cm, O8=9cm,求C8的长.,AOOC并交8C的延长15. （8分）如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个A8C,试在这个网 格上画一个与aABC相似，且而积最大的Bi, G三点都在格点上），并求出这个三角形的 面积.16. （10分）如图所示，在5X5的方格纸上建立直角坐标系，A（l, 0）, 8（0, 2）,试以5X5的格点为顶点作ABC与OAB相似（相似比不为1）, 并写出。点的坐标.17. （12 分）如图所示，。的内接A8C 中，NB4c=45° , ZABC= 15°线于。点，。交A8于E点.（1）求N。的度数：

16、（2）求证：AC2=AD - CE.18. （12分）已知：如图，/XABC中，ZBAC=90° , A8=AC= 1,点。是8c边上的一个动点（不与8, C 点重合），ZADE=45° .求证：AABDsADCE；（2）设BZ）=x, AE=y,求），关于x的函数关系式:（3）当aAOE是等腰三角形时，求AE的长.19. （12分）已知：如图，ZVIBC中，AB=4,。是A8边上的一个动点，DE/BC,连结。C,设AABC的面积为S, ZiOCE的面积为S'.（1）当。为AB边的中点时，求S' : S的值：q，（2）若设A。=尤一=y,试求y与x之间的函数

17、关系式及x的取值范围. S20. （10分）已知：如图，抛物线 ），=/一工一1与y轴交于。点，以原 点。为圆心，0。长为半径作。，交X轴于A, B两点，交y轴于另一 点D.设点P为抛物线yjrxl上的一点，作PM±x轴于M点， 求使PM8sZaOB时的点P的坐标.21. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=9+仅一 1口+2女-1的图象与x轴交 于A, 8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点。（0, - 3）.求这个二次函数的解析式及A, 8两点的 坐标.22. (12 分)已知：如图，中，AB=4, BC=3, NB4O=120° , E 为

18、8c 上一动点(不与 8 点 重合)，作E/LLAB于F, FE,。的延长线交于点G,设£)£：产的面积为S.(1)求证：ABEFsCEG；(2)求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围:(3)当E点运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?答案与提示第二十七章相似全章测试1. C. 2. D. 3. C. 4. C.5. C. 6. C. 7, B. 8. A.9. 4. 8m.10. 1. 11. 21m2.12. 5 ： 4.34 » RD13. (1) =,ZABD = ZCBA,得HBDsMBA； CB BA(2)AABCACDE, DE=1.5.14. 3jl5cni,提示：连结AC.15. 提示:AG =5血,AB】= 2、6.,