第三课时正切函数的图象与性质

1、第三课时正切函数的图象与性质课标要求素养要求1 .了解正切函数图象的画法，理解并掌 握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象与性质解决有 关问题.通过利用正切函数的图象，发现数学规 律，重点提升学生的数学抽象、逻辑推 理素养.课前预习知识探究新知探究情境引入学习了 >,二sin a , y = cos x的图象与性质后，明确了 y二sin x , y = cos a的图象是“波浪”型,连续不断的,且都是周期函数,都有最大（小）值.问题类比y=sinx, y=cosx的图象与性质.（l）y=tanx是周期函数吗？有最大（小）值吗？（2）正切函数的图象是连续的吗？提示（l» =

2、tanx是周期函数，且7二加，无最大,最小值正切函数的图象在定义域上不是连续的.,知识梳理函数>'=tan X的图象和性质图象与性质是函数的灵魂解析式y = tanx正切曲线： )1 -F，1 2i2.的图象Y Y°r定义域xkWR,且xwJ+E, kGZ值域R周期7T奇偶性奇函数单调性在区间(E1, E+耿WZ)都是增函数对称中心修 O)(k£Z)拓展深化微判断I1 .函数y=tanx在其定义域上是增函数.(X)提示y = tan a在区间攵兀-,E +上是增函数，但在其定义域上不是增函数.2 .函数y=tan 2x的周期为兀(X)提示y = tan 2%的

3、周期为，3 .正切函数y=tan x无单调递减区间.(J)4 .函数 y=2tanx, xw。，的值域是°，+°°)-( 微训练l.tan A-l的解集为() »(k£Z) J(k£Z) , J一兀 J9D/xIE+Wxv兀+，(kWZ),解析 Vtanxl z 由图象知，? + kn(k e Z).故选D.答案D2 .函数 y=2tan(一工)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，乂是偶函数D.非奇非偶函数解析y = 2tan ( - x) = - 2tan x ,为奇函数答案A3 .与函数y=tan(2x+y的图象不相交的一条

4、直线是()Jr ttIT Lrr解析+ 攵£Z),故选 D.4 O乙答案D微思考11 .正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？提示)，=tan a-是中心对称图形，对称中心为| y ,。)伐£ Z),不是轴对称图形.2 .正切函数在其定义域内为增函数是否正确？为什么？提示 不正确，因为正切函数不连续,只能说在每个区间(履-?，履+外伙WZ) 上为增函数.题型剖析课堂互动题型一正切函数的定义域、值域问题【例1】 函数)=3tanW的定义域为(2)函数尸taA2km5百)的值域为.解析由今q考+ E , kGZ ,47r得 x¥ - ？ -

5、4E，&e Z ,即函数的定义域为HvW -与-4E , kWZ.(2)<w = tanx/由正切函数的图象知 £ -/,原函数可化为y = u2 - 2u , mW -小,小,二次函数y =- 2m = （m - I）2 - 1图象开口向上,对称轴方程为u= 1 ,当二 1 时，Vmin = ,当二-小时,>'max = 3 + 24,原函数的值域为- 1 , 3+ 2峋.4兀L答案（l）dW不一4攵兀，k£Z （2）-1, 3 + 2小规律方法（1）求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时, 要充分利用三角函数的图象或三角函数

6、线.处理正切函数值域时,应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数 的值域求解.【训练11 求函数x+ 1 +lg（l tan x）的定义域.ftanx+ 1 NO ,解由题意得即-1Wtan x< 1.1 - tan x>0 ,在（4口内，满足上述不等式的%的取值范围是c又产tanx的周期为兀，所以函数的定义域是履-E +加WZ）.题型二求正切函数的单调区间【例2】求函数y=tan（%+；）的单调区间.解 y = tanj +- tan| |v - J ,由-5+ E（k£Z）得-兀+ 4女兀人37r + 4女兀，攵£Z ,所以函数y = tanl W加

7、勺单调递减区间是（-兀+软兀，3兀+ 4E）（攵GZ）,无递增区间.规律方法 尸tan（sr +夕）（由>0）的单调区间的求法是把cox + （p看成一个整体，解-三 + lai<cox +3: + kn , kGZ即可.当co<0时，先用诱导公式把co化为正值再求单调区间.【训练2】求函数y=3tan 2x+"的单调区间.解 令 kn -+ 工<k兀 + jZ.4乙口 nk7i 3 兀 kn Ji- w<v<7 + g ， kGZ. ，函数 ），=3tan（2x + ；）的单调增区间为管考,竽+飘£Z）,无递减区间.题型三利用正切函数的

8、单调性比较大小【例3】比较大小:(1 )tan 32°18兀 (2)tan-,tan 215°；钓解析 (l)tan 215° = tan( 180° + 35。)= tan 35。，丁当 0。<90。时，y = tanx 单调递增，32°<35° z二tan 32°<tan 35° = tan 215°.18兀(2)tan:(28兀 tan丁= tan(47r-y) = tan(-y)f)=tanf - 3k - I'j = tan-落,Vy二tan x在-,当上单调递增,且-

9、y< - 1,(-引 vtan(-)即 ta/fZtanl2871答案(1)< (2)<规律方法运用正切函数的单调性比较大小的步骤 运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.运用单调性比较大小关系.【训练3 比较下列正切值的大小:(l)tan 1 320。与 tan 70°；1771 .( Tt(2)tan-与 tan(一寸解 (l)tan 1 320° = tan(360° X3 + 240°)=tan 240° = tan 600 ,因为函数y=tw在（0 ,扯为增函数，所以 tan 60°<tan

10、 70° ,即 tan 1 320°<tan 70°.17兀 （2）tan 丁 因为产tanx在（号，（J上为增函数, 所以 tan（ - |>tan - g |.即 tan藉4an- 题型四正切函数图象、性质的应用 【例4】设函数/U） = tan一T.（1）求函数/（x）的最小正周期，对称中心； （2）作出函数/（x）在一个周期内的简图.解（1） ; c。二;，7r n最小正周期 T = = -r = 2n.CO 12令 - 1=竽伙WZ），得=E +学k£Z）, ©的对称中心是（E +学，oj（ez）.人x 兀 n.1 2兀

11、人X 71 7U mil 7兀 （2）/一耳二。，贝）工=1_；令5-? = 1，贝忆'二不；人X 兀 11 ml 兀 人X 兀兀 EI 5兀号-y-a，则户。令二十力则户于 。2一3二 2，人二-3, 函数y=tan（f -狮图象与x轴的一个交点坐标是传,0）,在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是a- -l，x- ,从而得到函数y二4工）在一个 Wr"O周期（4,期内的简图（如图）.y/y=ian传争xW(T 亨)规律方法 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正 切曲线是被相互平行的直线x = + E , AWZ隔开的无穷多支曲线组成,y =

12、 tan x 的对称中心为倍,oj , kGZ.【训练4】 画出/U） = tanlxl的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇 偶性.解於）=tan化为兀'）二tanx 1 工"攵兀 + 专，x20 ( kGZ ) r 乙-tan x , xrk7i + 专 f x<0 ( Z £ Z ),根据y = tanx的图象，作出於）=tanlxl的图象，如图所示,由图象知，/不是周期函数，是偶函数,单调增区间为0 , % （E +枭E + ,乙乙乙逐步落实兀）（&£N）；单调减区间为（-。0 , （E -尹，E -5（% =。，-1,-2,

13、）.素养达成一、素养落地1 .通过本节课的学习，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.2 .正切函数尸tan x有无数多条渐近线，渐近线方程为户E+宏k£Z,相邻两 条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.3 .（1）正切函数y=tanx的定义域是卜kGZ:,值域是R（2）正切函数y=tanx的最小正周期是兀，函数y=Atan（cox+（p）（幺3工0）的周期为T 7TcoV（3）正切函数在（一方+e, 3+a）（kez）上递增，不能写成闭区间.正切函数无单调 减区间.二、素养训练1 .函数），=2tan（2x+§的定义域为（）A.xlxW 帝B.xLtW5C.xx-+kn,

14、 kGZD.xLtW*+；E, kGZ解析 由2x + ? + H，女ez，得人学a+：攵兀，&WZ，故函数的定义域为如孚工J 41乙 乙1乙+ gk兀,kGZ.答案D),kGZ(f 71,1 兀A.(k兀2 ,I 2（t 3兀 兀）C.gr一工，依+，kGZ(t 兀 ,1 3兀、D.(k兀-a，k兀+彳) kGZar 1 7C7T 7CZc=3斛析由-5 + kn<x + <2 + E , k W Z ,得-调递增区间是(-苧+ a, W+履)，z.37r彳 + AttVx<w + kn ,k£Zz故/的单B.（E,攵兀+兀），kGZ答案C4 .比较大小：

15、tan；tan|.解析 因为 tan1>0 , tan5<0 ,所以 tany>tan|.答案>5 .若tan|；2x*Wl,则x的取值范围是解析 由题意可得g + kn<lx -仁W +履，Z ,解之得-3+权兀4<笄+, kGZ.兀 1/ + 兀-4 .5-2 1 2 K 6 案 答6 .求函数），=1,。2%的定义域、值域和周期，并作出它在区间兀，兀内的图象.解由+ k兀，女WZ ,得工工亨+兀，攵WZ , 4 * 4即函数的定义域为gw%/ , kGZ,巩或提高值域为（-8 , + 8）,周期为丁吾,对应图象如图所示:课后作业基础达标一、选择题1.已

16、知 x£0, 2 兀,y=qtan x+7cos x的定义域为（）A.o, 3B，兀C.兀,当）D（寺，2兀tan xO z解析 由题意知 - COSGO,、x£ 0 , 2k,函数的定义域为兀音），故选C答案C2.关于函数y=tan（2A-j）,下列说法正确的是（）A.是奇函数B.在区间（0,肌单调递减嘿，0）为其图象的一个对称中心D.最小正周期为兀解析 利用排除法和代入法 4 ,故D错误，当x 4时，），=tan（f -野二tan 0 =0 ,故选C答案C3.已知於尸tan（2x+W，则使段）力小成立的x的集合是（）AJ支兀'kGZB.711兀）§十5

17、攵兀,五十5%兀），kGZC.三十E,，kGZ_N4o/71 .7TD. x十E, g+女兀，kGZ解析 因为 f(x) = tan(2x + ：),所以於）25化为tan（2x 十步小,即1+ k兀W2x + ;+ 攵兀，k£Z ；解得志+ /兀+声，2 £ Z ,故使於）与于成立的X的集合是711 t 兀 1 ,五+ 女兀， + /兀1，kGZ.答案A4 .函数尸2tan（ 3x+g的最小正周期是（）71A67TC,2D.兀解析71 兀答案5 .函数尸tanx+sinxItanx-sinxl在区间（去 篇内的图象是（）x , y = 2tan x<0 ；当 x =

18、 tt 日寸，y = 0；当兀工<日寸 f tan x>sin x f y = 2sin xvO .故选 D.答案D二、填空题6.比较大小：tan(一第5兀 tarry , tan得471 tan亍，又产tan x在/兀)上是增函数, 所以 tan竿vtan手，即 tan(- |<tan 答案V7 .已知点M( 3, 1),若函数)=tan%(x£( 2, 2)的图象与直线y=l交于点4, 则 MA=.解析 令尸tan5=1 ,解得x=1 +4k , k£Z ,又xW(-2,2),所以x=l ,所以函数,y=tanjx与直线y = 1的交点为41,1),又

19、 M(-3, - 1),所以MA =吊(1+3产+ (1 + 1，= 24.答案2小8 .已知函数/(x) = tan(x+如(l9l<?的图象的一个对称中心为6，。)，则夕的值为解析 由于修,。)是函数於)图象的对称中心，所以W + 9 = %，依Z ,所以限%-1 f /：ez f 由于刷,故取 k = o f ,(p= - 5 1 g-答案款V三、解答题9 .画出函数尸Itanxl的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.解 由y = Itan xl得，tan x x兀 +，( k £ Z ),y=兀-tan x , - 5 + knx<kn ( k

20、63; Z )其图象如图：由图象可知，函数y = kan川是偶函数.函数y = ltanxl的周期丁 二兀,函数y = Itan xl的单调递增区间依,E +5)("G工)，单调递减区间为,兀-I,空)伙WZ).10 .已知函数於AasiiG+g), g(x) = tan|乙一a>0),它们的周期之和为期，且 招=g(5 局=一小*e)+1，求这两个函数的解析式并求g(x)的单调递增 区间.解根据题意，可得k = 2,解得a=X 1故於)二sin(2x +5, 1 .b = K ,g(x)= gtan(2x 一胃.令 E - ?<2x - ?<hr + 百，Z &#

21、163; Z z 乙J乙,曰 kn 7C E 5tu ,一吃-五0.+五，*£Z，所以g（x）的单调递增区间为（竽-Y5，与+.）收.能力提升11 .下列关于函数），=tan（x+»的说法正确的是（）A.在区间（一去引上单调递增B.最小正周期是兀C.图象关于点（；，0）成中心对称D.图象关于直线x=专成轴对称兀 5兀7 6".,- 人兀 兀兀AE/Q5兀， TC解析 令 E - 5<（ + §<k兀+ 5，kGZ，解得依-<x<kn + ,kGZ 1 不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为兀，故B正确；令x + ?

22、= T , kGZ ,解得x = 4 - , kGZ，任取攵值不能得至ljx = ?,故c错误；正 切函数曲线没有对称轴，因此函数产tanQ + 知的图象也没有对称轴，故D错误.故选B.答案B12.已知函数/U) = 3tan一W.(1)求/(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)试比较/与乂引的大小.H(x 兀= _ 3tan - 6工函数於)的最小正周期为7二 4兀.人 71 X 7171令E-57-7471 + 5, kGZ ,4 兀4 ,8 兀,一得4E -7<xv4兀 + 不，kWZ ,函数 y = 3tan，左工函数於)=-3tanl(J -施单调减区间为4兀8兀4%兀-y , 4E + -y |,kGZ.（2）/（兀）=3tanl兀-3km丘，/3 兀 1（71 3 兀（5 琦AT> = 3ta<6 - T） = 3ta"-说| 二八兀 5兀兀 0*/0<12<24<2，且 > =】a. 兀5兀，tan丘臣11同，5兀-3tan药 c 兀C 5兀 - 3tan-p> - 3tan同，3兀1创新猜想13.(多选题)已知函数於) = ta