第七章共形映射

1、第七章共形映射前面我们借助于积分、级数等方法研究了解析函数，这一章将用几何的思想来讨论解析函数的性质和应用。从几何上看：复变函数w f (z) 是从复平面z 到复平面w 之间上的一个映射。而解析函数所确定的映射(解析变换)是具有一些重要的性质。它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20 世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。第一节 解析变换的特征首先，讨论一般解析变换的一些性质：定理

2、7.1 设 w f (z) 在区域 D 内解析且不恒为常数，则D 的像G f(D)也是一个区域。证明：首先证明G是一个开集。设w。G,则有Zo D使得wo f(z。)。 由解析函数零点的孤立性，存在以Zo为心的某个圆周C,使得C及C 的内部全包含在D内，除Zo外，在C及C的内部，f(z) wo都不为零， 故存在 o,在C上|f(z) Wo .对于满足|w Wo | 的w,在C上，有| f(z) w0 | |w w0 |.由Rouche定理，在 C的内部， f (z) w f (z) wo wo w和f (z) wo在C内有相同个数的零点， 即wo的邻域|w wo| 包含在D内。由于f(z)是连

3、续的，所以G显 然是连通的。下面研究单叶解析函数的映射性质。我们知道：设函数w=f(z)在区域 D 内解析， 并且在任意两不同点，函数所取的值都不同，则称它为区域D 上的单叶解析函数，简称即为单叶函数。利用证明定理7.1 的方法，我们可以得到：引理7.1设函数f(z)在Zo点解析，且Z0为f(z) Wo的p阶零点，则对充分小的正数，存在着一个正数，使得当0 |w w0 |时，f (z) W在0 |z Zo | 内有p个一阶零点。例1、函数W z 及w z,(其中，是复常数，且 0)是z 平面上的单叶解析函数，它们把z 平面映射成w 平面， 。例2、w ez在每个带形a Imz a 2 ,内单叶

4、解析，并且把这个带形映射成w平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，其中a 是任意实常数。推论1、设函数f在区域D内单叶解析，那么在 D内任一点， f '(z) o.证明：假定z。D,f'(z。)0,由弓I理7.1,得出与单叶相矛盾得结论。上述推论的逆命题不成立，例如 w ez的导数在z平面上不为零，而该函数在整个z平面上不是单叶的。利用引理 7.1,我们有 推论2设函数w f(z)在z zo解析，并且f'(z。)0,那么f(z)在zo 的某邻域内是单叶的。如果w f(z)在区域D内单叶解析，根据定理 7.1,它把区域D双射到区域G f(D)f在G内所确定的函数为z

5、(w).并且有.定理7.6设函数f(z)在区域D内单叶解析，并且 G f(D),那么 w f(z)在G内所确定的函数z (w)是单叶的，并且如果Wo G, zo(w0),那么(Wo)证明：任给 0,选取引理7.1中的正数 及，使得，那么,当|w Wo| 时，| (w) (wo)|因此z (w)在G内任一点w G,并且z (w)时，我们有：o(zo),所以襄1则y房连续。下面证明导数公式成立。当z D,z z。于是(w)(wo)w w0因为当ww0时，z (w).(w)(wo)wlim 1 limw w。w woz 4 z即定理的结论成立。设函数 w=f(z)是区域D内的解析函数.设zoD,wo

6、f (zo),f'(zo)o.考虑在过zo的一条简单光滑曲线C:z z(t) x(t) iy(t) (a t b), 其中x(t)及y(t)是z(t)的实部和虚部.设z(to) zo (to a,b)由于dzz'(t)x'(t) 1ym曲线C在z Zo的切线与实轴的夹角是z'(t0)的幅角Arg z'(t0).实际 上，作从曲线C上之点.z(to)到乙z(tj的割线，由于割线的方向 与向量 J0的方向一致，则向量与实轴的夹角为argWz0 ,tl toti tot1 t0由于C是光滑曲线，那么当ti趋近于to时，割线确有极限位置，即为 曲线C在z zo的

7、切线的位置。故极限一 乙zolimti to t t 1 oz'(to)o,存在。因此下列极限也存在:argz'(to),. 乙 zo lim arg ti to tt1 o它就是曲线C在zoz(to)处切线与实轴之间的夹角。由于孚f'(z(to)z'(t0),函数w=f(z)把简单光滑曲线C映射成过 dtwof(zo)的一条光滑曲线 ：w f (z(t) (a t b),它在wo的切线 与实轴之间的夹角是arg f'(z(to)z'(to) arg f'(z(t。) argz'(to),因此，在Wo处的切线与实轴的夹角及C在zo

8、处的切线与实轴之间的夹角相差arg f '(zo)，而这一数值与曲线C的形状及在处切线的方向 无关，因此，称其为旋转角。设在D内过Zo还有一条简单光滑曲线Ci : z乙(t),函数w=f(z) 把它映射成一条简单光滑曲线 i ：w f (zi(t)。和上面一样，Ci与i在 Zo及Wo处切线与实轴的夹角分别是argzi'(to)及arg f'(z1(to)zi'(to)arg f'(zi(to) argz1'(to),所以，在Wo处曲线 到曲线i的夹角恰好等于在z0处曲线C到曲线Ci 的夹角：arg f'(zi(to)zi'(to)

9、 arg f'(z(to)z'(to) argzi'(to) argz'(to), 特别，把单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不 变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性。F面说明解析函数模的几何意义。根据假设，我们有| f (z) f (zo) |f'(z0)| limz zo|z zo |z zo|由于| f '(z0) |是比值1ff(zo)|的极限，它可以近似地表示这种比 值。在W=f所作映射下，|z zo段|f(z) f(zo)|分别表示z平面上向量z Zo及w平面上向量f(z) f(Zo)的长度，这里向量z Z

10、o及 f(Z) f(Zo)的起点分别取在Zo及f(Z。)。当较小|Z Zo |时，| f'(Zo)|近 似地表示通过映射后，| f(z) f(zo) |对 |z zo |的伸缩倍数，而且这一倍数与向量Z Zo的方向无关。把| f'(Zo) |称为f(Z)在点Zo的伸缩率。现在用几何直观来说明单叶解析函数所作映射的意义。设 w=f(Z)是在区域D内解析的函数，Zo D,Wo f(Zo),Zo D, f'(Zo) o,那么 W=f(Z)把Zo的一个邻域内任一小三角形映射成 W平面上含Wo的一个区 域内的曲边三角形。这两个三角形的对应角相等，对应边近似成比例。因此这两个三角形

11、近似地是相似形。止匕外，W=f(Z)还把Z平面上半径充分小的圆| Z Zo |近似地映射成圆|W Wo | | f '(Zo) |(o),定义7.1如函数W f (Z)在点Zo的某邻域内有定义，且在点Zo处具有：( 1)伸缩率不变性，(2)过Zo的任意两曲线的夹角在变换 w f(Z)下，既保持大小，又保持方向，则称函数W f (Z)在点Zo是保角的，或称W f(Z)是在点Zo的保角变 换。如果w f (z)在区域D内处处保角的，则称w f(Z)在区域D是 保角的，或称W f(z)是在区域D内的保角变换。由上面的讨论，我们有定理7.4如函数w f (z)是区域D内的解析函数.则它在导数不

12、为零的点处是保角的。定义7.2如函数w f(z)在区域D内是单叶且保角的，则称变换w f (z)在区域D内是共形的，也称它为区域 D内的共形映射。对于单叶解析函数，我们得到：推论7.5如函数w f(z)在区域D内单叶解析函数的.则它在区域D 内是保角的第二节分式线性变换分式线性函数是指下列形状的函数:w L(z)az bcz d其中a,b,c,d是复常数，而且ad bc 0。条件ad bc 0是必要的，否则变换L(z)恒为常数。当c 0时,称它为整线性函数。分式线性函数的反函数为d w bz,cw a也是分式线性函数，其中(d)( a) bc 0。当c 0时，所定义的分式线性变换是把z平面双射

13、到w平面。为了以后讨论方便，把分式线性变换的定义域推广到扩充复平面C上。当c 0时，在z 处定义w ；当c 0时，在z d,z c处分别定义为w , w a ；这样分式线性变换可看成C到C的一个 c双射。般分式线性变换是由下列四种简单变换函数叠合而得，如把及w看作同一个复平面上的点，且有(1)、w z a (a为一个复数)确定了一个平移；(2)、w eiz (为一个实数)确定一个旋转；(3)、w rz (r为一个正数)确定一个以原点为相似中心的相似映射;(4)、1及关于实轴的对称映射w zZ复合而成的。事实上，我们有:(c 0),(c 0).az b a z b、 w(z )d d aa z

14、b a bc ad 1 wcz d c c cz d例7.4试证：除恒等变换外，一切分式线性变换都有两个不动点(考 虑重数)。证明：分式线性变换都有不动点一定满足方程az b z -cz d即cz2 (d a)z b 0如c 0,显然上面的方程有两个根。当c 0,则d 0,方程变为(d a)z b 0。进一步，如a d,有z b/(d a),同时可以看到：变换把z 映射成w ;如2 d ,则 b 0, z 为二重不动点。接下来，讨论分式线性变换的映射性质。平移、旋转及以原点为相似中心的相似映射都是保角的， 且在扩 充复平面上是单叶的，从上面讨论知道：仅需考察 w 1/z (反演变 换)的共形性

15、质。如果z 0,，则dw dz这时，反演变换是保角的。在z 0,处，先给出:定义7.3二曲线在无穷远点处的交角为，如果这两条曲线在反演 变换下的像曲线在原点处的交角是由该定义知道：反演变换在z 0及z 处是保角的。所以我们 得到：定理7.7分式线性变换在扩充复平面上是共形的。定义7.4扩充复平面上有顺序的四个相异点 乙,z2,z3,z4构成的量(ziZzsZ)乙4 24z4z2 z3z2称为交比 定理7.8在分式线性变换下，四个点的交比不变。即分式线性函数把 扩充z平面上任意不同四点zizzz分别映射成扩充 w平面上四点 W|,W2,W3,W4,刃B 么亿222) (Wi, W2,W3,W4)

16、.证明：设a zi b .Wi ,i 1,2,3,4,C4 d则(azi b)(czj d) (a zj b)(czi d) (zi zj )(ad bc)Wi Wj (czi d)(czj d)(czi d)(czj d)故定理成立定理7.9设分式线性变换将扩充 z平面上三个不同的点乙,Z2,Z3指定 变为扩充W平面上三个点Wi,W2,W3,则此分式线性变换能被唯一确 定，并且可以写成(Z,Zi,Z2,Z3) (W,Wi,W2,W3) .规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。定理7.10在扩充复平面上，分式线性变换把圆映射成圆。证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相

17、似映射及1 一w 1型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射 Z成圆，所以只用证明映射w 1也把圆映射为圆即可。Z在圆的方程,22、，a(x y ) bx cy d0,z Z2iaZZz d 0,其中a, b ,c, d是实常数,5b(如果a=0,这表示一条直线)中，代入2y zz, x则得圆的复数表示:函数W 1把圆映射成为dWWZw a 0,即w平面的圆(如果d=0, 为无穷大的圆)。它表示一条直线，即扩充 w平面上半径设分式线性变换把扩充z平面上的圆C映射成扩充w平面上的 圆C'。于是，C及C'把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点 的区域，Di,D2及D

18、i',D2',其边界分别是C及C'。则此分式线性变换 把Di映射成Di',D2之中的一个区域，但是，Di的像是Di'还是口2?我 *们可以通过检验Di中某一个点的像来决定。进一步，我们看到：扩充Z平面上任何圆，可以用一个分式线性 变换把它映射成扩充 W平面上任何圆。事实上，设C是z平面上的一个圆，C'是w平面上的一个圆， 在C和C'上分别取三个不同的点ZiZZ和wln ,由定理7.10, 存在一个分式线性变换，把 乙,Z2,Z3映射成Wi,W2,W3,从而把圆C映 射成圆C'。定义7.5给定圆C：|z z0| R(0 R)，如果两

19、个有限点zi及Z2在过z。的同一射线上，并且2|Zi Z0IIZ2 Z。| R , 那么我们说Zi及Z2是关于圆C的对称点。容易得到：Zi及Z2是关于圆C :|z Zo I R(0 R )的对称的充 要条件是R2Z2 Z0 .乙 Z0注解i、圆C上的点是它本身关于圆C的对称点.注解2、规定Z0及 是关于圆C的对称点.定理7.ii不同两点zi及Z2是关于圆C的对称点的必要与充分条件是： 通过Zi及Z2的任何圆与圆C直交.证明： 如果 C 是直线（半径为无穷大的圆）；或者 C 是半径为有限的圆，乙及Z2之中有一个是无穷远点，则结论显然.现在考虑圆C为|z Zol R（0 R ），而乙及Z2都是有限

20、的情 形.（必要性）设乙及Z2关于圆C的对称，那么通过乙及Z2的直线（半 径为无穷大的圆）显然和圆C直交。作过乙及Z2的任何圆（半径为有 限）C'。过Zo作圆C'的切线，设其切点是Z'。于是22| Z' Zo | | Z1 Zo | Z2 Zo | R ，从而|Z' Zo| R。这说明Z' C,而上述C'的切线恰好是圆C的半径， 因此C与C'直交。（充分性）过乙及Z2作一个圆（半径为有限）C',与C交于一点 Z'。由于圆C与C'直交，C'在Z的切线通过圆C的心Z。显然，乙及 Z2在这切线的同一侧。又

21、过 乙及Z2作一直线L,由于L与C直交，它 通过圆心Zo.于是乙及Z2在通过Zo的一条射线上。我们有2| Z1 Zo | Z2 Zo | R因此，乙及Z2是关于圆C的对称点。定理7.12如果分式线性变换把 Z平面上圆C映射成w平面上的圆 C,那么它把关于圆C的对称点乙及Z2映射成关于圆C'的对称点wi及 w2 。证明：过wi及W2的任何圆是由过乙及Z2的圆映射得来的。由定理7.11, 过乙及Z2的任何圆与圆C直交，从而由分式线性变换的保形性，过Wi 及W2的任何圆与圆C'直交。再利用定理7.11, Wi及W2是关于圆C'的对称点 例：考虑扩充w平面上的一个圆|w|二R。

22、分式线性变换z 乙w ,z Z2把乙及Z2映射成关于圆|w|=R的对称点。及，把扩充z平面上的曲Z_ZiZZ2R,映射成为圆w|二R。由定理7.11、7.12知，上式表示的一个圆，乙及Z2 是关于它对称点。下面考察分式线性变换的一些应用。(1)把上半平面Im z>0保形映射成单位圆盘|w|<1的分式线性变 换。这种变换应当把Imz>0内某一点z0映射成w=0,并且把Im z=0 映射成|w|二1。根据分式线性变换的性质，它应把关于实轴 Imz=0的 对称点映射成为关于圆|w|=1的对称点，因此，所求变换不仅把Zo映 射成w=0,而且把Zo映射成w 。该变换可表为：zZoZZo

23、其中 是一个复常数。如果Z是实数，那么|w| I 11°1 I I 1，z Zo于是 ei ,其中 是一个实常数。因此所求的函数变换应是i Z Z0 w e - z Z0由于z是实数时，Wl=1,因此它把直线ImZ=0映射成圆|w|=1,从而把上半平面Imz>0映射成|w|<1或|w|>1,又因为当zZ0时,|w|= 0<1,这个函数正是我们所要求的。注解：1、圆盘|w|<1的直径是由通过Z0及Zo的圆在上半平面的弧映射成的;2、以w=0为心的圆由以Z0及Z0为对称点的圆映射成的;3、w=0是由z Z0映射成的。(2)、把单位圆|z|<1保形映射成

24、单位圆盘|w|<1的分式线性变换。这种变换应当把|z|<1内某一点Zo映射成w=0,并且把忆|=1映射1成Wl = 1。不难看出，与Z0关于圆|z|=1的对称点是二，和上面一样,Z0这种变换还应把 工映射成w ,因此所求的函数应是:Z0z Z0 w z 1/Z0ZZ0i-1ZZ0其中1是一个复常数。其次，如果|z|=1时，那么1 五。zz Z°z z(Z Z0),于是1w1| 111Hl11，因此ei ,其中 是一个实常数。所求的变换应是i Z Z0w e -1 ZZ0由于当|z|=1时，|w| = 1,因此它把圆|z|二1映射成圆|w| = 1,从而把 |z|<1

25、映射成|w|<1或|w|>1,又因为当z z0时，|w|=0,因此这个变换 正是我们所要求的。1汪解：1、圆盘|w|<1的直径是由通过 0及'的圆在|z|<1内的弧映射 z。成的;1,2、以w=0为心的圆由以乙及'为对称点的圆映射成的; zo3、w=0是由z z°映射成的。在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解 析函数的定义域共形映射成较简单的区域， 以便进行研究及计算，我 们下面给出几个实例。例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1, Imz>0保形映射成上半平面。解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数把-1及+1分别映射成w'平面上的0及 两点，于是把|z|= 1及Imz=0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。由于分式线性函数中的系数是实数，所以 z平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z=0映射成w'=-1,半圆的直径 AC映射成（0）OCD( 1)A(0)B(1)D( i)w平面上的负半实轴显然圆|z|二1映射成 w'平面上的虚轴；又由于 z=i映射成i 1W i ,半圆ADC映射成w&