概率论与数理统计考试试卷(经,A卷)及参考答案

1、哈尔滨工业大学20172018年度第I学期概率论与数理统计考试试卷(经,A卷)及参考答案一.填空题(每空两分，共30分)1 .若A,B为随机事件，且 P(A) 0,6, P(B A) 0.2.当A与B相互独立时,P(B) 0.5; A与B互不相容时，P(B) 0.2。2,若每次13t验时 A发生的概率都是 0.2, X表示50次独立试验中事件 A发生的次数，则 E(X) 10, Var(X) 8。3 .若随机变量X只取 2,1之三个可能值，且P(X 2)0.15, P(X 1) 0,5。则E(X) 0.9, Var(X) 1.69。4 .若随机变量XhX2相互独立，且X1N(3, 32), X

2、2N(1, 22)。令X X 2X2, 则 E(X) J, Var(X) 25, P(X 1) = 0.5。1 n5.若X1, X2, ,Xn为抽自正态总体 N( , 2)的随机样本，记 X - X-n i 1c 1 nS2 (Xi X)2.则 4n(X)/ N(0,1),而(X)/MS2 n 1 i 1n n2tn 1, (n 1)S / n 1。进一步，记Z为标准正态分布上分位2 一点，tm()为自由度为m的t分布上 分位点，m()为自由度为m的2分布上 分位点，m为自然数，01为常数。当2已知时，的置信系数为1 的置信区间为2X ( /,n)Z /2,X ( /Mn)Z /2;当 未知时

3、，的置信系数为1的置信区间为X (S/Jn)tn1( /2),X (S/Vn)tn 1( /2),2 的置信系数为 1的置信区间为2(n 1)S2n 1(/ 2)2(n 1)S223(1/ 2)注：做以下各题须写出计算步骤，否则不能得分。计算题(共70分)1.(14分)盒中装有8个乒乓球，其中有6个新的。第一次练习时，从中任取2个来用，用完后放回盒中。第二次练习时，再从盒中任取 2个。(1) .求第二次取出的球都是新球的概率；(2) .求在第二次取出的球都是新球条件下，第一次取到的球都是新球的概率。解：设A表示第一次取到 i个新球，i 0,1,2； B表示第二次取到2个新球。则(1) .由全概

4、率公式，得2P(B) P(A)P(B|A)i 0c2c6 C52-c8rc82C2C c2 c2225784;(2) .由贝叶斯公式，得P(A2|B)P(A2)P(B| A2)P(B90/784225/7842. (15分)设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为f (x,y)Ax(x y), 0 x 2, |y| x,0,其他.(1) .确定常数A； (2).求X的边缘概率密度函数fX(x)； (3).求E(X+Y).2x1解：(1).由 f (x, y)dxdy dx Ax(x y)dy 8A 1,得 A -；0x8(2) .fX (x)f (x, y)dyx(xy dy , 0 x 2;

5、x 84(3) .E(XY)(x y) f (x, y)dxdy2dx0x(x24162dx0x(x2y2)dyy2)dy153. （13分）若Xi,X2, ,Xn为抽自正态总体N（2,2）的简单样本，求.2 .的矩估计；（2）.2 .的极大似然估计。解：（1）.由 EX 2 Var(X)_22(EX)4的矩估计为Xi2 1(2).建立似然函数cnL( ) i 12exp2)22取其对数后再对2求导,令上式为零,4. (14 分)设随机变量(1).Y的分布函数(2).(3).解：(1).(2).(3).4;(22)n/2expn(xi 2)2i 1d ln L(2)(xi 2)2, i 1n(

6、xii 12)2的极大似然估计为n(Xi2)2.x服从标准正态分布Fy（y）；N(0,1),记 YY的概率密度函数 fY（y）；Y的期望和方差。FY(y)fY(y)EYP(Y y)1y、2 e再由EY2Var(Y) EY2P(ey)P(X ln y)ln yx2 /2dx ；2(ln y)2/22xe0;x2/2 ,dx(EY)2 ,得1/2ex2/2 ,dx1 e(x1)2 /2 .1/2dx e ;(x 2)2/22 Rdx e及Var(Y) e2 e.5. (14分)对一批镒的熔点做 5次测定，结果为1269,1267,1271,1263 和1265oC。若 镒的熔点服从正态分布N( ,

7、 2),其中 和2为未知常数。对给定的检验水平0.05,做假设检验：(1) .H0：1266, H1:1266 ；(2) .Ho ： 24, H1: 2 4.附.标准正态分布上 5%位点为1.645,上2.5%分位点为1.96;定义22 ,P tn tn( ), P n n()，有：t4(0.05) 2.1318, t4(0.025) 2.7764, t5(0.05) 2.0150, t5(0.025) 2,5706,2,_2_2_24 (0.025)11,143,4(0.05)9,488 ,4(0.95)0,711 ,2(0,975)0,484,2_ 22_2 一一5 (0.025)12,833 ,5 (0.05)11,071 ,5 (0.95)1,145,5 (0.975)0.831 .解：由 n 5,0.05, x11269, x2 1267, x5 1265 ,得_1 521 5_ 2x -xi 1267 , s一 (xi x) 10, s * 10 .5 i 14 i 1(1),因 1.0 |x 1266 |