求圆锥曲线离心率的几种方法

1、关于椭圆离心率22设椭圆x2冬 1 (a b 0)的左、右焦点分别为 Fi、F2,如果 a b椭圆上存在点 P,使 F1PF2 90 ,求离心率e的取值范围。解法1:利用曲线范围设 P (x, y),又知 Fi ( c, 0) , F2 (c, 0),则FiP (x c, y), F2 P (x c, y)由 F1PF2 90 ，知 FiP F2P,则 F1P F2P 0,即(x c)(x c) y20222付xy c将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得2 22 22 a c a bx2-2a b2 22, 2a c a b但由椭圆范围及 F1PF2 902ab2,即 c22222可得a

2、c c a从而得e c 型，且e £ 1a 2a一 .2所以e , 1)2解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知IPF1I IPF2I 2a g2 IPF2I2 2严1|吟 4a2又由 F1PF290 ,知22_22|PFi| 吟 |旧 4c则可得 |PF1|PF2| 2(a2 c2)这样，|PF1|与|PF2|是方程u2 2au 2(a2 c2) 0的两个实根，因此224a2 8(a2c2)2c-2 a22-2因止匕e ，1)2解法3:利用三角函数有界性记PF1F2, PF2F1,由正弦定理有IPFilIPF2IIF1F2Isin sin sin 90叫吟sin sinIF1F2I

3、又IPF1I IPF2I 2a, IF1F2I2c,则有c 1e -a sin sin12 sincos22而0 | 90知 0 | 4522从而可信e 12解法4:利用焦半径由焦半径公式得|PFi| a ex, |PF2| a ex又由 |PF1|2 |PF2r |F1F2|2 ,所以有22222 22a 2cx e x a 2cx e x 4c222 c 22即 a e x 2c , x又点P (x,y)在椭圆上,222c a2e且x a,则知0x2 a2,即222c a2e, 2 八万，1)解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有2a |PF1| |PF2|平方后得222_22_2_24a2

4、 |PF1|2 IPF2I2 2| PF1|PF2| 2(|PF1|2 IPF2I2) 2|F1 F2I2 8c2c212信一2" 2 所以有e , 1)解法6:巧用图形的几何特性由 F1PF2 90 ,知点P在以|F1F2| 2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有 c bc2 b2 a2 c2，一2由此可得e , 1)2演练、直接求出a, c或求出a与b的比值，以求解ec2C2 a22在椭圆中，ea b2a1 .已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2 .已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为3 .若椭圆经过原点，且焦点为Fi(1,0

5、),F2(3,0),则椭圆的离心率为4 .已知矩形ABCDAB= 4, BC= 3,则以A B为焦点，且过 C、D两点 的椭圆的离心率为225.若椭圆与 J 1，(a b 0)短轴端点为P满足PFiPF2,则a b椭圆的离心率为e一，126.已知, 2 1(m 0.n 0)则当mn取得最小值时，椭圆 m n22-xy 32 1的的离心率为 m n227 .椭圆与 yy 1(a b 0)的焦点为Fi, F2,两条准线与x轴的交 a b点分别为M, N ,若MN & "1F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是8 .已知Fi为椭圆的左焦点， A B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上

6、的点，当 PhFiA, PO/ AB (O为椭圆中心)时，椭圆的离心率为22是椭圆 )+。=1 (a>b>0)上一点，Fp F2是椭圆的左右焦点，已知 a bPFF2 , PFF 2 , F1PF2 3，椭圆的离心率为e 10 .已知Fp F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若PF1F215 , PF2F175 , 则椭圆的离心率为11 .在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为<2 ,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为 二、构造a, c的齐次式，解出e1 .已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2 .以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆

7、的中心并且与椭圆 交于M N两点，椭圆的左焦点为 F1,直线MF与圆相切，则椭圆 的离心率是3 .以椭圆的一个焦点 F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于 M N两点，如果I MFI = I MO ,则椭圆的离心率是4 .设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆 于点P,若1PE为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 5 .已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭 圆于A、B两点，若 ABE是正三角形，则这个椭圆的离心率是三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。uuur uuur1 ,已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF2 0的点M总在 椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是2 .已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF2 90 ,椭圆离心率e的取值范围为3 .已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF260 ,椭圆离心率e的取值范围为224 .设椭圆x2 1 1 (a>b>0)的两焦点为Fi、F2,若椭圆上存在一 a b点Q 使ZF iQE=120o,椭圆离心率e的取值范围为5 .在 ABC中，AB