第一章1.11.1.3导数的几何意义(优秀经典导学案课时作业及答案详解)

1、A组学业达标1 .如果曲线y= f(x)上一点(1,3)处的切线过点(0,2),则有()A. f (1)0B. f (1)=0C. f (1)0.1-0答案：A1 1 一2.抛物线y= x2在点M 2，4处的切线的倾斜角是()A. 300 B. 45 C. 60 D. 901 1 O .1 .斛析：点M 2, 4满足抛物线y=x2,则点M为切点，y =2x, x=2时，y =1,即切线的斜率为1,故倾斜角为45：答案：B3,已知曲线v= f(x) = 2x2 + 2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为()A. -2 B. 1 C. 1 D. 21O1 O1 O解析：A尸f(x+ A)-f(x

2、) = 2(x+ A)2+2(x+ A) 2x22x=x 豆2(A)2+2A所以仔乜x+ 1A叶2,所以f (x)= lim 卓=x+2.设切点坐标为(x。，y0),则f (x0) X 2尹 0 AX= x0 + 2.由已知 xo+2=4,所以 x0=2.答案：D4,函数y= 1在2, -2处的切线方程是（）x JA. y= 4xB. y=4x 4C. y= 4x+ 4D. y= 2x-411一 十xx+ A x x解析：因为y = lim t0AXx x+ Ax i=lim a= JT2, r* 0Ax x 1所以切线的斜率k= y |x= 2=4,1所以切线万程是y+ 2=4 x万，即y=

3、 4x-4,故选B.答案：B5.已知曲线f(x) = ax3+1在点(1, f(1)处的切线方程为3xy1=0,则a等于()A. 1B, 2C. 3D. 4解析：因为切点在切线上，所以3X1f(1) 1=0,即f(1) = 2,又因为切点(1, f(1)也在曲线y= f(x)上，所以2=aX13+1,即a=1,故选A.答案：A6.已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记 k1 = f (1), k2 = f (2), k3 = f(2) f(1),则k1, k2, k3之间的大小关系为 .(请 用连接)解析：由导数的几何意义可知k1, k2分别为曲线在A, B处切线的斜f 2 f 1率

4、，而k3 = 42) f(1) =为直线AB的斜率，由图象易知 k1k3k2.21答案：k1 k3 k2, 一一 27,已知函数f(x) = ax的图象在点(一1, f(1)处的切线斜率是1,则此切线 x方程是.2 一a A在a a+2- 一，Av1解析：因为 f ( 1)=lim = lim ;中0 Ax 甲0Ax1一 a 展+aA 在 2Ax=lim7= lim唠 0AX唠 0AxAx 1 a Aa + 2=lim= 一（a+ 2） = 1,版041.2得a= 3,所以f(x) = :+3x,所以f(1)= 5,则所求切线的万程为y+5 = x x+ 1,即 xy4 = 0.答案：x-y

5、4=08 .已知曲线v= 72x22,用切线斜率的定义求曲线过点P(1,2)的切线方程为解析：因为A尸业1+ Ax2+2 2,Ay /2 1+ AX2+2-2所以涓”一工，所以k= lim 0AyA x=lim / 01+ A X2 + 2-22=limA Q 02 Ax +4AxAxA/2 1+ Ax2 + 2 + 22A叶4=lim / 01+ A x2 + 2 + 2-1.故曲线经过P(1,2)的切线方程是y- 2=x 1,即 x-y+ 1 = 0.答案：x-y+1 = 09 .如果曲线v= x2 + x3的某一条切线与直线y=3x+ 4平行，求切点坐标与切 线方程.解析：因为切线与直线

6、V= 3x + 4平行，所以斜率为3,设切点坐标为（x0, y0）,贝U y|x= X0= 3.f X0 + A x f xo又 y |x= x0 = lim= r* 04 Xxo+ A x2+ xo+ Ax 3 xxo + 3A x,2A x + 2xo A # A xA x（A 注2x0+1）=lim / 0=lim r* 0=lim 0=2x0 + 1,所以 2x0+1=3.从而 x0= 1,代入 y= x2 + x 3 得 y0= - 1,所以切点坐标为（1, -1）.切线的方程为y+1 = 3（x1）,即3x-y-4= 0.10.求过点（1, 1）且与曲线y=x32x相切的直线方程.

7、解析：显然点（1, 1）在曲线y=x32x上.若切点为（1, 1）,则由f （1）=lim中0f 1+ Ax-f11+Ax - 2 1+Ax 1=lim 0=lim （/x）2+3/x+ 1 = 1,A R 0所以切线方程为y（ 1） = 1x（x1）,即 x-y-2=0.若切点不是（1, 1）,设切点为（x0, y。）,W+1 x32x0+1 贝 U k=xo 1xo 1x0 x0 X0 1X0 1=x2 + x0 1.又由导数的几何意义知f xo + A x f xok- f (xo);lim t q oAx=lim oxo + A x3 2 xo + A x xo 2xoA x二3B一2

8、,所以 x2+xo1 = 3x2 2,所以 2xxo1 = o.1因为xow1,所以xo = 2.2.5所以 k=x6+xo1 =一彳，所以切线方程为y( 1) = 4(x1),即 5x+ 4y1=o.B组能力提升11.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设不等式正确的是()A. af (2)f (4)B. f (2)af (4)C. f (4)f(2)aD. f (2)f(4)a解析：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数的斜率越来越大，所以(2,f(2),f 4 f 2(4, f(4)两点连线的斜率的大小在点(2, f)处的切线斜率f (2)与点(4,4-2f(4)处的切线斜率

9、f (4)之间,所以f (2)af(4).答案：B12.已知直线ax-by-2=0与曲线y= x3在点P(1,1)处的切线互相平行，则(为B. 3r 1D . 一 Q3A. 31C.3解析：y. Ay x+ A x3 x3lim7=o Ax Ax3x A lim o因为点P(1,1)为曲线y=x3上一点，所以曲线y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=ay卜=1 = 3.由条件知，b=3.答案：B13.曲线y= x3在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .解析：y =lim x+；： x =3x2,所以切线的斜率 k=y户1 = 3X12=3,所 0以曲线v= x3在点(1,1)

10、处的切线方程为y=3x2,切线与x轴的交点为|, 0 ,1 _ 2 2与y轴的父点为(0, 2),所以S= 2X2X3=3.2答案：3314 .若点P是抛物线v= x2上任意一点，则点P到直线y= x- 2的最小距离为解析：由题意可得，当点P到直线y=x2的距离最小时，点P为抛物线y= x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线 y=x 2,由导数的几何意义知y=-1 ,12x= 1,解得x = 2,所以P 2,14，故点P到直线y=x 2的最小距离d=2答案:7821 ,一、一. _,、15 .已知曲线C: y= f(x) = ;一经过点P(2, 1),求: tx曲线在点P处的切线的斜率；曲线

11、在点P处的切线的方程；过点0(0,0)的曲线C的切线方程.1解析：(1)将P(2, 1)代入y=中得t=1, t-x1 a v f x+ A x f x所以y=，所以丁?1 x4A X4A X11, ,，一)1 x+Ax 1 x1. Ax1 -x- Ax 1 -x所以图 登彳1,所以曲线在点P(2, 1)处切线的斜率为k=:p=1.(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=x 2,即 xy 3= 0.(3)因为点0(0,0)不在曲线C上，设过点0的曲线C的切线与曲线C相切于点yo11 1 M(x0, y),则切线斜率k=Yc=2，由于y0=，所以x0=2,所以切点x0 1 x01 x0211_M 2, 2 ,切线斜率k= 4,切线万程为y-2 = 4 x-2 ,即y= 4x.16.已知直线l: y=4x+ a和曲线C: y= x3 2x2 + 3相切，求实数a的值及切点 的坐标.解析：设直线l与曲线C相切于点P(x0, W),3232因为xo+ A x 2 xo+ A x +3 xo 2xo + 3A x=(A )2+ (3x0 2) A 介 3x0 4x0.所以当 A/0 时，3x24xo,即 f (xo) = 3x2 4xo,Za X