河南科技大学数值分析(计算方法)期末试卷4及参考答案

1、河南科技大学数值分析（计算方 法）期末试卷4及参考答案河南科技大学2007至2008学年第二学期试卷二计算1.给定数据表：(15分)x12f(xi)23f (xi)0一填空(每空3分，共30分)共3(2)写出其插值余项，并证明之。3页河 南 科 技 大 学 教 务 处(1)构造Hermit插值多项式 H2(x),并计算f(1.5)。-1.在一些数值计算中，对数据只能取有限位表示，如J2%1.414,- - - -这时所产生的误差称为 。 - -一一一 ,密-2.设 f(x)=x7x61 , f30,31 = ,f30,31,IH,37, f30,31,IH ,38=3. 5个节点的牛顿-柯特斯

2、公式代数精度是 。4. 求方程 x2 =cosx根的 Newton迭代格式为 。5. 设 2 = (1,3,0,2),则同产，“f2 1|Ik；aa=/ ,则 IAL=。5 4J2 .已知方程x2十ln x 4 = 0 ,取x0 =1.5 ,用牛顿迭代法求解该方程的根，要求 ,日-xk <1父10工时停止迭代。(10分)13 .确定求积公式 彳 f (x)dx 定 Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)中的待定参数 A,B,C,x1 ,使其代数精度尽可能高，并指出其代数精度。(15分)试 卷B第 2页共3 页河 南 科技 大学 教 务一 .y = x y4.用Euler方法求解初值问题 y

3、yly(0)=0取h = 0.1在区间0,0.3计算，结果保留到小数点后 4位。(10分)5.用LU分解法解线性方程组（10分）1 23Yx、14 '2 52x218<3 15 人X3 /<20.>第3页共3页河 南 科 技 大 学 教 务 处.证明（10分）试证明线性二步法:yn 1 = ynhf (Xn1, Yn 1) f %，丫口)的局部截断误差与h3同阶，并求出截断误差的首项。2007-2008-2数值分析 A标准答案填空1.舍入误差4.2X - 8sxk xk 1 一人 一。c ;2xk sin xk2. 729, 1, 05. 6, 3,鼎,93. 5计算

4、1 .构造重节点的差商表:nxy一阶二阶012112022311所以，要求的Hermite插值为:22H2(x) =2 (x-1) =x -2x 3f (1.5) : H 2(1.5) =2.25f ( )22 . R(x) =(x-1) (x-2)证明：由题意可知 R(x) = f (x) -H2(x) 由插值条件知：R(1) = 0,R，(1) = 0,R(2) =0,(#)所以，可设： R(x) =k(x)(x -1)2(x -2)构造函数：(t) = f(t)-H2(t)-k(x)(t-1)2(t-2)易知:t=x,1,2时,中(t)=0,且叫1) = 0= "(t)=0至少

5、有一个根 " 即=中Y) = 0对(#)式求三阶导，并代入得：k(x)=fU3!所以，R(x)= f-(-(x-1)2(x -2)3!3 .解：设 f (x) =x2+ln x-4,则 f'(x)=2x+1，x牛顿迭代公式为：黑xkl nxk - 42xk ix3 +5xk -xk I xk2x2 1将 x0 =1.5 代入上式，得 x1 =1.8667 , x2 =1.8412 , x3 =1.8411x2 -x3 =0.0001 <10所以，方程的近似根为:x3 =1.84114 .解：设 f(x) =1 时，左=；f(x)dx=1 ,右=A+B+C ,左=右得：

6、A+B + C=1 f(x)=x 时，左=f(x)dx=1，= Bx1 + C ,左=右得：f(x)=x2 时 左=f f (x)dx =1 ,右=Bx12+C 左=右得: 03f (x) =x3 时，左二(f (x)dx =1 ,右=Bx:+C ,左=右得:1 Bx C =-221Bx12 C =一3Bx13 C =-42,C1,x1 =21f(x)=x 时，左=Jof(x)dx=g右=Bx14+C=",左#右25联立上述四个方程，解得:所以，该求积公式的代数精度是35 .解：Euler公式是:Lyn 1 = yn hf (4, yn) .y(x。)= v。具体到本题中，求解的 E

7、uler公式是:Yn 1 = yn 0.1M -丫0)= 0.9丫0 0.% y(0) = 0代入求解得:y1 = 0y2 =0.01y3 =0.0295.解，设A可以三解分解，即A = LU1l21<l311l32u11 u12u22U13U23u33 J由矩阵的乘法及矩阵相等可得:1J231424 ,令Ux = y,则Ax =b可转化为两个等价的三角方程组：Ly =b,Ux求解三角方程组：Ly =b ,得：y =(14,-10, -72)-求解三角方程组：Ux = y ,得：x =(1,2,3)-所以，原方程组的解为:x =(1,2,3) 一三.证明证明：分别将yn，y；，yn4在处用Taylor公式展开得：yn/= yn ynh+h2 h 3+o(h )3hfy；=y； - y；h *h2 o(h2)2!HFyn 1 = yn ynh 段 h2 o(h2)将以上三式代入线性二步法中，得：一 一 一yn 1 = yn ynh h h o(h )2!6又方程的真解的Taylor展式为：y (xn)