解析几何中的定值问题

1、解析几何中的定值问题1、(2014安徽高考)如图，已知两条抛物线 日：y2 2px(p1 0), E2: y2 2P2x(p2 0),过点O的三条直线11、12和13. 11与E1和E2分别交于A, A2两点，12与E1和2分别交于Si与S2,求证B1,B2 , 13与E1和E2分别交于C1,C2.记 AB1C1, A2B2c2的面积分别为息的值为定值. S2证明：设直线li1213的方程分别为ykx, y k2x, y k3x.把直线与抛物线联立求解得:2P1A(2P1 2P2互)，A2(V2P2、kJ2 PlB1(E2P12P2JB2P2、k2)2P12P2)，C2(_T-k3k32P2k

2、3).由三角形三顶点坐标面积公式得:_2S1=(2P1)(k1 k2 k1k2、) k1k3 k1k311k2k3 kS2=(2 P2)2(k1k2 k1k1 k3 k1k,11、()， k2 k3卜2卜3所以SL=(上L)2为定值.S2p2注：(1)设？ ABL顶点的坐标分别为(x1, y1), (x2, y2)，(x3, y3),则S ABC |x1(y3y2 ) x2 (y3y2)y2 (x3 x2) y1(x3 x2) | ;(2)原解答包含一个重要结论，A1BQ1, A2B2c2三边对应平行，进而，S. AB1cls4A2B2C2，S2A1B1A2B2p1 2=().P22、(200

3、7 重庆)2 X已知F是椭圆-2 a2y2 1(a b 0)的右焦点，在椭圆上任取三个不同点 b2比 P2,P3,使 RFP2P2FP3此定值.P3FP1 ,证明_J_1_J_为定值，并求|FPi| IFP2I | FP3 |证：引入椭圆的极坐标方程，准线的距离，e是极径与极轴的夹角设 | FR | ep,则1 ecos一ep一 .其中e是椭圆的离心率,1 ecosp是相应焦点到|FP2|ep21 ecos( )3|FP2|ep1 ecos( )3111|FPi | | FP2 | |FP3 |223 ecos cos( )cos( )33ep31为定值. b2例1、设AB是过椭圆22xy22

4、ab1(a b 0)右焦点F的一条弦，P是椭圆上异于 A,B的任一点，直线PA, PB分别交椭圆的右准线l于M ,N两点.求证：M ,N两点的纵坐标之积为定值，并求该定值.分析：此题若按常规方法设立坐标求解，将会异常困难，不妨从平面几何的角度考虑.角平AC CM分线的性质：如图1, AABC43,若AM平分/ ABC等价于 ,同理若AN平分/ BACAB MBAC CN的外角/ BAD等彳于4 CNAB NB图1解：如图2,延长PF交l于Q ,延长BA交l于C,连FM下证FMF分/ PFA勺外角/ QFA设A, P为A,P在l上的射影，则LAM-|LAA!LAFJ,所以FM为/PFA的外角平|

5、MP | pp |!PF!分线，即FMFK/ QFA同理FN平分/ PFB的外角(即FN平分/ QFB,从而/ MFI=90o .设2b42为定值.a bCN图2MAPQ x2 X2、A为椭圆七a2y 1(a0)上一个定点.过A任作两条互相垂直的弦 AB, AC证l 交轴于 K,则 | KM | | KN | | KF | ,从而 yM yN明直线BC通过一个定点.证：我们平移坐标轴，使得 A为原点.设过A的已知曲线方程为22a1x c1y dx ey 0 (1).(1)过原点A,所以没有常数项.设直线BC的方程为mx ny 1 .则过B, C两点的直线 AB, AC的方程是22a1xc1y(

6、dx ey)(mx ny) 0 (2)(2)的左边是的二次齐次式，所以它表示两条过原点A的直线.而B, C的坐标均适合(2),所以(2)表示AB AC.因为AB AC互相垂直，所以(2)作为y的方程，两根之积为一1,即x(a dm) (c en) 0,4.de整理为m() n() 1 (3).ai ciai cid e比较(2)与(3),得直线 BC经过定点(，e).a1 c1 a1 c13、如图，已知A,B是圆O x2 y2 4与x轴的两个交点，P为直线l ：x 4上的动点，PA, PB与圆O的另一个交点分别为 M ,N .证明：直线MNi定点，并求出定点证：设 P(4, y0), M (x

7、1, y1), N (x2, y2).则kBP 与 3 当 3kAP 263yiy29(4 xi2)4 x2xi 2x2 2 (xi 2)2 (x2 2)22xix2 5(xi x2) 8 0 (i).设 Imn ： y k(x m).9(2 x1)2 x2xi 22 x2代入x2 y2 4 0得(1 k2)x2 2k2mx k2m2 4 0.由韦达定理得x1x22k2m1 k2 ，Xlx222km 41 k2代入（1）式并整理得k2（m2 5m 4） 0.当 k 0, m 1 或 n=4(舍).当k 0时，直线MNIP为AB所以，直线MNN点（1,0）.另证：设直线MNW轴的交点为K（m 0

8、）,2因为PK2 P的哥（关于。Q K的哥（关于。0) , (4 m)2y216 y2 4 (m 2)(2 m)4、：已知A,A2分别为椭圆2与 1(a b b20）的左右顶点，P为椭圆右准线上任一点，连接PAi , PA2分别交椭圆于 M,N两点，求证：直线MN通过椭圆的右焦点ax1aXi(1).a2 a(x1 x2) x1x2 a2 a(x1 x2) x1x2 ,证：设MN在直线为y kx m, 2aP( 一, y0),M (Xi , yJN 只,Q A ( a,0), A2(a,0) c由y2aXia一 a c2 22ycy1-222a (a c)(xia)2 2yc22a (a c)2

9、 2同理有常孑:（2）,(1) (ac)(ax1)(ax2)由7(2) (ac)(axj(ax2)XiX222,(a c) aa(x1X2)X1X2联立直线MNW椭圆,得,2, 2, 2、 2 C 2,(a k b )x 2a kmX2/22a (m b )0,由韦达定理有，X1X22,2a km 、，、，2. 2 r-2 ,X1 X2 a k b222a (m b )小、 /曰2-2，代入(3) 得a2k2 b2ckm2-2 ,(a c) (ak m)m kc.所以直线MN1过椭圆的右焦点2 X例5:已知F为椭圆 31的右焦点，过F作两条互相垂直的弦 AB , CD,分别为AB , CD的中

10、点，求证：直线MN亘过定点，求出定点坐标 证明：设AB所在直线方程为：y k(x 1),联立求解得_22 _2_2 一(2 3k )x6kx 3k6 0XM3k22k2 , yM2 3k22 3kXN32k_ 2, y N_ 22k2 3 2k2 3kK MN310(k k)6(1 k4)2k10(k3 k)24 (x2 3k6(1 k )3k2- c, 2 )2 3k当斜率不存在时，直线MNBP为X轴.人 c3令 y=0, x 一.53 直线MN通过定点(3,0).5注：此题不难，难在最后想到令 y=0,因为当斜率不存在时，直线MNIP为X轴.2 x 例6.已知 ABC的三个顶点在椭圆-2a2L 1(a b 0)上，坐标原点 b2O为ABC的重心.证明:ABC的面积为定值.证法(一):令 A(acos ,bsin ), B(a cos , bsin ).贝U C( a(coscos ),b(sin sin).由点C在椭圆上，代入得(cos cos)2 (sin2s