空间向量知识点归纳总结-精选.

1、空间向量知识点归纳总结知识要点。1 .空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫 做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示 同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表 示。2 .空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）OAuuuuuuuuurv uuuuurOBOAABab ； BAOA运算律：加法交换律：加法结合律：（a b） cuuu rob aabbaa (b c)数乘分配律：（a b） a b3 .共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合， 那么这些向量也叫做共

2、线向量或平行向量，a平行于b ,记作a / b。当我们说向量a、b共线（或ab）时，表7K a、b的有向线 段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量 a、b （b中0）, ab 存在实数入，使a =入b。4 .共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面 向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。rr（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数"丫使3 xyb5 .空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c不共面，那么对空 间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组x, y,z ,使 p xa

3、yb zc若三向量a,b,c不共面，我们把£6叫做空间的一个基底， a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的 一个基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存 在唯一的三个有序实数x,y,z,使OPr xOA yOBu zOCr o6 .空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A,存在唯一的有 序实数组(x, y, z),使oA xi yi zk,有序实数组(x, y,z)叫作向量A在 空间直角坐标系O xyz中的坐标，记作A(x, y,z), x叫横坐标，y叫 纵坐标，z叫竖坐标。wo

4、rd.(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1,r r r这个基底叫单位正交基底，用i,j,k表示。(3)空间向量的直角坐标运算律：rrr r右 a(),2,3), b(bbh),贝Ua b(a14,2b2,3d),r rra b (a bi,a2 b2,a3 坊)， a ( a1，a2, 23)(R),r ra b a1bl a2b2 a3b3 , r ra/b a b© b2©4( R),r ra ba1b1 a2b2 a3b3 0。uuir右 A(x1，yz) , B(x2,y2,z2),贝U AB d xl yz 乙)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于

5、表示这个向量的有向 线段的终点的坐标减去起点的坐标。rr(b1,b2,b3),(4)模长公式：右a电鼻向)，b贝 U | a | . a a - ai(5)夹角公式:cos： a b jra br=|a| Iblai2. 22b2b3aha2b2a3b322222a2a3-,hbib22 ° b3(6)两点间的距离公式：若A(Xi,yi,4), B(X2,y22),贝U | AB | ,AB2 , (X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Zi)2 ,或 dA,B.(X2 Xi)2 (y2 yi)2 & 乙)27.空间向量的数量积。r（D空间向量的夹角及其表示：已知两非零向

6、量a,b,在空间任取一点O,作OA a,OBr b,则AOB叫做向量a与b的夹角,记作r r a, brra, b ；且规 JE 0 a, brr，显然有a,bb,a；右rr-,则称a与b互相垂直，记作：a b o2（2）向量的模：设OA a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：1a1。rr（3）向川的数母积：已知向建 a,b,则iaibicosa,br叫做a,b的数量积，记作ab,即abr（4）空间向量数量积的性质:r r|a| |b| cosr ra,b 。r r . r . r r a e | a | cos a, ear a a（5）空间向量数量积运算律:r rr rr r

7、(a) b(a b) a ( b)。a （交换律）。a （b r） a b a c （分配律）（6）:空间向量的坐标运算：i.向量的直角坐标运算设a(i)(ai bi,a2(3)aibi a2 b2二(ai ,a2, a3), a + b =b2, a3 4)；(ai,2.设 A(xi, yi, zi),3、设r raPbrb = (n,b2,b3)则(aia2,bi,a2 b2, a3 b3)a3)(入 G R)uuuB(X2, y2,Z2),则 ABa (Xi,yi,Zi), b (X2, y2,Z2)b(b 0)；(2)uuuOBuuuOA =(X2Xi, y2yi, Z2XiX2y1y

8、2ZiZ2Zi).0.r4 .夹角公式 设2 =（阚岛），b =（bhh）, 则cosa,baibia2b2a3b3：a； a2a；b2b2b325 .异面直线所成角r rcos|cos a,b | =MM|a| |b|x1x2、1、2z1z2|222222：XiyiZiX2y2 Z26.平面外一点p到平面的距离r . 一_.已知AB为平面 的一条斜线，n为平面的一个法向量，A到平面的距离为:uur rd 0|n|【典型例题】例i.已知平行六面体-ABCD ,化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。/ 、uur uur(1) AB BC ；.ULUT UUT i UUUU AB AD -CC

9、；2/ 、UUin uult uult AB AD AA ;i UUT UULT uuur 3 (AB AD AA)。G在线段MN上，且MG例2.对空间任一点。和不共线的三点A,B,C,问满足向量式： UUU UUT UUU UUUTOP xOA yOB zOC （其中x y z i）的四点P,A,B,C是否共 面？例3.已知空间四边形OABC ,其对角线OB,AC , M,N分别是对边OA,BC的中点，点UUT UUT UULT 1.一OA,OB,OC 表7KUUUL向反OG。例4.如图，在空间四边形OABCP, OA 8, AB 6, AC 4 , BC 5,如OA,ACr135。易错写O

10、AC 45o,OAB 60o,求OA与BC的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错, .、uuu uur成 OA, AC45o,切记！例 5.长方体 ABCD A1B1c1D1 中，AB点，F为BC1与B1c的交点，又AF BE空间向量与立体几何练习题一、选择题1 .如图，棱长为2的正方体ABCD ABGD1在空间直角坐标系中，若E,F分别是BC,DDi中点，则EFr的坐标为()A. (1,2, 1) B. _( 1,2, 1)C.( 1, 2,1) D. (1, 2, 1)2 .如图，一ABCD是正方体，BE1=DF1=A曳，4则1与1所成角的余弦值是()A 15B. 1172C.力D

11、.53 .在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，E为word.uuuPD中点，右PAra，uuuPBr uuir b , PCrc ,r r uuu则BE (1 r 1 r A. -a b1r cB.1 r- a1rb1 r-c222一2221 r 3 r C. 一a -b1r cD.1 r-a1r b3r c222222二、填空题uur uur r4 .右点 A(1,2,3) , B( 3,2,7)，且 AC BC 0,贝 U 点 C 的坐标为.5 .在正方体ABCD ARG)中，直线AD与平面ABCi夹角的余弦值为.三、解答题1、在正四棱柱1BGD中，1与底面所成的角为，4(1)求

12、证BD1面ABiC (2)求二面角Bi AC B的正切值2 .在三棱锥P ABC中，AB AC 3AP 4, PA 面 ABC , BAC 90 , “ D 是 PA 中点，点 E 在 BC 上，且 BE 2CE,(1)求证：AC BD ； (2)求直线 DE 与PC夹角 的余弦猛；(3)求点A到平面BDE的距离 d的值.3 .在四棱锥P中，底面是一直角梯形，/ 90° , 2a,且，底面，与底面成 30°角.(1)若，E为垂足，求证：±(2)求异面直线与所成角的余弦值.4、已知棱长为1的正方体1, E、F分别是BG、CiD的中点.(1)(2)求点A到平面的的距离

13、丘(3)求求证：E、F、D B共面; 直线AD与平面所成的角.word.5、已知正方体一ABGD的棱长为2,点E为棱的中点，求：(1) DE与平面iD所成角的大小；(II)二面角D1 C的大小;【模拟试题】1 .已知空间四边形 ABCD ,连结AC,BD ,设M ,G分别是BC,CD的 uur uuin uuin中点，化筒下列各表达式，弁标出化徇结果向量：(1)AB BC CD ;uuu i uur uur AB (BD BC)；uuur i uuu umr(3) AG -(AB AC)。2.已知平行四边形，从平面 uuu uur uur uuu uur uur uur OE kOAOF kO

14、BQG kOC,OH面；平面AC 平面EG。AC外一点O引向量。kODo (1)求证：四点E,F,G,H共DF求BEi与DFi所成角的余弦。3. 如图正方体 ABCD A1B1C1D1, B1E14. 已知空间三点 A (0, 2, 3), B( 2, 1, 6), C (1, 1, 5)。求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；的坐若向量a分别与向量AB,AC垂直，且a=c,求向量a标。5. 已知平行六面体 ABCD ABCD 中AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90 o ,BAA DAA 60 o ,求 AC 的长。3.参考答案1.解：如图,(1)uuuABuuu AB

15、uuuABuuuu BMuuur AGuurBCuuirCD AC1 uuur (BD2 uuuu MG1 uuur (AB22.uuurBC)uuurAG ；uuurAC)CD uur ABuuirAGADuuur一 BC 2uuuin AM1 uuur -BD。2uuuuMG 。解：（1）证明：二四边形ABCD是平行四边形,uuuruuruuuruuuuuuruuu uuurk OC k OA k(OCOA)kACk(AB AD)uuu uuuuuuruuuuuuruuruuun uurk(OB OA OD OA)OFOEOH OEuuiruuurEF EHuuur : EGuuur uu

16、ur OG OE ,二. E,F,G,H 共面； uuu(2)解：: EF/. EF / AB, EG / ACuuurOFuuinOEuuu uuu uuuk(OB OA) k AB ,所以，平面AC平面EG 。解：不妨设正方体棱长为3则 B(1,1,0),E1(1,一 ,1),4uului二 BE11 uuuu(。，4，1), DF1uuur uuur /. AC AB uuur又丁 EG k1,建立空间直角坐标系D(。,。,。)，1(0,-,1),41叫,1),uuuAD ,uuurAC ,uuuuBE1uuuuDF117uuiu uuurBE1 DF10 01 1 )4 415151 O16uuur uuuucos： BE1 ,DF11617 “1715o17uur4.分析：Q ABuur2, 1,3),AC (1,3,2), cos BAC/ = 60设a=r uuur a ACo(x,x 3yy,2zuur uuir| AB | AC |sin60oz),则 a0,|a| ,3uur AB解得 x=y = z= 1 或 x = y = z = (一 1, 一 1, 1 1)o