平面向量的数量积(公开课)10月20日

1、第三讲第三讲 平面向量的数量积平面向量的数量积江口中学江口中学数学组数学组 许鹏许鹏 知知 识识 梳梳 理理1、平面向量数量积（内积）的定义：、平面向量数量积（内积）的定义：规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为0。.cosbabababacosba,ba，即（或内积），记作的数量积和叫做向量我们把数量，它们的夹角为和已知两个非零向量2、向量数量积的性质、向量数量积的性质 夹角位向量的e与a是方向相同的 单b是与e都是非零向量，b，a设 cos |a| = ea=ae)(10ba b(2)a。或特别地，同反时，与当同向时，与当aaaaaa ba-baba bababa

2、(3)2babacos)4(baba)5(分配律：分配律：()abca cb c 将结合律中的某一向量换成数将结合律中的某一向量换成数()()()a ba bab ？ ？数乘结合律数乘结合律abba交换律交换律结合律：结合律：)(cbacba ）（？向量数量积向量数量积不满足结合律不满足结合律3、平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律探探 究究讨论结果讨论结果 .”也不能写成“”不能去掉，中间的“,ba成的数量积只能写b与a两个向量 (2)此此点点很很重重要要注：注： (1) 两个向量的数量积是一个数量，这数量两个向量的数量积是一个数量，这数量 的大小与两个向量的长度及其夹角有关。的大小

3、与两个向量的长度及其夹角有关。(3)(3) 的夹角为的夹角为3030，分别求，分别求 。例题例题1 1 已知已知 ; (2); (2) ; ;2,5,(1) |aba b若abab与a b 10-1-52018cosbaba101520cosbabab|a)1(或时，当解：005209cosbababa)2(时，当35235203cosbaba30ba)3(时，的夹角为与当例例 题题 讲讲 解解.ba120ba,4b,5ao求，的夹角与已知60180cos45120cos45ocos|baba解：1060cos45学生训练：学生训练：2 2、夹角问题、夹角问题例题例题2 (2005年北京)若

4、,且 ,则向量 向量的夹角为 ( )1,2,abcabcaba与150 D. 120 C. 60 .B 30 .A解解:依题意依题意2()0cos0aabaa b 1cos2 0120 C学生训练学生训练: 已知已知.的夹b与向量a求向量角2,3,7abab解解: 7ab2227aa bb 31cos,2 32a ba ba b 故夹角为故夹角为6060. .3.3.向量模的问题向量模的问题例题例题3 3 已知向量已知向量 满足满足 且且 的夹角为的夹角为6060，求求 。,a b 6,4abab与3abab和解解: 因为因为 且且 的夹角为的夹角为60606,4abab与12a b 2227

5、62 19abaa bb 223691086 3.abaa bb 学生训练：学生训练： (2006 (2006年福建年福建) 已知已知 的夹角为的夹角为120120， ， ab与3a 13a b）等于（则 bD.1 C.3 B.4 5 .A2222abaa bb 解解: 2202cos12013aa bb B, 4b故选解得课课 堂堂 练练 习习 ) (ba,6ba,10bab, a)2014(1则满足设向量全国新课标二、的值。求，设中，的正三角形如图：边长为babCAaBCABC2:2CBA1 120cos22 cosbabaoo120ba夹角的与解：如图可知：D0303 2 /1 5|4|

6、3的夹角为与）（）（）（求，在下列条件下，、已知bababababa.0,0,0. 0,0,0) 1 (babababa是否一定有且若成立吗？这一结论对于向量，还一定有那么，且在实数中，如果. 0baba.零向量但两个向量可以都不是，时，当不一定答案： 进一步思考进一步思考 (2) 如果如果 a、b、c 都是实数，都是实数，a c= b c, 且且 c0，那么，那么，a = b . 这一结论对于向量能成立吗？这一结论对于向量能成立吗？吗？则一定有且也就是，若ba,0c,cbca .,0,baccbcaba但答案：如图，bac 小小 结结 回回 顾顾1、掌握平面向量数量积的定义，熟练掌握两个向掌握平面向量数量积