第十一章11.111.1.2构成空间几何体的基本元素2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型

1、11.1.2 构成空间几何体的基本元素课标要求素养要求1 .以长方体为载体，认识构成几何体的 基本元素，认识和理解空间点、直线、 平间的位置关系.2 .用数学符号表示点、直线、平间的位 置关系.以长方体为载体，认识和理解点、直线、 平面的位置关系，培养学生的数学抽象 素养，提升直观想象素养.课前预习知诉探究教材知识探究情境引入|与我们生活密切相关的住所和使用的建筑物从形状上来看,它们都是由几何体构成的.问题构成空间几何体的基本元素是什么？提示 可以将点、线、面看成构成空间几何体的基本元素上新知梳理1 .空间中的点、线、面可以将去 组 看作构成空间几何体的基本元素，点运动的轨迹可以是线，线 运动

2、的轨迹可以是也 面运动的轨迹可以是体_.2 .空间中点与直线、直线与直线的位置关系两条直线有平行、相交、异面三种位置关系(1)两点A和B确定的直线记作直线 AB,可用小写字母表示直线，如直线1;点 A是1上的点，记作 A_L，点D不是1上的点，记作D21.(2)空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面.如果a与b是空间中的两条直线，则anbw?与aAb = ?有且只有一种情况成立， 而且当aC b=?时，a与b要么平行(a / b),要么异面.直线1与直线m相交于点P,记作 mA l = P.3 .空间中直线与平面、平面与平面的位置关系直线用小写字母a, b, l, m等

3、表示，平面用希腊字母 % 就 丫等表示(1)直线与平面位置关系有两种：直线在平面内与直线在平面外.点A, B所确定白直线l上的所有点都在平面a内，称为直线l在平面a内(或 平面a过直线1),记作1?a.点B, B1确定的直线m上至少有一个点不在平面 a内，称为直线m在平面a 外，记作：m?a.如果m与平面a有且只有一个公共点A,称为直线m与平面a 相交，记作：mn a= A;如果直线m与平面a没有公共点，即mn a= ?时，称直 线与平面平行,记作 m/ a(2)平面与平面位置关系有两种：相交和平行.平面a与平面B有公共点，则称为平面a与平面B相交，记作aA辞？,且a与 B的公共点组成一条直线

4、1,可记作aA片1;平面a与平面B没有公共点，则称 平面a与平面B平行，记作.aO4 .直线与平面垂直(1)一般地，如果直线1与平面a相交于一点A,且对平面a内任意一条过点A的 直线m,都有 Um,则称直线1与平面a垂直(或1是平面a的一条垂线，a是直 线1的一个垂面)，记作11%其中A为垂足.(2)给定空间一个平面a及一个点A,过点A可以作而且只可以作平面 a的一条 垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面a内的射影(或投影)，线段AB为平面 a的垂线段，AB的长为点A到平面a的距离.(3)当直线与平面平行时,直线上任近二点到平面的距离称为这条直线到这个平 面的距离；当平面与平面平行时，一个平

5、面上任意一点到另一个平面的距离称为 这两平行平面之间的距离.教材拓展补遗微判断1 .空间两条直线若没有公共点，则一定平行.(乂 )提示还可能异面.2 .直线1在平面外，则直线1与平面平行.(X)提示 直线 l 在平面外，指直线l 上至少有一个点不在平面内，可能相交.3 .两个平面a与B相交，有且只有一个交点.(X)提示当两个平面a与B相交时，所有的交点组成一条直线. 微训练 1 .下列不属于空间几何体的基本元素的是()A. 点B.线段C.曲面D.多边形(不包括内部的点)答案 D2 .下列关于直线l与平面a的符号表示不正确的是()A.l? aB.l / aC.l C aD.l A a = A解析

6、 直线l在平面a内表示为l? a,点A在平面a内，应为AC a答案 C3.用符号表示下列点、线、面的关系.(1)点A不在平面a内.(2)直线l 与直线 m 相交于点A.直线l与平面a相交于点P.解(1)A?a (2)lAm=A(3)l A a= P 微思考 1 .空间中直线与平面有怎样的位置关系？如何分类？提示直线与平面接交点个数可分为直线在平面内(l? a)与直线在平面外(l? a)两种位置关系，其中直线在平面外，又包括直线与平面相交和直线与平面平行两种位置关系.2.如果直线l，平面a, A是垂足，过A点在平面a内有多少直线与l垂直？提示 由直线l与平面a垂直的定义知，过A点在平面内的任一条

7、直线都与l垂直.课堂互动题型剖析题型一构成几何体的基本元素【例1】 指出如图所示几何体中的点、线、面.解 点：顶点 A, B, C, D, M, N;线：棱 AB, BC, CD, DA,MA, MB, MC, MD, NA, NB, NC, ND;面：平面 MAD,平面MAB,平面MBC,平面MDC,平面NAB,平面NAD,平面NDC,平面NBC.规律方法 组成几何体的是面，面与面相交得到线，即棱；线与线相交得到点，即几何体的顶点.【训练11如图所示的棱锥有()个面A.3B.4C.5D.6解析四棱锥有5个面.答案 C题型二 长方体中点、线、面的位置关系探究1点与线、线与线的位置关系【例21】

8、 在长方体ABCD AiBiCiDi中.(1)点A在哪几条棱上？与直线DD1平行的直线有哪些？(3)与直线DD1异面的直线有哪些？解 (1)点A在棱AB, AD, AA1上.(2)与直线DD1平行的直线有直线 AA1, BB1, CC1.(3)与直线DD1异面的直线有直线 AB, A1B1, BC, B1C1.探究2直线与平面的位置关系【例2 2】 在正方体 ABCD A1B1C1D1中.(1)写出所有与直线BC平行的平面，并用合适的符号表示;(2)写出所有的面与直线AB 的位置关系，并用合适的符号表示.解 (1)BC/平面 ADDiAi, BC/平面 A1B1C1D1.(2)AB?平面 AB

9、CD , AB?平面 ABB1A1,AB/平面 A1B1C1D1, AB/平面 CDD1C1,AB，平面 ADD1A1, AB，平面 BCC1B1.探究 3 平面与平面的位置关系【例2 3】 在正方体ABCD A1B1C1D1中.(1)写出与平面ABCD 平行的平面，并用合适的符号表示；(2)写出平面BCC1B1 与平面CDD1C1 的位置关系，并用合适的符号表示.解 平面A1B1C1D1 /平面ABCD.(2)平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，即平面BCC1B1A平面CDD1C1=直线CC1.规律方法解决此类问题的关键是识图，联系点、线、面的位置关系的定义，根据图形识别直线与直线、直线

10、与平面、平面与平面的位置关系.【训练2】在正方体ABCD A1B1C1D1 中，写出所有：(1)与直线AD 平行的直线，与AD 异面的直线.(2)与直线AD 平行的平面，并用合适的符号表示.(3)与直线AD 垂直的平面，并用合适的符号表示.(4)与平面BCC1B1 平行的平面，并用合适的符号表示.解(1)与 AD 平行的直线有BC， A1D1， B1C1， 与 AD 异面的直线有：A1B1， C1D1，BB1， CC1.直线AD /平面BCC1B1,直线AD /平面A1B1C1D1.直线AD，平面ABB1A1,直线AD，平面CDD1C1.平面ADD1A1 /平面BCC1B1.题型三 距离【例3

11、】 线段AB长为5 cm,在水平面上向右移动4 cm后记为CD,将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为CD再将CD沿水平方向向左移动4 cm后记为AB,依次连接才成长方体 ABCD ABCD (1)该长方体的高为； (2)平面A B BA与平面CDD C间的距离为;点A到平面BCCB的距离为 解析 如图，在长方体 ABCD ABCD中,AB=5 cm, BC =4 cm, CC=3 cm,，长方体白勺高为3 cm；平面ABBA与平面CDD C之间的距离为4 cm；点A到平面BCCB的距离为5 cm.答案 (1)3 cm (2)4 cm (3)5 cm规律方法 求距离首先要找垂线，即找出平面的

12、垂线，结合长方体中点、线、面 关系即可求.【训练3】 在长方体 ABCD AiBiCiDi中，AB=2, AD = 3, AAi = 5,则直线 BC到平面ADDiAi的距离为,平面ABBiAi与平面CDDiCi之间的距离 为.解析 直线BC到平面ADDiAi的距离为AB = 2,平面ABBiAi到平面CDDiCi之间的距离为AD = 3.答案 2 3至更提升核心素养、素养落地1 .通过对点、直线、平面的位置关系的认识与理解，培养学生的数学抽象素养, 提升直观想象素养.2 .空间点、线、面的位置关系(i)空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面直线在平面内(2)直线和平面的位置关系:直线在平面

13、外直线与平面相交. 直线与平面平行(3)两个平面的位置关系：平行、相交二、素养训练1 .下列关于长方体的叙述中，不正确的是（）A.将一个水平放置的矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体B.长方体中相对的面都互相平行C.长方体中的任意两条棱要么相交，要么平行D.两平行平面之间的棱互相平行且相等解析长方体中的任意两条棱也可能异面.答案 C2 .在长方体 ABCD AiBiCiDi的六个面中，与平面 ABCD平行的面有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析 平面AiBiCiDi与平面ABCD平行.答案 A3 .在长方体 ABCD-AiBiCiDi的下列棱中，与棱 AiDi既不相交也不平行

14、的是 （） A.AiBi B.BC C.BiB D.AD解析 AiBi AAiDi = Ai, BC/ AiDi, AD /AiDi.答案 C4 .在长方体ABCD-AiBiCiDi中，直线BC与平面AiBiCiDi的位置关系用符号表 示为.解析 直线BC与平面AiBiCiDi平行.答案 BC/平面AiBiCiDi课后作业| 巩固提高I| | ；基础达标一、选择题i.在空间中，下列说法正确的是（）A.一个点运动形成直线B.直线平行移动形成平面或曲面C.曲线的平移一定形成曲面D.矩形上各点沿同一方向移动形成长方体解析 点运动形成的是直线或曲线，故 A错；C中若曲线在一个平面上，则在该平面上移动时

15、不能形成曲面；D中没有说明移动的方向与距离，故不一定成长 方体.答案 B2 .在长方体ABCD AiBiCiDi中，棱CD所在直线与平面 ABCD的位置关系表示 正确的是（）A.直线CD 平面ABCD B.直线CD /平面 ABCDC.直线CD?平面ABCD D.直线CD n平面ABCD = D解析 棱CD在平面ABCD内,故CD?平面ABCD.答案 C3 .正方体ABCD-Ai BiCiDi中，棱长为2 cm,则点A与点Ci的距离为（）A.2 .2B.2 5C.2D.2 3解析 连接 AC,则 AC = 2V2XCCi，W ABCD, .AC2=AC2+CC2=i2,ACi =2y3.答案

16、D4 .在长方体 ABCD-AiBiCiDi中，与棱 AiBi异面的棱有（）条A.4B.3C.2D.i解析 与AiBi异面的是AD, DDi, BC, CCi, 4条棱.答案 A5 .如果点AC l, l / %则下列结论成立的是（）A.AC aB.l? aC.A?aD.lAaW?解析 因为l / a,则l与a没有公共点，又A C l ,所以A? a.答案 C、填空题6 .在如图所示的长方体 ABCD ABCD中，互相平行的平面共有对，与A A垂直的平面是.解析 平面 ABCD与平面 ABCD平行，平面 ABBA与平面CDDC平行，平面 ADDA与平面BCCB平行，共3对.与AA垂直的平面是平

17、面ABCD,平面 ABCD答案 3 平面ABCD,平面ABCD7 .长方体有个面, 条棱, 个顶点.解析 长方体有6个面，12条棱，8个顶点.答案 6 12 88 .如图所示，在长方体 ABCD AiBiCiDi中，和棱AiBi不相交 的棱有条.解析 不相交包括与AiBi平行的棱，有3条，与AiBi异面的 棱，有4条.答案 7三、解答题9 .如图所示，在长方体 ABCD ABCD中，如果把它的i2条棱 延伸为直线，6个面延伸为平面，那么在这i2条直线与6个平面 中，回答下列问题：(i)与直线BC平行的平面有哪几个?(2)与直线BC垂直的平面有哪几个?(3)与平面BC平行的平面有哪几个？(4)与

18、平面BC垂直的直线有哪几条？解 (i)与直线BC平行的平面有：平面 AD ；平面AC.(2)与直线BC垂直的平面有：平面 AB ；平面CD与平面BC平行的平面有：平面 AD (4)与平面BC垂直的直线有：AB, CD, AB； CDB10 .如图所示，在长方体 ABCD-ABCD中，AB= 3 cm, BC =2 cm, BB= 1 cm,求(1)点A到平面BBCC的距离； 直线AD与平面ABCD的距离；(3)平面ABBA与平面CDDC的距离.解(1)点A到平面BBCC的距离为AB= 3 cm.直线AD与平面ABCD的距离为AA= 1 cm.(3)平面ABBA与平面CDDC的距离为 AD=2 cm.能力提升11若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面解析 结合长方体，易知a和c可以平行、相交或异面 答案 D12 .如图所示的是长方体的表面展示图，在这个长方体中:直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的？(2)平面DCMN与平面ERFG的位置关系是怎样的?MF卜 Ah G)(3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗？ 解 根据展开图，折叠得到几何体