湖南省高中数学竞赛试题及答案

1、2 0 16 年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.每小题所提供的四 个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合s = 4，a，A，A，在S上定义运算“”为：44 = 4,其中k为被 4除的余数，"=0,2,3.则满足关系（XX）4 = 4的x（xes）的个数为（）A. IB. 2C. 3D. 4答案：B.提示：因为（xx）4 = 4,设x戈= a*,所以4A?=仆,女=2,即工x = 41,故1=人 或 X= A3.答案：A.2 .一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得 的数字是（）A. 6B. 3C.

2、 1D. 23 .设函数/(x) = 2x-cosx, 4是公差为£的等差数列，/(%) + /(/)+ /(q) =54, 8则/(生)丁-卬+=()A. 0B. C. iD. -7T2 16816答案：D.提示：因为“是公差为J的等差数列，且8即 2(dr1+6f2HF«5)-(COS6t1 +COS672 HF cos ) = 5 , 所以即 10-( 2cos + 2cos +1 cos& = 54.记 g(x) = 10x-3 483g，(x) = 02 cos + 2 cos +1 cosx-5;r,48)+ 1 2cos + 2cos + 1 |sii

3、ix> 0 , (48 J即g（x）在R为增函数，有唯一零点x = g 所以为啖所以"(%)丁-W5=(2x54 J 164 .设 为非零实数，i为虚数单位，zeC,则方程上+川| + |z-加| ="与方程z + i - Z-加=- 7在同一复平面内的图形（其中尸，£是焦点）是（）答案：B.提示：|Z +研+卜-叫=n表示以及（0,-/7）, F2（0,m）为焦点的椭圆且 > 0.Z + m-z-mi = 一?表示以月（0,% （0,小）为焦点的双曲线的一支.由 =| Z + + Z加 > m+，知7 < 0.故双曲线 | z + 山一

4、Z = -in的一支靠近点心.5 .给定平面向量（1,1）,那么，平面向量（字巨和是将向量（”）经过变换得到的, 答案是（）A.顺时针旋转60所得B.顺时针旋转120所得C.逆时针旋转60所得D.逆时针旋转120所得答案：C.卜 U）提示：设两向量所成的角为心则COS。 L L 一，又 发X近 20,180,所以夕=60。.又匕等<0,笥叵>0,所以C正确.6 .在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比 赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了 50场，那么上述3名选手之间 比赛场数是（）A. OB. IC. 2D. 3答案：B.提示：设这3名选手之间

5、比赛的场数是一共名选手参赛，依题意有C;_3 + 6-r = 50 , HP = 44+ r.因为0«"3,所以分4种情况讨论：当r = 0时，有(-3)(-4) = 88,即/-7-76 = 0,但它没有正整数解，故当r = l时，有(-3)(-4)= 90 ,解得 =13,故r= 1符合题意；当r=2时，有(-3)(-4)= 92,即J7-80 = 0,但它没有正整数解，故32;当r = 3时,有(-3)(-4) = 94,即?-7-82 = 0,但它没有正整数解,故r±3.二、填空题(本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确 答案直接填在横

6、线上.)7 .规定：对于当且仅当< + 时，= 则不等式4a2 -36国+ 45 « 0的解集是.答案：2<x<8.提示:所求不等式为关于国的一元二次不等式.由4卜-36卜+ 45<0,得«卜卜故 24司 K7,即2Kx<8.8 .在三棱锥S -ABC中，54 = 4,5327,5。29,46 = 5,6。<6乂。<&贝1三棱锥的体积的最 大值为.答案:8瓜.提示：设ZSA8 = a,根据余弦定理有cosa/dS- « 4；十5二7二二,故 2SAAB 2x4x53sin a = a/1-cos26Z= -SA-A

7、Bsma <4>/6.由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以/A8«gs,8.5C(8石.事实上，取SB = 7,BC = 6,且。8_1面弘5时，可以满足已知 条件，此时%8 =8而9. 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字0,两个面上标以数字1, 一个 面上标以数字2。将这个正方体的抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是答案；19提示：由题意知，抛掷小正方体向上的数为0的概率为L,向上的数为1的概率为L23向上为2的概率为,如下表所示：6*1*A-A-、八 XI 1. XVrt钻沈，一012012于是所得向上的数之积的分布列为:012410 .观察下列等式:+=2，+

8、23；C；3 + G； + C：3 + C；=2”25；由以上等式推测出一般的结论：对于 £ N*, C；n+1 + C：e + L + C：=答案：2g+11 .方程16sin;zrcos;a = 16x + !的解的集合是X答案：以:114 4J提不：当x> 0 时，16x+之8 ,当且仅当 x= L 时取"=而 16sin;rxcos;rx = 8sin2;rx<8， x4当且仅当x = 1 +时取“=”号.于是，当x0时，方程只有一个解x = L由奇函44数的性质可知，工=-5是方程的另一个解.故方程的解集合为12 .当一个非空数集尸满足条件“如果公尸，

9、则"4"痴俣八且当丘0时，；£尸” b时，我们称尸就是一个数域。以下四个关于数域的命题：0是任何数域的元素；若数域尸有非零元素，则2016"集合P = x|x = 3WeZ是一个数域；有理数集是一个数域。其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）答案：.提示：根据数域的定义判断，均正确.取。=3, = 6,贝心力“，但；=幻尸，b 2即错误.三、简答题（本大题共4个小题，满分72分）13 .（本小题满分16分）已知椭圆。:£ +1=1（>>0）经过点（0，离心率为二 cr b-2经过椭圆C的右焦点尸交椭圆于46两点，点4尸,8在直线

10、工=4的射影依次是2乂石。（1）求椭圆的C的方程；连接或6。，试探求当直线/的倾斜角变化时，直线AE与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则，说明理由。解：（1）由经过点（0,0），得="由离心率为:，得e =： 叵二=g,得。=2. 故椭圆C的方程为呼+ 4.（2）当直线/的斜率不存在时，直线Ux轴，则人班。为矩形，由对称性知，直线AE与6。相交于五K的中点N（2,o,由此猜想直线A石与8。相交于定点N,012 ）12证明：设A（n，乂）,5伍,乃），。（4,）;）,石（4,%）直线AB的方程为y = k（x-l）,联立椭圆。的 方程消去 y 得3x?+4女2 （工

11、一11=12 ,即（3 + 4G）/-8kh+4攵2-12 = 0,4k2-12.又因为心'-” =（x-4）,当工=；时, ""人Ny = k（x2-l）-女 （工-xj 3 5k（X + xj- 2kxiX - 8k4-x122（4f）-8攵（3 + 48）2（4犷-12）+ 58F八2（4-一）（3 + 止）一，（5即点N6,。）在直线i上.同理可证，点N（、0）在直线噎上，所以，当直线/的倾斜角变化时，直线A石与8。相 IN / < 交于定点N -,0 .（214 .（本小题满分16分）已知四边形A8C3是正方形，尸是边CQ上一点（点P不与顶 点重合）

12、，延长A尸与3C的延长线交于点0。设AA6Q, APAD, APCQ的内切圆半径分 别是。（1）证明：r/>4,-2r3,并指出点尸在什么位置时等号成立；（2）若48 = 1,试求证：3-2点+ 1+ 2证明：（1）如图所示，因为4 spc°,所以不gg = A5:P。：尸AB = CD=PD+PC,故U + ”2l，即尸当且仅当心="，即P为CO的中点时，等号成立. （2）由（1）得4 = q + g，所以有记,/。人尸二0<夕<生,则令cos£+cos£ =， 则l<fva,且sindcosC= 它是关于/的单调递增函数，所以

13、3-20=丑21+ +不工(四+1)- - 。+ 1)- 2HP 3-272 <zj2 + r,2 + ?j2 <.215 .已知函数/(x) = xhix-mx2 -x,m g R.(l)当 7 = -2时，求函数x)的所有零点;(2)若有两个极值点再,与，且用三，求证：占工Lx>0,则解：(1)当相二一2 时，f(x) = xlnx+x2 - x = x(hix+x-l),x>0 .设 p(x) = lnx+x- /(x) = -+l>0,于是p(x)在(0,+8)上为增函数.<x又p(l) = 0,所以，当加=-2时，函数“X)有唯一零点x = L(2

14、)若有两个极值点不占,则导函数广有两个零点须，程由 /'(x) = lnx-，可知In & -= 0,In 二-mx. = 0.要证可转化为证明：In为+ ln毛2.In% 一 %=0,可得用=ln + ln&In 公 一 7工=0xt + x2In% 一 %=0,可得团=占 山公 hi x2 - mx2 = 0xY -xz两式联立，得必占十 .-h】一口 .进一步,得 X +x2 怎 - x2设。演则。":1,皿仙“噜”下面证只须证明: 七处即证h底甘当°y时恒成立.,丁 >0,H + 1)- ( + 1)-设函数g(f) = ln"止D,则g«) = L / + !t 故函数g在（0,1）上为增函数，g（f）vg=0.所以，In/生二2当0<<1时恒成立，即中, r + 1-16 .已知互异的正实数占,羽,范，匕满足不等式（占+厂+/+Z）+ + + <17 o _（占 & 占 X4）求证：从看不多，猫可任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形。证明：由于C：=4,故从公占,为/4中任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角