方程(组)与不等式组的综合应用试题

1、方程（组）与不等式组的综合应用重点难点易得点点点着通一、二元一次方程（组）的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解题容易，列方程组解应用题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解。二、一元一次不等式（组）的应用列不等式（组）解应用题的步骤大体与列方程 （组）解应用题相同，应紧紧抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“大于”、“小于”等关键词。 注意分析题目中的不等关系，能准确分析题意，列

2、出不等关系式，然后根据不等式（组）的解法求解。根据题目所给信息，运用不等式知识建立数学模型，再对可能出现的各种情况进行分类讨论从而获解，这是本节内容的一种常见题型，应注意加强自我练习， 以增强对数学知识的应用能力。三、利用不等式（组）解决方案选择问题方案选择问题就是根据要求提供或寻求到多种解决问题的方案，并考虑到实施中的经济因素，选择最佳（可行）方案，主要方法为建立方程模型、不等式（组）模型、函数模型、概率模型以解决问题。建立不等式（组）模型解决方案选择问题，即通过不等式（组）对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益，考查对数学的应用能力，考查的热点是与.实际生活密切相关的不等式（组）应

3、用题。这类问题，首先要认真分析题意， 即读懂题目，然后建立数学模型，即用列不等式（组） 的方法求解，解决这类问题的关键是正确地设未知数，找出不等关系，从不等式（组）的解 集中寻求正确的、符合题意的答案。K真袅难盘名校题题题楚典】x 2a+ bv 0,若不等式组2x+3a5b0的解集1Vx6,贝U a =解析：先用含有a、b的代数式表示出不等式组的解集，再根据不等式组的解集是-1x6,列出关于a、b二元一次方程组，解之即可。答案：解不等式组，得5b3ax2a- b,又7 -1 x 65b 3ao-=- 1,a=4, 2解得165, 一 5解之得：z0且为整数, .z=0, 1, 2; -6-z=

4、6, 5, 4。 车队共有3种购车方案：载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆。点拨：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的不等式关系是解题关键。例题3 某绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种植户种植A类蔬菜 面积（单位：亩）种植B类蔬菜 面积（单位：亩）总收入（单位：元）甲3112500乙2316500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等。（1）求A、B两类蔬菜每亩平均

5、收入各是多少元？（2）某种植户准备租 20亩地用来种植 A B两类蔬菜，为了使总收入不低于 63000元, 且种植A类蔬菜的面积多于种植 B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案。解析：（1）根据甲、乙两种植户的总收入分别是12500元、16500元，找出两个相等关系，分别得出等式组成方程组，求出即可；（2）根据“总收入不低于63000元”、“种植A类蔬菜的面积多于种植 B类蔬菜的面积” 这两个不等关系，列出不等式组，解之求出种植 A（或B）类蔬菜的面积的取值范围；再根 据“两类蔬菜的种植面积均为整数”，确定该种植户所有租地方案。答案：解：（1）设A、B两类蔬菜每亩

6、平均收入分别是x元，,y元。由题意，得3x+y= 12500,x=3000,解得：2x+3y= 16500.|y=3500.答：A B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元。（2）设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植 B类蔬菜的面积为（20 a）亩。由 题意，3000a+ 3500 20 - a 三6：川。.得,解得10vaw14。a20- a.,a 取整数为：11、12、13、14。，租地方案为：类别种植面积单位：（亩）A11121314B9876点拨：（1）以图表、信息的形式出现的实际问题，常用方程和不等式的方法解决。解决 问题的关键要分析图表、信息，找出相等关系和不等关系，

7、达到求解的目的。（2）利用不等式组进行方案设计，首先要通过审题设未知数，列出不等式（组）并解 不等式（组），然后通过所设未知数的实际意义或具体限制，求出各种方案，进而得到解决 问题的最优方案。展纷工拓展总结,提升菁分必读】而这类问题有时就需要建立近年来，考查“新定义”的题型在各地的中考中屡见不鲜, 不等式模型，通过列一元一次不等式（组）来解决。例题 设A是由2X4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之 和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”。（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列 的各数之和均为非负整数，请写出每

8、次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）表11 23-7-2 1（2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各 数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值。表2aa2- 1一a2 a2-a1 a2a-22 a解析：（1）根据某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有 数的符号，称为一次“操作”，先改变表1的第4歹U,再改变第2行即可；（2）根据每一列所有数之和分别为2, 0, 2, 0,每一行所有数之和分别为1,1,然后分别根据如果操作第三列或第一行，每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数, 列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出

9、答案。答案：（1）根据题意得:改变第4列123一 7210112372101改变第2行123一 72101（2）二每一列所有数之和分别为2, 0, 2, 0,每一行所有数之和分别为 1, 1,则：如果操作第三列，aa21aa22-a1 - a 22-a2 a则第一行之和为2a1,第二行之和为5 2a,2a -1 -05-2a-015斛得：一E a 一,22又二 a为整数,a= 1 或 a= 2, 如果操作第一行，一aa21a2 a2-a1- a2a-22 a则每一列之和分别为 2 2a, 2-2a2, 2a-2, 2a2,2 -2a ,02a -2 _0解得a = 1,此时 22a2= 0,

10、2a2=2,综上可知：a = 1。点拨：此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，根据题目中的操作要求,列出不等式组，注意 a为整数。工即学即剂肌固提升】（答题时间:45分钟）、选择题2x31.不等式组,的最小整数解是（）x -1 -2xA. - 1B. 0C. 22.地球正面临第六次生物大灭绝，据科学家预测，到2050年,D. 3目前的四分之一到一半的物种将会灭绝或濒临灭绝，2012年底，长江江豚数量仅剩约1000头，其数量年平均下降的百分率在13%15瓶围内，由此预测,2013年底剩下江豚的数量可能为（）头。A. 970B. 860C. 750D. 7203 .在芦山地震抢险时，太

11、平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够 90人，那么预定每组分配的人数是（）D. 13 人xy,则p的取值范围是r -5D. P2B. PW2 C. P-2、填空题x -aa1 ,5 .已知x= 3是方程 一2 = x1的解，那么不等式（2a）xv1的解集是 ,253. a b1b .6 .对于整数 a, b, c, d, te义 =ac bd,已知13 ,则b+d的值为d cd 47 . 一个两位数，它的十位数字比个位数字小2,如果这个数大于20且小于40,那么此数为。8

12、 .若点M（3a9, 1 a）是第三象限的整数点，则M点的坐标为 。三、解答题9 .为了保护环境，某造纸厂决定购买20台污水处理设备，现有 A, B两种型号的设备,其中每台的价格、日处理污水量如下表：价格(万元/台)2420处理污水量(吨/日)480400经预算，该造纸厂购买设备的资金不能高于410万元。(1)该造纸厂有几种购买方案；(2)若造纸厂每日排出的污水量大于8060吨而小于8172吨，为了节约资金，该厂应选择哪种贝买方案？10.某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类

13、图书 角共30个。已知组建一个中型图书角需 科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小 型图书角需科技类书籍 30本，人文类书籍60本。(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是 570元，试说明(1)中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？* 11.为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了 3台甲型和2台乙型污水处理设备， 共花费资金54万元，且每台乙型设 备的价格是每台甲型设备价格的75%实际运行中发现每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费

14、和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元。今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于 1300吨污水。(1)请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？(2)请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；(3)若两种设备的使用年限都 为10年，请你说明在(2)的所有方案中，哪种购买方 案的总费用最少？(总费用=设备购买费+各种维护费和电费)*12.某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产 A产品80件、B产品100件。已知甲种

15、设备每天租赁费为 400元，每天满负荷可生产 A产品12件和B产品10件；乙种设备每天租 赁费为300元，每天满负荷可生产 A产品7件和B产品10件。(1)若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两种设备各多 少天恰好完成生产任务？(2)若甲种设备最多只能租赁 5天，乙种设备最多只能租赁 7天，该公司为确保完成 生产任务，决定租赁这两种设备合计 10天(两种设备的租赁天数均为整数) ，问该公司共 有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是多少？*一、选择题311. A 解析：解不等式组的解集为x10 ,8(X- 1) 90解得：11_1vxv 121, x 为整数，x=12。

16、故选 Q2454. A 解析：一得 2 (x-y) = 5 2p。xwy, 52pW0。. p 之一。故选 a。2二、填空题5. x 1 解析：先将x=3代入方程，可解得 a=-5,再将a=5代入不等式，解不 9等式得出结果。6. 3 解析：由定义得1 bd 3,而b, d者B是整数，/.b + d=3。7. 24或35解析：设十位上的数为 x,根据“这个数大于20且小于40”，列出不等式组,求出x的取值范围；再根据 x为正整数，求出x的值，就可以求出这个两位数。8. (-3, -1) 解析：根据点 M在第三象限列不等式组，求出解集后再根据它的坐标为整数求解。三、解答题9. 解：(1)设购买A

17、型设备x台，B型设备(20 x)台。24x+20 (20 x) 410o x 2.5 ,，x=0, 1 , 2。三种方案：方案一：A： 0台；B： 20台；方案二：A: 1台；B: 19台；方案三：A: 2台；B: 18台。(2)依题意，得 8060480x+400 (20x) 8172。0.75 x2.15 , x= 1 , 2。当x=1时，购买资金为 404万元；当x=2时，购买资金为 408万元。答：为节约资金，应购买 A型设备1台，B型设备19台。30x）个。10. 解：(1)设组建中型图书角 x个，则组建小型图书角为(80x 30(30 -x) 1900由题意，得，50x 60(30

18、 - x)与 1620解这个不等式组，得 18x 仙G解得200a + 160 8-a 切洲， 2（2）设二期工程中，购买甲型设备a台，a4.由题意知a为正整数，a=1, 2, 3, 4。2台，乙，所有购买方案有四种，分别为方案一：甲型 1台，乙型7台；方案二：甲型 型6台；方案三：甲型 3台，乙型5台；方案四：甲型 4台，乙型4台。（3）设二期工程10年用于治理污水的总费用为 W万元，则W= 12a+9 （8 a） +1X10a+1.5 X10 （ 8-a）, 化简得W 2a+ 192。,W遁a的增大而减小，当 a = 4时，W最小（逐一验算也可）。按方案四：甲型购买 4台，乙型购买4台的总费用最少。12. 解：（1）设需租赁甲、乙两种设备分别为x、y天。12x 7y =80则依题意得y10x 10y=100f x - 2解得xy -8答：需租赁甲种设备 2天、乙种设备8天。（2）设租赁甲种设备 a天、乙种设备（10- a）天，总费用为 8元。 a M510-