第二批次一元二次方程

1、一元二次方程知识一元二次方程是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种。要熟练掌握一元二次方程的定义及定理以及解法和根的判别。同时一元二次方程的实际应用题，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中一元二次方程相关问题的常见题型及其求解方法。本讲将通过例题来说明这些方法的运用。知识梳理1、一元二次方程的一般式：ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)， a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项。2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） x2 = a(a ³ 0)解为： x =± a (x + a)2 = b(

2、b ³ 0)解为： x + a = ± b (ax + b)2 = c(c ³ 0)解为： ax + b = ± c (ax + b)2 = (cx + d )2 ( a¹解为： ax + b = ±(cx + d )c )（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如： ax2 + bx = 0(a,b ¹ 0) Û x(ax + b) = 0 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为09 = 0 Û (x + 3)(x - 3) = 03x = 0 Û x(x - 3) = 0

3、-1) = 0 Û (3x - 5)(2x -1) = 036x + 9 = 4 Û (x - 3)2 = 412x + 9 = 0 Û (2x - 3)2 = 044x -12 = 0 Û (x - 6)(x + 2) = 0（3）配方法25x -12 = 0 Û (2x - 3)(x + 4) = 0二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于 2 进行配方，如下所示：x2 + Px + q = 0 Û (x + P )2 - ()2 + q = 0P22- 3)2 - ( )2 +1 = 03示例：22二次项的系数不为“1

4、”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：1ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) Þ a(x2 + b x) + c = 0 Þ a(x +)2 - a ()2 + c = 0bba2a2ab2b2 - 4acbbÞ a(x +) =- c Þ (x +) =224a22a4a2a122x -1 = 0 Û 1 (x2 - 4x) -1 = 0 Û 1 (x - 2)2 - 1 ´ 22 -1 = 0示例：222（4）公式法：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)，

5、用配方法将其变形为：b2 - 4acb(x +) =24a22a 当 D = b2 - 4ac > 0 时 ， 右 端 是 正 数 因 此 ， 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ：-b ± b2 - 4acx1,2 =2a 当D = b2 - 4ac = 0 时，右端是零因此，方程有两个相等的实根： x=- b1,22a 当D = b2 - 4ac < 0 时，右端是负数因此，方程没有实根。备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式： ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)，并确定出a 、b 、c求出D = b2 -

6、4ac ，并方程解的情况。-b ± b2 - 4ac代公式： x1,2 =（要注意符号）2a3、一元二次方程的根与系数的关系法 1：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 的两个根为：-b + b2 - 4ac-b - b2 - 4acx1 =, x2 =2a2a-b +b2 - 4ac-b -b2 - 4acb所以： x1 + x2 =+= -，a2a2a-b +b2 - 4ac -b - b2 - 4ac(-b)2 - ( b2 - 4ac )24accx1 × x2 =×=4a2=a(2a)22a2a2定理：如果一元二次方程

7、 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 定的两个根为 x , x ，那么：12x = - b , x x= c a21 2a法 2：如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 定的两个根为 x , x ；那么12ax2 + b= 0 Û a(x - x )(x - x ) = 0两边同时除于a ，展开后可得：12x + c = 0 Û x2 - (x + x )x + x xÞ x + x = - b ； x x= c= 012121212aaaa法 3：如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (

8、a ¹ 0) 定的两个根为 x , x ；那么12ìax + bx + c = 02ïb11 -得： x + x = -（余下略）í12ax+ bx + c = 02aïî22常用变形：x1 + x211= (x + x )2 - 2x x+=x2，121 2x x21 2+2= (x + x )2 - 4x x ， (|，12121 2xx 2 +(x + x )2 - 4x x= x x (x + x ) ，+ 1 = 1= 121 22 x1 21 212x xx x1 21 2例题精讲【试题来源】【题目】方程x2+y2+22

9、= x + y + 2的整数解有()A. 1 组B . 3 组C . 6 组D . 无穷多组【】B【】 解：由题意知 x+y0，方程化简得xy + 2(x + y) = 0, (x + 2)(y + 2) = 4.因为y0，所以上式就分成 2×2,1×4，两种情况，对应的整数解有 3 组.3点评：将方程化简，在进行因式分解，最后根据整数解来进行情况讨论【知识点】一元二次方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如果某个等腰梯形的下底与对角线长都是 10，梯形的上底与高相等，则上底的长是()A .52 B . 62C . 5D . 6【】D】 解: 设上底长为

10、 x，由勾股定理得(10x + x)2+x2 = 100，【2整理得𝑥2 + 4𝑥 60 = 0.x1 = 6, x2 = 10（舍去）.：D【知识点】一元二次方程【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】关于 x 的一元二次方程4𝑥2+4𝑚𝑥 + 𝑚2 + 𝑚 10 = 0(𝑚为正整数）有整数根时，m 的值可以取 ( )A .1 个B . 2 个C . 3 个D . 4 个【】D】 解：由求根公式得=m±10m.2【当 m=1 时，对应的 x

11、为 1、-2 成立；当 m=9 时，对应的 x 为 4、-5 成立；当 m=6 时，对应的 x 为-4、-2 成立；4当 m=10 时，对应的 x 为-2.所以 m 的值有 4 个【知识点】一元二次方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】 设 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, , 𝑥2007 为 实 数 ， 且 满 足 𝑥1𝑥2𝑥3. 𝑥2007 = 𝑥1𝑥2𝑥3. 𝑥2007 =𝑥

12、;1𝑥2𝑥3. 𝑥2007 = = 𝑥1𝑥2𝑥3. 𝑥2006𝑥2007 = 1,则𝑥2000 = 】1 或 3±5 【2【】 解:𝑥2000 = 1 符合.11因为 x x x . . x= 1，= 1, x x . x 𝑥1 2 320001 2 31999x1x2x3.x2000𝑥1𝑥2𝑥3.𝑥1999= 1±5= 1+5，x x

13、x x, x1x2 x3. . 𝑥19991 2 3200022= 3±5 所以x= 1或𝑥200020002【知识点】一元二次方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知：a,b,c 是实数，且 a=b+c+1.求证：两个方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.【】如下【】 解：设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么10 和20.5ì14b £ 0ï即ía - 4c £ 02ïa = b + c + 1î15由得

14、 b ，b+1 代入，得445ac=b+1 ，4c4a54：a24a+50，即（a2）2+10，这是不能成立的.既然10 和20 不能成立的，那么必有一个是大于 0.方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.【知识点】一元二次方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知首项系数不相等的两个方程：（a1）x2(a2+2)x+(a2+2a)=0 和 (b1)x2(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中 a,b 为正整数)有一个公共根.求 a,b 的值.ìa2ìa = 4】 í或í【.î

15、;b = 4îb = 2【】 解：用因式分解法求得：a + 2方程的两个根是 a 和；a -1b + 2方程两根是 b 和.b - 1由已知 a>1,b>1 且 ab.b + 2a + 2公共根是 a=或 b=.b - 1a -1两个等式去分母后的结果是一样的.即 aba=b+2,abab+1=3,(a1)(b1)=3.6a,b 都是正整数，ìa11ìa13 í或í.îb -1 = 3îb - 1 = 1ìa2ìa = 4í或í.îb = 4îb = 2

16、又解：设公共根为 x0 那么ìï(a -1)x 2 - (a 2 + 2)x + (a 2 + 2a) = 00í（b -1)x 2 - (b2 + 2)x + (b2 + 2b) = 0î0×（b1）×（a1）得（a2+2）(b1)+(b2+2)(a1)x +(a2+2a)(b1)(b2+2b)(a1)=0.0整理得（ab）(abab2)(x01)=0.abx01 或(abab2)0.当 x01 时，由方程得 a=1,a1=0，方程不是二次方程.x0 不是公共根.当(abab2)0 时， 得(a1)(b1)=3解法同上【知识点】一元

17、二次方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】大数学家在代数论里有一个关于农妇卖鸡蛋的题目：两个农妇一共带了100个鸡蛋上市，两人所带蛋数不同，但卖得的一样，于是，第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得 15 个铜板.”第二农妇答道：“但是你的鸡蛋换给我，我只能7卖20个铜板，”试问两个农妇各有多少鸡蛋？3【】第一个农妇有 40 个鸡蛋.第二个农妇有 60 个鸡蛋【】解：设第一个农妇有 x 个鸡蛋，则第二个农妇有 100-x 个鸡蛋，根据题意可列方程15𝑥20(100 𝑥)=,100 𝑥即x2 + 160x

18、8000 = 0，3𝑥所以x = 40或𝑥 = 200（舍去）.答：第一个农妇有 40 个鸡蛋.第二个农妇有 60 个鸡蛋.【知识点】一元二次方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】（2004 年太原市竞赛题）【题目】甲、乙两人同时从圆形跑道的同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比，过了一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即改变方向，沿逆时针方向以原来的速度向前跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跑了 4 圈，问：甲的速度是乙的几倍？】甲的速度是乙的速度的1+17倍【4【】 解：的速度为𝑣1，乙的速度为𝑣2，跑道一圈的长

19、度为 s，依题意得ss(v+)v2 = 4s.v v+v1212因为 s0，所以 𝑣2 + 𝑣2 = 4，所以2 𝑣1 2 𝑣2 =1𝑣1𝑣2𝑣1+𝑣2𝑣2𝑣1𝑣1𝑣1即22. ( ) 2 = 0.𝑣2𝑣2所以𝑣1 = 1+ 17或𝑣1 = 117 (舍去)。𝑣24𝑣24甲的速度是乙的速度的1+17倍48【知识

20、点】一元二次方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若 a,b,c 都是奇数，则二次方程 ax2+bx+c=0(a0)没有有理数根【】如下m【】 证明：设方程有一个有理数根（m,n 是互质的整数）.nmm那么 a()2+b()+c=0,即 an2+bmn+cm2=0.nn把 m,n 按奇数、偶数分类讨论，m,n 互质，不可能同为偶数.当 m,n 同为奇数时，则 an2+bmn+cm2 是奇数奇数奇数奇数0；当 m 为奇数,n 为偶数时，an2+bmn+cm2 是偶数偶数奇数奇数0；当 m 为偶数,n 为奇数时，an2+bmn+cm2 是奇数偶数偶数奇数0.综上所述mm不论

21、m,n 取什么整数，方程 a()2+b()+c=0 都不成立.n即假设方程有一个有理数根是不成立的.n当 a,b,c 都是奇数时，方程 ax2+bx+c=0(a0)没有有理数根.【知识点】一元二次方程【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】求证：对于任意一个矩形 A，总存在一个矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的和面9积比都等于 k(k1)【】如下【】证明：设矩形A 的长为a, 宽为 b，矩形 B 的长为 c, 宽为 d.c + dcd= k .根据题意，得a + babc+d=(a+b)k,cd=abk.定理的逆定理，得 c,d 是方程 z2(a+b)kz+abk=0 的两个

22、根.由=（a+b）k24abk=（a2+2ab+b2）k24abk=k(a2+2ab+b2)k4abk1，a2+b22ab,a2+2ab+b24ab，(a2+2ab+b2)k4ab.0.一定有 c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的和面积比都等于 k(k1).【知识点】一元二次方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】1995 年山东省初中数学竞赛试题【题目】k 为什么整数时，方程(6k)(9k)x2(11715k)x540 的是整数？【】当 k 值为 3，6，7，9，15 时方程的是整数【】 解： 若 k=6, 则 x=-2; 若 k=9,

23、则 x=3；若 k6 且 k9，原方程可化为 (k-6)x-9(k-9)x-6 = 0 ,96故方程的二根为 x1，x2.k - 6k - 9为使 x1 和 x2 都是整数，则应有 k-6= ±1,±3,±9，k=-3,3,5,7,9,15；还应 k-9=±1,±2,±3,±6,k=3,6，7,8,10,11,12，15.所以 k=3,7,15 时，x1 和 x2 都是整数，综上所述，当 k 值为 3，6，7，9，15 时方程的是整数【知识点】一元二次方程10【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】k 取什么整

24、数值时，下列方程有两个整数解？ k21）x26(3k1)x+72=0 ；kx2+(k22)x(k+2)=0.【】（1）当 k=0,2,2,3,5 时，方程有两个整数解；（2）当 k 取 2 和2 时，方程有两个整数解126【】 解：用因式分解法求得两个根是：x1=，x2=.k + 1k1由 x1 是整数，得 k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由 x2 是整数，得 k1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共：得 k=0,2,2,3,5.答：当 k=0,2,2,3,5 时，

25、方程有两个整数解.根据定理ìk 2 - 22ïx1 + x2 = -= -k +kkík + 22kïx x = -= -k -ïî1 2kx1，x2，k 都是整数，k=±1，±2（这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把 k=1,1,2,2，分别代入原方程检验，只有当 k=2 和 k=2 时适合.答：当 k 取 2 和2 时，方程有两个整数解.【知识点】一元二次方程【适用场合】当堂例题【难度系数】511习题演练【试题来源】(2000 年初中数赛试题)【题目】设关于 x 的二次方程(k26k8)x

26、2(2k26k4)xk24 的两根都是整数.求满足条件的所有实数 k 的值103【】k=6，3，解：将原方程变形得 (k2)(k4)x2(2k26k4)x(k2)(k2)0.分解因式得(k2)xk2(k4)xk20. 显然，k2，k4.【】k - 2k + 224= - 1 -= - 1 -x1；x2.k - 4k - 4k - 2k - 224于是有 k - 4 = -， k - 2 = -（x1-1,x2-1）x1 + 1x2 + 1两式相减消去 k 整理得 x1x23x120即 x1(x23)2.= -2,+ 3 = 1;= 2,= 1,= -1,ìx1ìx1

27、6;x1ìx1íxííí于是有或或或x + 3 = -1;x + 3 = -2.x + 3 = 2.î 2î 2î 2î 2= -2,= -2;= 2,= 1,= -1,ìx1ìx1ìx1ìx1íxííí或或或(舍去)x = -4;x = -5;x = -1.î 2î 2î 2î 22因为 k - 4 = -,x1 + 1当x1=-2时，k=6;10当x1 = 2时，k=;3时，k=3.

28、当x1= 110经检验，k=6，3，都满足题意3【知识点】一元二次方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】412【试题来源】(1996 年上海市初中数学竞赛试题)【题目】若关于 x 的方程 ax2+2(a-3)x+(a-2)=0 至少有一个整数根，且 a 为整数，求 a【】2,-4,-10【】解： 当 a = 0 时，方程为-6x-2=0，无整数解。当 a0 时，方程为一元二次方程，要使方程至少有一个整数根，必须判别式为完全平方数。=4(a-3)2-4a(a-2)=4(9-4a), 9-4a 为完全平方数。9 - t 2设 9-4a = t2（t 为正奇数，且 t3）, 则 a=. 此时，方程的二根为4- 2a + 6 ± 2t3 ± t3 ± t4(3 ± t)x1,2= -1+= -1 +=-1+9 - t 29 - t 22aa444x1= -1+, x2= -1+3 + t3 - t要使 x1 为整数，而 t 为正奇数，只能 t=1，此时 a=2;要使 x2 为整数，t 只能为 1,5,7，此时 a= 2,-4,-10.综上所述，a 的值为 2,-4,-10.【知识点】一元二次方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数