解析几何大题的解题技巧

1、解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线 22的两个交点一般可以设为（Xi, yi）,（X2, y 2）,等。对于椭圆 2 + 3 = 1上的唯一的 口上0-动，还可以设为（QCQ响人石迎），在抛物线 力=2pi（7> 0）一上的点，也可以设为（耳？如b还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点（x0, y0）并且不与y轴平行，可以设点斜式y - y o = k （x - x o）,如果不与x轴平 行，可以设x - x o = m（y - y o） （m是倾斜角的余切，即斜

2、率的倒数，下同），如果只 是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程x = x o + tcosa , y =yo + tsina ，其中口是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线 的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y = kx + m或x = my + n。（注意：y = kx + m 不表示平行于y轴的直线，x = my + n不表示平行于x轴的直线） 由于抛物线d = 2PH（P > 0） -的表达式中不含x的二次项，所以直线设为x - x o = m（y -y o）或x =my + n联立起来更方便。二、转化条件有的时候题目给的条件

3、是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条 件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低 运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。1、向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于。）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内 （向量积小于。）、平行四边形2、斜率：平行（斜率差为。）、垂直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则 斜率和为。，关于y=±x对称则斜率积为1（使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况！）3、几何：相似三角形（依据相似列比例式）、等腰直角三角形（构造全等） 有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条

4、件可能有多种转化 方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单，三 思而后行。三、代数运算转化完条件只需要算数了。很多题目都要将直线与圆锥曲线联立以便使用一元二次方 程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都需要联立。1、求弦长解析几何中有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为时，弦氏公式可以简化为d =+才-氮也十中尸一4中物-设参数方程2、求面积解析几何中有时要求面积，如果 O是坐标原点，椭圆上两点 A、B坐标分别为（x1, y。_ , 1 .一 1 一 , 1和（x2, v2 , AB与x轴父于D,则 为=三I。版一四I 三工侬一心叫

5、|（d是点。到AB的距离；第三个公式教材上没有，解要用的话需要把下面的推导过程抄一下）。在4 ABe中,设屈=（应，）,通=%,当）为谢= |AB|AC|sinZBAC JlABFMTmACPcos2ZBACJ南?雨。-（AB +兄W+g+力）一（对七十 V工%）工4+2 71 - 2x1x2y1y2= 氏 % x2yj如果考试允许使用课外知识的话，直接写saabc = 5MB x ac = 5bly2 - x?yi就可以了。3、分式取值判断解析几何题目的运算中可能需要求分式的取值范围，所以我这里也总结一下常见的六I f（T）种类型分式取值范围的求法。设词,其中f（x）的次数为g（x）的次数为

6、n处理方法. *1利用一次够数及反比例函数足性质求解国;1:愁化为时。,n=l"的情况求,由；2转化为BF&方1的情况求解.L_ _ 一. _ _ _ _一 利用二次函数及反比例函数的性质求解转化为耻=2. n=L的情况并利用反比例函数的性质求解转化为nHh "2或m=L n=2的情况求解转化时可以用例4中提到的除法或者换元法，求解吁可能用到均值不等式,例题；求下面两个分式的取值范围/八 6x2 + 33x+43 / 、 /a 6x? + 6k+2 / 、小(1 ) (x>-2)(2)-(翼？0)3X + 6ZX"- -J-3X + 1原式=2x+7

7、+*2(x+2)+熹+ 3。型+3原式=3就喜设3x+l=t（O3原式二3一中一占23a2的斜率积。因为点差法得到的是斜率关系，所以将点差法与转化斜率关系一起使用效果更佳。（当然前提是这道题得能用斜率转化）为了是大家更好地认识点差法，我单找了一些点差法的例题，希望大家能对点差法有更深的理解例一设椭圆C： 1 十二=1,过点（10作直线I与椭圆C交于A、Zd IoB两点，线段AB的中点M在直线户k-1上,求I的方程3设14（入0，加3 4（七,为）, 所以B（2x0 - Hl 2yo - 于是有 16*+ 25比400 = 0 和 16（2劭/）2425（2% %）2 一 400 = 0,将两式

8、相减,整理可律必=一警，人、八七一与 25yo（10,0）三点共线，所以有也包 = 鼻，代入上式，消x2x0x0-10去也二生，整理可得25话= 16舄+ 16。此一因为M在直 z一%线V二x-1上,所以有兀=%0-匕 代入上式,消去解出*0 =竟或5,因而M（1部或（5,4）（在椭圆夕卜，舍去）。L经过点M和（10，可以写出1的方程，为4x-45y-40=0.4、点差法的使用在椭圆的题目中还有一种方法叫点差法，虽然适用范围不大，但是能用点差法做的题 目用点差法真的会比常规方法简单不少。这类题目一般都会涉及到弦的中点，做题时 一定不要忘了点差法的存在。例二设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的

9、方程相减，整理即可得到这两点的中点的 横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式，或者说得到两点联线斜率与中点与原点连线（2013北京理19）已知A、B. C是椭W：,+ y2 = 1上的一22在平面直角坐标系工Oy中，已知椭圆C:上+匕=L过原点的直 43线交椭圆C于M、N两点，过M作X轴的垂线交X轴于A,线段 AM中点为B,连接BN,延长MB交椭圆C于点P士 （I）求证PM、 PN的斜率之积为定值（II）求证PMLMM（I）设于是 N（一工 1，一LpMFN="2独，工厂力亍叫二卜一吗VI+吗. PrM两点在椭圆C上u所以 打 _（_宣口） Cxi -o）Cxi +k0 ）3婷+ 4资-

10、12 = 0, 3君+4肾-12 = 0，两式相减，整理得；：一:喂HR 二一：即kpMkpx 二 一：（川氢3：%），kpN = k.=处=三 所以掷=£,与（1）所求结果相乘可得到口一一巧）4打 4心如N 3-kMkpn = 一1» 即 PM_LMNe *-,例三三个点,。是坐标原点二（I）当点B是W的右顶点，且四边形 0ABe为菱形时，求此菱形的面积川）当点B不是W的右顶点 时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.，（I）当点B是W的右顶点，此时A（L纵 B亿。），（1尸分菱形面积为M3© （II）设八0¥口为）, C（j：2jy2） c

11、 P、M两点在椭 圆C上。所以蜡+ 4M -4 = 0, x| + 4% -4 = 0,两式相 减，整理得八一的+北）=如:土着0 = kACk0B =工壬 兴年府的.任武戈）募三拓尹石工C4点纵坐标的乘积是焦准距，但是用的不多。四、能力要求做解析几何的题目，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证 的，因为一旦算错数，就很可能功亏一贯。使自己的这些能力得到

12、培养必然少不了平 时的训练。五、补充知识这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等内容关于直线：1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程： （讥例）工一（引一办心+办期2 2也=。如果需要写过（xi, y i）和（x2, y。两点的直线方程，直接代入这个式子就可以得到，没必要由直线的两点式或点斜式重新化简。 至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y 轴垂直都没有关系。2、直线一般式Ax+By+C=0Bg示的直线和向量（A, B）垂直；过定点（x0, y0）的直线 的一般式可以由性任一孙）”句一如=0化简得到。一句这两条推论可以直接写出 两点的垂直平分线的方程。3、可能有的老师没仔细讲直

13、线的参数方程，所以我在这里补充一点直线的参数方程的 东西，希望对大家解题有帮助。-1, AC与OB不垂直，所以四边形OABC不可能为菱形抛物线也有点差法，用抛物线的点差法可以得到抛物线上两点的 连线斜率与这两点中若直线1过点皿（My。身且和向量3=（m,11）平行设1上一点PC阳y）,根据席击有=匕珥 设上曳=匕*=3于是有:1这便 m nm nly - y 11L是直线的参数方程（在推导过程中要求nmWO,但对师二0的情况也适用），如果满足+ n* = 1且n NO,这是就有m=cos a,n=sin 口（ a是直线1的倾斜角h直线的参数方程也就可以写成仁二黑:的形式，在下面的讨 LisT

14、Q论都是针对这种情况而言的s直线参数方程中的t是有实际意义的,以M为坐标原点，沿1向上的方向为正方向7%就是P点的坐标,若要将直线的参数方程化为直线的一般式，可以根据3ina（x-%）-cos a（y 一 = 0,将它括号打开即可3PS:用直线的参数方程设抛物线的焦点弦并与抛物线联立，可以解出两焦点坐标，而且没有根号！关于椭圆：印/1，2加 2/ （庐+1）4、椭圆7? 十 五 =1的焦点弦弦长为Z二 -; 二 一不一逐一«。M C上COS上Ct 屋证+"（其中是直线的倾斜角，k是l的斜率）。5、根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与到同一侧的准线的距离之商等于1?

15、71 I椭圆的离心率。椭圆w十g = 1的准线是上=±。（如果老师讲过，请无视这一条） a 0c下面是推导过程：222在储圆三十三=1中，焦点f（c,or设椭医上一点p（之，丫），到又=二的 a2 b2u * Qc距离为d|FPF，0 - 02 +y；= X： - 2cx0 + c7 5上面给出的几个内容大都是教材中没有的，但这不代表这些东西在考场上不能用。比 如前两条内容，用的时候稍稍变换一下，老师也不一定知道你是在套结论。如果想用 第4条的话，可以装模作样地算算，实际上再套用结论，估计老师也未必能看出来。至于第5个内容，如果老师没讲过，解体又用得着，那就把下面的推导过程抄下来再用

16、。用这些结论，都能或多或少地减小运算量，降低算错的几率。下面看几道例题。建议大家看解题过程之前最好先自己做一做。就算不做也一定要看啊，里面涉及到有好多方法的!已知唯阚G；+产4=1.过点（叫0）作圜妤+y2 = 1的切线L交椭圆设山合1,设1:盘=m + tcosa x 广.、g /y = 31m ，A tcosa + m.sina), B (t-2cosa +mjtzsinci 将 L 化成一般式是xsinoc ycosat msina = 0。1 到 0 的已知抛物线C:产=2px（p > 0）,其焦点为F, O为坐标原点，直线 AB （不垂直于X轴）过点F且与抛物线C交于A、B两点

17、，直线OA 与OB的斜率之积为-p, C）求抛物线C的方程；（2）若M为线段 AB的中点，射线0M交抛物线C于点D,求证，照>2。OM距离d口二L设A、w- p y - 2 /lop- 2是标3耳的Fx = tcoscr + ni y = sinar短 4 4yz 4 = 0(3sin2a 十 l)tz + 2mtcasa + 4 = 0.尸能得到当”=-4pc（2）设砺=WMf Mc =4 p 以 所FA和FB共线，能得到力力=-p，再根据oa与OB的斜率之积为p当3 20时.根据韦达定理，有t1+ t2 =-ZmcascLAB=y/(t1ccrsa + m) - (t2cosct +

18、 m)2 + (tsinw - t=sinct)2物线。上，将D的坐标代入抛物线C的方程，得到入=2,0D|0M|281+V箫14%为仇+外产W（G +J）之一轨3二4VSsina 4、3 日7二T 式？Ssmct + l m+ - Ttl已知椭圆C：=十 1 = 1,是否存在过点P（25l）的直线1与432梅园C交二木乏的a占T、B. ；FA PB = PM2?芒存在.求H二的方程；若不存在，请说明理由.卡x = 2 + tcosnV = 1 + tsinct已知ZSA6C的顶点在椭圆1 + 3y2 = 4上，点匚在直线I：尸（+2上，且AB # L当 /ABC=90° ,且斜边A

19、C的长最大时；求AB所在直线方程“下设割%,%）, Bq皿 1ABy=v + m, d为到！距离一 联立L与椭圆的方建，得攻工十6mx +芋n，一 4 = 0当时,根据韦达定理,有白十八=一授m0 = ；m（Vi - % 、% 为1二,+沟尸一屯。纪尸 但一：m： .由勾股定理.有AC，nAB* + d得AC ° = -m，- 2 m + 10。当iipT时，经检验，A>0, AC取最大值TT.-此时如为K-y - 1 = 0这道题要求A3最直接的想法是表示出A和C的坐标，再用两点间距离公式求 AC,但是这样算起来很不方便。如果用勾股定理转化之后就好做多了。ACtjCOsa +

20、 2,ti&inct +1), B(t2cosct+ 2,tsinct +A将1与椭圆C联立得七气为/戢4- 3) + tC12cosa + 8sina) + 4 = 2A = 96(2tana + l)cos2a>0,解得tana> /aR-d E 士.12cosci+Ssinct4根据韦达JE理，有口 十b=, t!t3 =“ qsin2a+3 * si n2a13P D , 所 以包二(t1cosa,t1sina) , PB =(t2cosctJtzsinot),PM =记, PB = PM ?代入得七也=-> 解得tana = + -t k = tana =

21、212 sin2a+3 4 221 ： x-2y=O*j例8已知椭圆他= + = 1,直线工与W交于k N两点，1与工轴、v轴交于C、D两点， di0为坐标原点.是否存在1使C、口为双的两个三等分点？若存在，求出1的方程孑若 不存在n请说明理由。山设。（国七,0）, 口（。,¥口）卡C是DM中点，所以1（2毛.” D是GJ巾点,所以以一92%尸11. N两点在椭圆W上，付2父+城=L 7xc+4昧=1 9口将元和Y标当作未知数，能解出蛙和邦，进而能求出肥=二"七力）=二兰*' 3b工: h 1 L 代入彳导 1 ： V 1。又 + 2 V 5y + 2 =J16乂

22、2 V 5y f 2 = O5iliV iOx + 2 ' 5y *匚 咫2 = 0或/ 10k - zV5y 2=0。下面介绍一下这道题非要用韦达定理的话怎么做口卡设】GC N（x2Jy2）o由三等分点的条件3用向量不难写出U? = W,：丽和OD = joM十；加，代人得到与十2必=。和2yl + y2 =0 （其实到这步之后，根据两点在椭圆上，把心N坐标代入椭圆方程来解也是可以的）利用“十殳=-：=马坦支-渝 宜口 三12£1算工包+也=_ < =%i坦2 一 a就可以用一元二次方程的韦达定理来做了 口今冷2 九第工例6已知抛物线C:x2 = 4y,过点M（0,m

23、）（nn>0）的动直线I与C相交于A、B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q,直线AQ, BQ 与x轴分别交于点E、F,判断是否存在点P使得四边形PEQF为矩形？ 若存在，求出点P的坐标，若不存在,说明理由，一设,图：工2,：据卜根据而X和血存共线，可以得到七& = 4me 抛物线方程y = ：",求导得y二：尤，则在A、B处切线的斜率分别 是:总和1与,因为四边形PEQF为矩形，所以有:与弓打=L求出 m=lB用点斜式写出抛物线C在点A和点B处的切线方程并整理，得 至U 2富1工-4y =以和242工-4y=对*解方程组，得到Q （2（% +2尤。.一 1）,

24、令切线方程中y=o求得e（|xLio fG不0），再利用 22QP =QE +QFt 能知道 P（0,i）. “例7已知抛物线C:y2 = 设P（l,-2）, Q为抛物线C上的两个不 关于x轴对称的点，判断在x轴上是否存在点R使得APQR 是以R为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点R的 坐标；若不存在，说明理由:一设RGo,O）。Q点位置有两种情况3下面分别讨论，Q点在 PR上方。如图所示，根据全等关系，可以由P和R的坐标写 出Q的坐标，再代入抛物线方程中，求出龙。;3,但这时P、 Q两点关于X轴对称，不符题意。Q点在PR下方。如图所 示，通过全等关系同样可以写出Q的坐标，再代入抛物线方

25、 程中，解出劭=7,经检验符合题意,综上，R的坐标为（7。（2015江苏迷） 如图.在平面直角坐标系工Oy中.已知例图t J = 1E>b>0）的离心率为二 且右焦 aE b*2点F到左梏线的柜离为3. （1）求椭圆的标准方程;（2）过F的直线与椭圆交与A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直波1和AB于点P, C,若PL2AB,求直线AB的方程2（1）由题目条件可列出方程：=+c=3=它, ca Z蟀出小区c=L b=l 口椭圆的标准方程为过+ y2 = 1 2-（2）作椭圆的右准线0过C作式”LL于过c作cc' ±r于c' ；过a作ar ±r

26、干a, ： 过B作BB' ±r于5' .设AB的倾斜角为工AF-AAJ , BF斗B , AXf 邸'二2CC，,所以AB二应CC' 22PC=2AB, PO,CC' VC”4,所以 4-CC' =2V2sinaCC" / sinaGX=1 + tCOSOt vT、n,r、=p Mticosa + l,tSno), BfGssct+ LtzSina)， s in Qt与桶圆方程联立.得t? (sin% + 1) + 2tcosa -1 = 0由一元二次方程的韦达定理，有匕+ g =*%sinzct + lC的横坐标女=1 +位

27、上 cosctj CC=2T匚二-.，工2J sin2 ct+1代入上面的方程，解出sina于是Ub：x y1 = 0或x + y 1 = 0+如图，抛物线C：/2 = 2”的焦点为F,抛物线上一定点Qg2）口求 抛物线C的方程及准线I的方程；过焦点F的直线（不经过Q点） 与抛物线交于A、B两点，与准线I交于点M,记QA，QB, QC的斜 率分别为女1 »七，七，I可是否存在常数 ' 使得上工十七Xfcg成上，若 存在A,求出入的值；若不存在，说明理由，卡根据Q（l,2）在抛物线上,能求出p=2,于是C:y，= 4Xn设 lAS：x = my+1, A（my工+B（my2 +

28、 lty2）=将。方与抛物线方程联立，得到y* - 4my 4 = 0,所以外十%=4血，当力=一4匚 由如方程可得M（-t-£!c三个斜率的表达式分别为题二定， 七=丝二，七=1+'赢题意，入=2=红内3二=2 my2mk2仙+ 1»王力例1015山东理20）平面直角坐标系皿中，已知椭圆亡与子s二缶>h>0）的离心率 始 b1为李 左.右焦点分别是、所以身为圆心以3为半径的圆与以后为圆心以1为半径 的圆相交.且焦点在椭圆C上.（I）求椭圆C的方程（in设椭圆E：之+总=L P 4班.4B*为椭圆C上任意一点，过点P的直线产k"川交椭圆E于&a

29、mp;、B两点，射线F0交椭圆E 于点Q «）求器的值HD求AAEQ面积的最大值。？ I 口 FI由题可知加% £ =匕解得F2, b口椭圆C的方程为=+/二正 a. 24（工DG）设器=出凡）OP = （x0Jy3）, 0Q = 一面=f-px01所以。（一四取一3口）* -因为。在椭圆£上，代入椭图E的方程，解得祖工2,即鬻=加 II 1（设 A&M）,取X"。，QA=话=（m力 n：）*AB 连线 1 :y=ki+b,所以%=Icq + m.力=kx； + rib y0 = kx0 + m*Jm工 =吗 + 2x0f % = y1+ 2y0, m= =x2 + 2x0? n2 y2 + 2y口*1sQAB-itQAHQB|sinZAQE=