解三角形常见的题目型

1、实用标准文案解三角形常见题型正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角 关系转化为角的关系或边的关系。题型之一：求解斜三角形中的基本元素指己知两边一角（或二角一边或三边），求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线（高线、角平分线、 中线）及周长等基本问题.1.在A43C中，AB=3, AC=2, BC=V10 ,则而X?=（）3223A. 一一 B. 一一 C. -D.-【答案】D23322 . （1）在&WC中，已知A=32.0，3=81.8，67=42.9cm,解三角形；（2）在A4BC中，已知o=20cm, 0=28cm, A=40 ,解三

2、角形（角度精确到1 ,边长精确到lcm13 .（1）在AABC 中，已知a=2j5, c=V6+V2 , 3=60,求 b 及 A：（2）在 AABC 中，已知。=134&加，=87.8c?，c=6.7cm ,解三角形4（2005年全国高考江苏卷）AA8C中，A = -f BC=3,则MBC的周长为（）3A. 4V3sin B + +3 B. 4csin| 8 + 2 +33 JI 6 ；C. 6sin B + +3I 3jD. 6sin B + + 36分析：由正弦定理，求出及c,或整体求出b+c,则周长为3+c而得到结果.选（D）.5 （2005年全国高考湖北卷）在 ABC中，已知A8 =

3、 +6,cos8 = WG, AC边上的中线8。=后，求 36sinA的值.分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及8C,再由正弦定理，即得sinA.解：设E为8c的中点，连接则。E/4B,且QE = _La8 = UB,设BE=x.23在A 8DE中利用余弦定理可得：BD2 = BE2 + ED2 -2BE EDcgsBED ,5 = x2 + - + 2x-x x,解得x=l, x =（舍去）.3363707 /91An故 BC=2, AC2 = AB1 + BC2 -2AB- BCcosB = E邛 AC =八.又 sin B = *，3362幅助 2丁. & V70故= sin A =

4、sin A V3014在AABC 中，已知 a=2, b=2及，C=15 ,求 A。答案：.BA,且0vAvl80, /.A = 30题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状.1 .（2005年北京春季高考题）在A45C中，已知2sinAcos8 = sinC,那么A48C一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形解法 1：由 2sin AcosB = sin C = sin（A+B）=siiiAcosB+cosAsinB,即 sinAcosB-cosAsin3=0,得 sin（A8）=0,得 A=3.故选（B）.解法2：由题意，得

5、cos8=M1 = ,再由余弦定理，得cos，+一.2 sin A 2alac/.+ C-=, 即 = 得 4 = /?, 故选（B）.2ac 2a评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断（如解法1）,统一化为边，再判 断（如解法2）.2 .在A3C 中，若 2cos3sinA = sinC,则ABC 的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形答案：c 解析:2sinAcosB=sin （A+8） +sin （AB） XV2sinAcosB=sinC, /.sin （A8） =0, .9.A=B3 .在AABC中，若二=上上1,试判断AA

6、BC的形状. b tanB答案：故AABC为等腰三角形或直角三角形。4 .在aABC 中，acosA=bcosj3,判断4ABC 的形状。答案：4ABC为等腰三角形或直角三角形。 题型之三：解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题.1 .（2005年全国高考上海卷）在A48c中，若4 = 120, AB = 5, BC = 1,则AABC的而积S=.V2=(V2 + y/6) 42 .在 AA3C 中，sinA+cosA = , AC = 2, A3 = 3,求 tan A 的值和的面积 0 2答案：S sbc = 一 AC x AB sin A = x2x3x

7、3 . （07 浙江理 18）已知ZiABC的周长为 JJ + 1,且sinA + sin8 = JJsinC.（I）求边A3的长：（II）若ABC的面积为1 sin C,求角C的度数.6解：（I）由题意及正弦定理，得A8 + 8C + AC = JJ+1, BC + AC = 42AB,精彩文档两式相减，得AB = 1.(II)由ABC的而积，8C4CsinC = lsinC,得8C4C = ,由余弦定理，得cosC =AC2 + BC2 一 AB2 (AC + BC)2 一 2ACBC - AB22AC.BC2AC.BC所以C = 60.题型之四：三角形中求值问题1.（2005年全国高考天

8、津卷）在A48C中，NA、N8、NC所对的边长分别为。、b、c设a、。满足条件c 和上=+J5,求NA和tan8的值.b 2分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理.解：由余弦定理COS A =2bc因此，ZA = 60 2A BC中由已知条件，应用正弦定理1 += 2 bsin 120cosB -cosl200sin Bsin Bsin Bsin B1=hcot 8 + ,解得cot8 = 2,从而 tan B =.222AA8C的三个内角为4、B、C,求当A为何值时，cos A+ 2 cos取得最大值，并求出这个最2解析：由 A+B+C= n ,得所以有 cos=sin

9、ya 乙 乙乙乙乙cosA+2cos:B+CAA A A 13=cosA+2siny =1 _ 2sin2y + 2sin-p=-2(siny - )2+ZB丸 1当 sin-y =；，叩A=-?-吐cosA+2cos取得最大值为米J乙乙在锐角ABC中，角A B, C所对的边分别为a, h c ,已知sin 4 = , （ 1 ）求3-/B3 + Ctan-A-+ sii?彳的值：（2）若。=2, S3ABe =叵，求的值。2J21解析：（1）因为锐角4ABC中，A+B+C=tt, sin A = -所以cosA=-，则、B+C larr)B+C.2 A Sin+s,n 7=Btc cos-2

10、 . ,A l-cos(B+C)八 1+cosA 1 7+ si!T= I -(1-cosA) =+ =一2 1+cos (B+C) 21 cos A 3 3实用标准文案则 bc = 3o(2)因为S又S ARr=-bcsin A = -bc,a Adv a Adv 2233将 a=2, cosA=-, c=二代入余弦定理：&2=3+12bccos A 中， 3b得 b4-6b2+9=0 解得 b= 。点评：知道三角形边外的元素如中线长、而积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。714 .在A3C中，内角A B, C对边的边长分别是a, b, c,已知c = 2, C =-.3(I)若ABC的

11、面积等于JJ,求“ b：(II)若sinC + sin(8-A) = 2sin2A ,求ABC的面积.本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力.满 分12分.解：(I)由余弦定理及已知条件得，a2+b2-ab = 4,又因为ZkABC的面积等于JJ，所以必sinC =得C必=4. 4分2 2 2 a联立方程组+ -= 解得。=2, b = 2. 6分ah = 4,(II )由题意得sin(8 +A) + sin(8- A) = 4sin4cos A ,HP sin Bcos A = 2sin Acos A , 8 分. 4cL 71 n n4/

12、 . 2y/3当 cos 4 = 0 时，A = , B = . a =, b =,2633当cosAwO时，得sin8 = 2sinA,由正弦定理得 = 2a,联立方程组产+一 = 4,解得=空，b =b = 2(b33所以ABC的面积 S = Labsin C = 12分23题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解 三角形的知识，例析如下：图1(-.)测量问题1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点, 望对岸标记物 C,测得NCAB=30。，NCBA=75。，AB=120cm, 求河的宽度。

13、分析：求河的宽度，就是求AABC在AB边上的高，而 在河的一边，已测出AB长、NCAB、ZCBA,这个三角形 可确定。解析:由正弦定理得ACsin /CBAABsin ZACBAAC=AB=120m,又,: S 4.r =-AB- AC sin AC AB = -ABCD,解得 CD=60m。 s 22点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题工（二.）遇险问题2某舰艇测得灯塔在它的东15。北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯 塔在它的东30。北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?（1）准确理解题意，分清已知与所

14、求，尤其解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15。北的 方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30。北 的方向上。在AABC中，可知AB=3OxO.5=15, ZABS=150, ZASB=15,由正弦定理得 BS=AB=15,过 点S作SCJ_直线AB,垂足为C,则SC=15Cn300=Z5这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10 海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是： 要理解应用题中的有关名词和术语：（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出：（3）分析与所研究问 题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求

15、解 （三,）追击问题图33 如图3,甲船在A处，乙船在A处的南偏东45。方向，距A有9n mile并以20n mile/li的速度沿南 偏西15。方向航行，若甲船以28n mile/li的速度航 行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用th,甲船能追上乙船，且在C处相遇。在ZABC 中，AC=28t, BC=20t, AB=9,设 NABC=a, ZBAC=po.a=180c-45-15o=120c 根据余弦定理AC2 = AB2 + BC2 - 2AB - BCcos a ， (28r)2 =81 + (20/)2-2x9x20rx(-1), 128r2-60/-27 = 0,

16、 (4t39-3) (32t+9) =0,解得 t=二，t=一(舍) 43233:.AC=28x =21 n mile, BC=20x = 15 n mile。4415x LBsin a 。入J3根据正弦定理，得sin/7 = =- = - 1 XVa=120,为锐角，p=arcsmAC 21145 小 v5/314147tV 一,4573/. arcsin14甲船沿南偏东三一arcsint叵的方向用上h可以追上乙船。 4144点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的NABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行 精彩文档的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间I有关。这样根据余弦定理，可列出关 于t的一元二次方程，解出t的值。4