直线平面平行与垂直的判定及其性质证明题详解

1、直线、平面平行与垂直的判定及其性质7 .在四棱锥 P ABC前，四边形 ABCDg梯形，AD/ BC, / ABC=90 ,平面 PAB平面 ABCD平面PADL平面ABCD.(1)求证：PAL平面ABCD(2)若平面 PAB平面PCD l ,请说明理由【解析】(1)因为/ ABC=90 : AD/ BC所以AD± AB.而平面PAB 面ABCD且平面 PAB平面ABCD=AB, 所以ADL平面PAB, 所以AD± PA.同理可得AB± PA. ?由于AR AD 平面ABCD且ABI AD=A以PAL平面ABCD.(2)(方法一)不平行.证明：假定直线l /平面A

2、BCD,由于l 平面PCD且平面 PCD平面ABCD=CD,所以l / CD.同理可得l / AB,所以AB/ C.D这与AB和CD是直角梯形ABCD勺两腰不平行相矛盾，故假设错误，所以直线l与平面ABC”平行.(方法二)因为梯形 ABC前AD/ BC,所以直线AB与直线CD相交，设 ABI CD=T.由T CD CD 平面PCD导T 平面PCD.同理T平面PAB.即T为平面PCg平面PAB的公共点，于是 PT为平面PCg平面PAB的交线.所以直线l与平面ABC坏平行.8 . 如图，在三棱柱ABC AB1C1中， AB BC,BC BCi,AB BC1 , E,F,G分别为线段ACi, AC”

3、BB的中点，求证：(1)平面 ABC 平面 ABC1 ；(2) EF 面 BCC1B1;(3) GF 平面 AB1G【解析】 QBC ABBC 平面ABC1Q BC 平面ABC平面ABC 平面ABCi(2)QAE EC1,AF FC1, EF /AA1Q EF 面 BCC1B1 EF 面 BCC1B1；(3)连接EB,则四边形EFGB为平行四边Q EB AC1 FG AC1Q BC 面ABC1 BG 面 ABC1B1C1 BE FG B1C1,QBGIACi CiGF 平面 ABiCi。9.在四棱锥 O ABCB,底面ABCM菱形，ON平面ABCD E为OA的中点，F为BC的中点，求证：(1)

4、平面BDOL平面ACO(2) EF/ 平面 OCD.【解析】 证明：l OA 平面ABCD , BD 平面ABCD ,所以OA BD ,四边形ABCD是菱形，AC BD ,又OAI AC A,BD 平面 OAC ,又 BD 平面OBD , /.平面BDO 平面 ACO .取 OD 中点 M ,连接 EM,CM，贝U ME | AD,ME AD , 四边形 ABCD 是菱形，AD/BC,AD BC ,丁 F 为 BC 的中点，CF | AD,CF ：AD ,- ME | CF ,ME CF .四边形EFCM是平行四边形，EF /CM ,又 EF 平面 OCD , CM 平面 OCD . EF I

5、I 平面 OCD .E是BC的中点.如图10 .如图 l ,等腰梯形 ABC前，AD/ BC, AB=AD / ABC=60,2,将 ABE沿AE折起，使二面角 B-AE-C成直二面角，连结BC,BD, F是CD的中点，P是棱BC的中点.(1)求证：AE± BD;(2) 求证：平面PEN平面AECD(3)判断DE能否垂直于平面ABC侨说明理由.图1图2【解析】(1)连接BE,取AE中点M ,连接BM ,DM .Q在等腰梯形 ABCD中，AD / BC ,AB=AD ABC 60 ,E是BC的中点ABE与ADE都是等边三角形BM AE,DM AEQ BM I DM M ,BM ,DM

6、平面 BDMAE 平面BDMQ BD 平面BDMAE BD .(3) DE与平面 ABC不垂直.(2)连接CM交EF于点N ,连接PNQ ME / FC ,且 ME = FC四边形MECF是平行四边形N是线段CM的中点Q P是线段BC的中点PN / BMQ BM 平面 AECDPN 平面AECD . Q PN 平面PEF 平面PEF 平面AECD证明：彳设设 DE 平面 ABC , 贝U DE ABQ BM 平面 AECD BM DEQABI BM B, AB,BM 平面 ABE DE 平面 ABE P DE AE ,这与 AED 60o矛盾'DE与平面 ABC不垂直./11 .如图，

7、在四棱锥P ABCD中，底面ABCD中为菱形，户 中点。(1) 若PA PD ,求证：平面 PQB 平面PAD ;(2)点M在线段PC上，PM tPC,试确定实数t的值， 得PA II平面MQB。BAD 60【解析】(1)连BD , Q四边形ABCD菱形 AD AB ,PA PD Q为AD的中点， AD PQ又 BQ I PQ QAD 平面PQB , AD 平面PAD.1 一(2)当t 时，使得PA 平面MQB ,连接AC父BQ于N ,父BD于。，则。为BD 的 3中点，又 BQ为 ABD边AD上中线， N为正三角形ABD的中心，令菱形 ABCD的PAC 平面 MQB MNL3M为PA的中点.

8、边长为 a ,贝U AN a , AC 43a。 3Q PA |平面MQB PA 平面PAC 平面PA II MN.3 a .PM 的 3=-即：PM 1 PC tPC AC , 3a 3312.如图，四边形 ABC虚菱形，PA1平面ABCD(I )求证：PC/平面BDM(n )若PA= AO <2 , BD= 2上,求直线BM与平面PAC所成的角.【解析】（I ）设AC与BD的交点为O,连结OM.因为四边形ABCDg菱形，则。为AC中点.又M为PA的中点，所以 OM/ PC.因为OM在平面BDMrt,所以PC/平面BDM.（II ）因为四边形ABC混菱形，则BD± AC.又

9、PA，平面 ABCD 贝U PAX BD.所以BD，平面PAC.所以/ BM偎直线BMUf平面PAC所成的角. ri因为 PA，平面 ABCD 所以 PA± AC.在 Rt PAC3,因为 PA= AO J2,则 PO2.1又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO= 2P01.1 里打又 BO= 2 BD= <3，在 Rt BOMF, tan / BMOMO ,所以 / BMO 60 ° .故直线BM与平面PACff成的角是60.13 . 一个棱柱的直观图和三视图 （主视图和俯视图是边长为 a的正方形，左视图是直 角边长为a的等腰三角形）如图所示，其中 M、N分别是

10、AB、AC的中点，G是DF 上的一动点.（I）求证：GN A。（n）求三棱锥F MCE的体积；（田）当FG GD时，证明AG/平面FMC.连结 DN, 那胪D CD,FD AD,所以 fd 面 ABCD FD ACa的等腰直c A 以 所D N G 面所以GN AC(II ) VE FMCVADF BCE VF AMCD VE MBC11 1 za .11aa a a (_a) a a 23 2 23 2 2、/、/1go另解:VE FMCVM CEF 3 AD S CEF(m )连结de交FC于Q,连结QG因为G，Q，M分别是“其公的中点，所以gq/2CD ?AM / ICD，所以，AM / GQ , AMGQ是平行四边形所以，AG 平面FMC.AG / QM , AG 面 FMC , MQ 面 FMC14 .如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的6倍，P为侧棱SD上的点。(1)求证：AC! SR(2)若SDL平面PAC在SC上取一点E,使S& 用二二21 ,连接be,求证：BE/ 平面PAC.【解析】(1)连B