自主招生考试数学试卷及参考答案

1、自主招生考试数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1 .全卷共三大题，满分 120分，考试时间为100分钟。2 .全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。做在试题卷上无效。3 .请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。4 .答题过程不准使用计算器。祝你成功！ 一、选择题(本题共 6小题，每小题 5分，共30分.在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求)1.如果一直角三角形的三边为a、b、c,/B=90°，那么关于x的方程a(x2-1) 2cx+b(x2+1)=0的根的情况为A有两个相等的实数根B

2、有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定根的情况2 .如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作P1A10、P2A20、P3A3O,设它们的面积分别是S1、S2、AS1S2S3S3S1S3S2DS1S2S3y轴的垂线，得三个三角形3.如图，以BC为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦 AB于点D,连接CD,则阴影部分的面积是1A 兀1 B 兀2 C 2x y a 32x y 5a4 .由y 得a>3,则m的取值范围是x ya mAm>3B m 3C m 35 .如图，矩形 ABCG (AB<BC)与矩形 CDEF全等，点 B、在同一条直线上，APE

3、的顶点P在线段BD上移动，使为直角的点P的个数是A 0 B 1 C 2 D 36 .已知抛物线 y=ax2+2ax+4(0<a<3),A (x1，y1)B(x2, y2)是抛物线上两点，若X1<X2,且 x1+x2=1 a,则A y1< y2 B y1= y2 C y1> y2 D y1与y2的大小不能确定7.8.9.将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为二、填空题(本题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填写在题中横线上)10.用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l的规

4、律拼成一列图案:(1)第4个图案中有白色纸片 张(2)第n个图案中有白色纸片 张11.如图所示，线段ABW CDtB是。中的弦，其中Ab 108O, AB a,CD 36O,CD b,已知，如图四边形 ABCD中，AB=DC, AC=BD, ADwBC,求证：四边形 ABCD是等腰梯形.证明：过D作交EC于禺 则乙1诚=/1'/ AB=DCf AC=DS, BC=CBy,1, Zu5J/. AABC= ZDCS/. £l = £D6，AB=DO=DE，四边形工W口是平行四边形:' AD/BC®BB=AD又:QWBG 二 BEBC I，点E、。是不同

5、的点，ac卢月b 又.1，四边形 如CD是等膜梯形®读后完成下列各小题.(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： A(2)作DE / AB的目的是：.(3)判断四边形 ABED为平行四边形的依据是：(4)判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是.（5）若题设中没有 ADWBC,那么四边形 ABCD一定是等腰梯形吗？为什么?答 .自主招生考试数学标准答案、选择题（本题共 6小题，每小题 5分，共30分.在每小题的四个选项中，只有一个 符合题目要求）题号123456答案ADACCA二、填空题（本题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填写在题中横线上）7. 二J 8 . 2569

6、.57610. （1）13（2）3n+1（3）1525011. a b或VOb12. （1）没有错误 （2）为了证明AD/BC（3） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）梯形及等腰梯形的定义（5）不一定，因为当 AD=BC时，四边形 ABCD是矩形三、解答题（本题共 5小题，共60分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说 明） 13.（本小题10分）某公园门票每张 10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B C三类：A类年票每张120元，

7、持票者进人公园时无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入公园时，需再购买门票，每次 2元；C类年票每张40元，持票者进入该公园时， 需再购买门票，每次 3元。（5分）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用 80元花在该公园的门票上，试通过计算，找出可使进人该公园的次数最多的购票方式；（5分） 求一年中进人该公园至少超过多少次时，购买A类票比较合算。解；A摆次）.氏幽押.=18次）.匕 %8HL34次）.即类年票可使进入园林的次数最塞.£23设超过工次时购买A类年察比较合算由题意.得1+解不等式组得40+才* 京 12口，所以至少超过30次时购买A类年票比较合篇，1

8、4.（本小题12分）如图1所示，在正方形 ABCN, AB=1, AC是以点B为圆心。AB长为半径的圆的一段弧，点 E是边AD上的任意一点（点 E与点A D不重合），过E作AC 所在圆的切线，交边 DC于点F, G为切点。（4分） 当Z DEF= 45°时，求证点 G为线段EF的中点； （4分）设AE=x, FC=y ,求y关于x的函数解 , 析式；并写出函数的定义域；（4分）图2所示，将 DEF沿直线EF翻折后得j D1EF,当 EF=5 时，讨论 ADD 与 EDF 是否1相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只 要求写出结论，不要求写出理由。证明的为-DEF=-15°

9、;得/力FE匚时-N I）EF = 15*，所以ZDFE 上上DEF.所VI DE = JJE 乂因为AD工，所以AE - FC.因为AB是 园6的半存冷"/以所以AD切圜B于点真“司理，（刀切网四于点 匚,乂因为EF划回H于点（；，所以43 EG, FC工FG.所以EG - .即 点G为线段EF的中点,d）解*因为EU-八£=1.H；=CF=;v.所以ED-1-4- 1 - y在 KiZJjEF中*由EDT F”-EFJ得口一尸+门丫+ 所 以 ¥ =二匚 1 T,r.r1 r（3）解：当EF -2时.由谴）得EFEC&F（；八E+FCr十丁工：W.得

10、“ 1或 1；,即八EJ或当AAZJi DczAEDJr*证明设苴线EF交线段D,于点H.如图-3 所示.由题点,用尸石/ E5HEF-L皿且DH=D,工因为*K ；八D=1.得八E* ER 所以 EH/ ADr ffitlZAD-ZFEP- 产£修, /A DJ? -Z弦H D七90丈闪为一ElhF:?/ EDF =加、所以 工行口。.所n&当A E V时 /。D与/订3 F不相似,15.(本小题12分)二次函数y ax2 bx c的图象的一部分如图所示。已知它的顶点M在第二象限，且经过点 A (1, 0)和点B (0, 1)。(1) (4分)请判断实数a的取值范围，并说明

11、理由；(2) (4分)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为 C,.5 当A AMC0积等为八ABC面积的4倍时，求a的值。(3) (4分)是否存在实数 a,使得 ABC为直角三角形.若 存在，t#求出a的值；若不存在，请说明理由。.解由图象可知也因为抛物线过点所以因为抛物 线过点(1/人所以0，4丁1 = 0,即6 =一口-1由图象知，当1二一1所以也一人+ 1仇所以5+ u L I * 所以血一1.实敏山的取值射圉为一(抬由“)易知,此函数的表达式为-(a+l)r+1 ,项点M的纵.“Au la-(rH-l)- U-1)- ru 小匚 _ c坐标为'l二日一，因为 皿 13_,闻工

12、，所以- ("I止=I.都理.得/十3& + 1 - Q.由此可求得m二Aa 422_ 2(3)由一1vav0,设/ ABC为直角，由 AC AB BC ,得1 2(1 -)2a解得 a1(1 )a1 ,不合题意.所以不存在。16.(本小题12分)如图所示,a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B , C分别在A的正东方20 km处和54 km处。某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测下，声波在水中的传播速度是1.5 km/so点A , 20 s后监测点C相继收到这一信号。 在当时气象条件(1) (6分)设A到P的距

13、离为x km ,用x表示B,C到P的距离，并求x值;(2) (6分)求静止目标 P到海防警戒线a的距离(结果精确到 0.01 km)。 解：依题意，PAPB=1.5 X 8=12 (km), PCPB=1.5 x 20=30 ( km ).因此 PB= (x 12) km, PC= (18+x) km.在 PAB 中，AB= 20 km ,COS PAB_ 2_ 22PA AB PB2PA AB2_2_2_x 20 (x 12) 3x 322x 205x同理，在 PAC中，cos PAC72 x3x由于 cos PAB cos PAC即"35x72 x3x解得x132(km).(2)

14、作PD a,垂足为 D.在RtAPDA中,PD =PAcos / APD=PAcos / PAB =3x 325x132 ”3217.71 (km).答：静止目标 P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.17.（本小题14分）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点 C与点A 不重合），以OC为直径的半圆 M与半圆O交于点D , / DCB的平分线与半圆 M交于点E。（1） （4分）求证：CD是半圆O的切线（图1）;（2） （5分）作EFXAB于点F （图2）,猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加 以证明；（3） （5分）在上述条件下，过点 E作CB的平行线交CD于点N,当

15、NA与半圆O 相切时（图3）,求/ EOC的正切值。图1图2图3猜想证法一：如图，连结 OD、OE,延长OE交CD于点K,作EG LCD于点G,则EG/OD。证法二：如图，以OC为直径作。M ,延长EF交。M于点P,连结OD。.EFXCOEO PO. CE 平分/ DCB/ DCE= / ECODE OEOD EP. CE 平分/ DCB . MEFA MOH. CE 平分/ DCB ./ OCE= Z KCEEF± AB.EG=EF,. OC是半圆M的直径,E为半圆M上的一点/ CEO= / CEK=90EF EG1 -OD 21 -OA 2EF PF1 -EP, 2.OD=EP证法三：如图，连结 OD、ME, OD、ME相交于点H,. OC为半圆M的直径/ CDO=90.CD是半圆O的切线。 CE为公共边OE=KE EG/OD.,.COEACKE.DG=GK1 EF OD 21 OA2. / EMF= Z OMH , ME=MO(1)证明：如图1,连结OD,则OD为半圆O的半径1 EF OA。2DE OE.EFXCO/ MFE= / MHO=90 MEXOD, OH1 OD21”，EF=OH. EF OD2(3)解：如图3,延长OE交CD于点K设