信号以及答案

1、信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB南京邮电大学南京邮电大学信号分析与信息处理教学中心信号分析与信息处理教学中心2007.1SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第二章 连续信号与系统的时域分析信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB第二章 连续信号与系统的时域分析线性时不变连续系统的分析方法概述2.1 冲激函数及其性质2.2 系统的冲激响应2.3 信号的时域分解和卷积积分2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定2.5 卷积积分的性质本章要点作业返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB线性时不变连续系统的分析方法概述连续信号与系

2、统的时域分析：信号和系统的整个分析过程都在连续时间域内进行信号和系统的整个分析过程都在连续时间域内进行时域分析法（直接法）： 计算零输入响应（求解齐次微分方程）计算零输入响应（求解齐次微分方程） 计算零状态响应计算零状态响应直接法：直接法：求解非齐次微分方程求解非齐次微分方程间接法：间接法：首先把任意激励信号分解为连续出现的冲激信首先把任意激励信号分解为连续出现的冲激信号之和；再求解单位冲激信号激励下的零状态响应；然后号之和；再求解单位冲激信号激励下的零状态响应；然后利用系统的线性和时不变性把每一个冲激信号引起的零状利用系统的线性和时不变性把每一个冲激信号引起的零状态响应叠加起来。态响应叠加起

3、来。卷积分析法卷积分析法变换域分析法： 傅里叶变换分析法、拉普拉斯变换分析法傅里叶变换分析法、拉普拉斯变换分析法返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.1 冲激函数及其性质2.1.1 冲激函数的三种常用定义 1.1.工程定义：工程定义：000)(ttt和和1)( dtt)(lim)(0tftcc2.2.单位冲激信号可以看成是某些普通函数的极限单位冲激信号可以看成是某些普通函数的极限: :3.3.严格的数学定义：严格的数学定义：0000)0()()0()()()()(dttdtttdttt 作为一个广义函数作为一个广义函数 ，单位冲激函数，单位冲激函数 作用于任意在作用于任

4、意在)(t)(t)(t0t 时连续的普通函数时连续的普通函数 的效果是对的效果是对 （测试函数或（测试函数或赋值函数）赋于下面的值：赋值函数）赋于下面的值：广义函数的等价性或冲激函数的筛选性广义函数的等价性或冲激函数的筛选性返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.1.2 冲激函数的性质1.1.筛选特性：筛选特性：)()()(00tdtttt证明：证明：)()()()()(0000tdxxtxdttttttx例如：例如：0sin)(sin0ttdttt22sin)41(sin41ttdttt0)(21dtteat在积分区间（在积分区间（1，2）内，被积函数为）内，被积函数为

5、0。216sin)6(sin0dttt注意：注意：返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.2.加权特性：加权特性：)()()()(000tttftttf证明：证明：)()()()()()()()(0000ttfdtttfttdtttttf )()()()()()()()(000000ttfdtttfttdtttttf 两个广义函数对测试函数两个广义函数对测试函数 有相同的赋值效果，有相同的赋值效果，故它们二者等价。故它们二者等价。 )(t特别地，当特别地，当 ，有，有00t)()0()()(tfttf00 )(sin)(sinttttt)()(sin)(sin412241

6、4141 tttttt例如：例如：返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.3.单位阶跃函数的导数是单位冲激函数单位阶跃函数的导数是单位冲激函数: :)0()0()()()()()()()()()()(0tdtdtttdtdttdt证明：证明：)()(tdttd故此结论解决了不连续函数在间断点处的求导问题此结论解决了不连续函数在间断点处的求导问题ttttd)(0001)()(另外，返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-1-1 2-1-1 已知已知 的波形如图所示，试求的波形如图所示，试求 ，并画出，并画出其波形图。其波形图。)2()()(tttt

7、f解：)2(2)2()()2()()2()()( tttttttttf波形如下图波形如下图:)(tf0t220t(2)1)( tf2)(tf)( tf信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4.4.单位冲激函数为偶函数单位冲激函数为偶函数: :)()(tt)0()0()()()( )()()()( dddtttt证明：返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB5.5.尺度变换尺度变换: :0,)(1)()(1)(000ataattatattaat为常数且和)0(1)()(1)()(,0,adxaxxadttataxat时当证明：令)0(1)0(1)()(1)()(

8、)()()(,0aadxxaxaaxdaxxdttata时当)(1)(taat故)(1):00attatat（同理可证返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.1.3 冲激函数的导数及其性质 单位冲激函数的一阶导数单位冲激函数的一阶导数 称为单位二次冲激函数称为单位二次冲激函数或冲激偶，图形符号如下：或冲激偶，图形符号如下：)( t0t)( t可以证明：可以证明：)( )()( )0( )()( 00tdttttdttt)()( )( )()( )()()0( )( )0()( )(00000tttftttftttftftfttf1.1.筛选特性：筛选特性：2.2.加权特性

9、：加权特性：返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB22cossin)41( cossin)( 410ttttdttttdtt例如：)41(22)41( 22)41(cos)41( sin)41( sin4141tttttttttt)()(cos)( sin)( sin00ttttttttt此外，还可以定义此外，还可以定义 的的 n 阶导数阶导数)(t)()(tn)0()1()()()1()()()()()()()(nnnnndtttdttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.2 系统的冲激响应2.2.1 冲激响应的定义 零状态系统在单位冲激信号作用下的

10、响应。零状态系统在单位冲激信号作用下的响应。1.1.对于简单电路，直接列微分方程求解：对于简单电路，直接列微分方程求解：)(t)(th0)0(nqS2.2.2 冲激响应的求解 )()()(tvdttdiLtRisLL)()()()(, 0)0(thtittviLsL时，则当)()()(tdttdiLtRiLL即：+-)(tvsRL)(tiL返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB对上式从对上式从 到到 取积分，得取积分，得 0t 0t001)0()0()(LLLLiLidttiRLiidttitiLLLL1)0(0)0(0)()(00，且是有限的，故（电感电流在冲激信号作用下

11、，（电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到从零跃变到 )L1零输入响应，此时电路是一个特殊的时，当, 0)(0tt由三要素公式得由三要素公式得)()(1)(thteLtitLRL与与RL电路相对电路相对偶，可得偶，可得RC电电路的冲激响应：路的冲激响应：)(tRC+_)(tvc)()(1)()()()(1thteCtvtdttdvCRtvtRCCCC信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.2.冲激响应是阶跃响应的导数冲激响应是阶跃响应的导数设线性时不变系统的激励为设线性时不变系统的激励为 ，其零状态响应为，其零状态响应为 ，)(tx)(ty)( )( )()(tytxtytx则

12、即)( )()()( )()()()(tythttxtytsttx则若)()()( )(tdtdststh即RiiiLLL1)(, 0)0()0(RLteRtst),()1 (1)()(1)()1 (1)()(teLteRdttdsthtt+-)(tvsRL)(tiL例如：例如：0)()1 (1),()0()()(teRtfttft故由于)(1)(teLthLRt返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例：试求试求如图所示电路的冲激响应，已知如图所示电路的冲激响应，已知 。)(tv+-)(tvs1R2RC解：先用三要素法求阶跃响应解：先用三要素法求阶跃响应0)0(),()

13、(Cvttvs此时sRCVvVvvvCC21)(21)0(0)0()0()(41)(21)( )()()211 ()()(22tettsthtetvtsttFCRR1,121)(t注意：注意：阶跃响应中的阶跃响应中的后缀后缀 不能不写，不能不写，否则求导时会漏掉一否则求导时会漏掉一项。项。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.3.从微分方程求解从微分方程求解设描述设描述n阶连续系统的微分方程为阶连续系统的微分方程为)()()( )()(01)1(1)(txtyatyatyatyannnn即则若)()(),()(0thtyttx)()()( )()(0001)1(01)(0t

14、thathathathannnn微分方程就可以了。个初始条件，求解齐次只要找出该系统的应，是一个特殊的零输入响即冲激响应时，当nthtt)(, 0)(00处连续）。幂函数项（在的正项中含有处不连续），在其余各含有阶跃函数项（在中中含有冲激函数项，在中。即包含在激函数项，并且只能，等式的左边应含有冲其次：为了使方程平衡，所以首先：因为是因果系统00)()(:)(0)0()0( )0() 1(0)(0)(0) 1(000tttthththhhhnnnn返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB0)0()0(, 0)0( )0( , 0)0()0(),0()0()2(0)2(0) 1

15、(0) 1(0hhhhhhhhnnnn即：对微分方程两边取积分对微分方程两边取积分1)()()()(0000000000) 1(01)(0dttdtthadtthadtthannnn上式左边只有第一项不为零，其余各项都为零，即：上式左边只有第一项不为零，其余各项都为零，即：1)0()0()1(0)1(0nnnhhannah1)0() 1(0因此得到在因此得到在 t = 0+ 时的时的 n 个初始条件为：个初始条件为：nnnnahhhh1)0(0)0()0()0()1(00)3(0)2(0 代入初始条件，求解齐次微分方程，即可得到系统代入初始条件，求解齐次微分方程，即可得到系统的冲激响应。的冲激

16、响应。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：已知系统的微分方程如下，试求其冲激响应。例：已知系统的微分方程如下，试求其冲激响应。)()(2)( 3)(000tththth解：解：2, 102300)(2)( 3)(212解得：特征方程：即：tththth)()(2)( 3)(txtytyty)()()(:221tekekthtt齐次微分方程的通解为代入初始条件：代入初始条件：0)0(1)0( hh解得：解得：1202121kkkk有：有：1121kk)()()(2teethtt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB当微分方程右边当微分方程右边含有 x( t

17、) 的各阶导数项时的各阶导数项时（间接法）（间接法）)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn此时，系统的冲激响应所应当满足的微分方程为：此时，系统的冲激响应所应当满足的微分方程为：)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(tbtbtbtbthathathathammmmnnnn为此，可假设一个新的系统，其冲激响应时的方程为：为此，可假设一个新的系统，其冲激响应时的方程为：)()()( )()(0001) 1(01)(0tthathathathannnn根据系统的线性和时

18、不变根据系统的线性和时不变性，有：性，有：mjjjmjjjjjjjthbtbthbtbthbtb0)(00)()(0)(000)()()()()()(以此与原系统冲激响应以此与原系统冲激响应时的方程相对比，得：时的方程相对比，得：mjjjthbth0)(0)()(返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-2-5 2-2-5 已知描述某系统的微分方程如下，试求其冲激已知描述某系统的微分方程如下，试求其冲激响应响应 )()( 2)(4)( 4)(2)(txtxtytytyth。j121，其特征根为)()cossin()(210ttektekthtt则解：设解：设)()(4)

19、( 4)(2000tththth代入初始条件：0)0(21)0( hh21)0 ( 0)0 (21020kkhkh有：有：解得：解得：02121kk)(sin21)(0ttetht故)(sin21)(cos)(sin21)(cos)(sin)()(2)(00ttettettettettethththttttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB对于一般的微分方程也可以直接求解冲激响应对于一般的微分方程也可以直接求解冲激响应（直接法）（直接法）3, 221其特征根为)()()(3221tekekthtt则解：解：)(2)( 3)(6)( 5)(ttththth22332121k

20、kkk则有7421kk解得)(2)( 3)()23()( )(2121tttkktkk：代入原方程，经整理得)()47()(23teethtt)(2)( 3)(6)( 5)(txtxtytyty例：例：)()94()()32()( )()()()32()()()( )( 32212121322121tekektkktkkthtekektkkththtttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB时，有均为单根，则当若方程的特征根mni)()()(1tecthtniii)()()()(, 1tectcthmnnitii时当数中会包含冲激函数的导时，当)(thmn )()( )()(

21、)()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn 若微分方程的特征根中有重根，则解的形式要作相应改变。tkkttetctececk1111211阶重根，相应项为为如tectecjttsincos,212 , 1相应项为如方程有共轭复根，信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 与直接法相比，间接法的优点是：求与直接法相比，间接法的优点是：求 时，只可时，只可能能 ，不需要考虑其它情况，并且其，不需要考虑其它情况，并且其 个初始条件个初始条件是固定不变的，从而给计算带来了方便。是固定不变的，从而给计算带来了方便。

22、)(0thmn n 其它求解系统冲激响应的方法还有：其它求解系统冲激响应的方法还有： 变换域的方法：变换域的方法：傅立叶变换法、拉普拉斯变换法傅立叶变换法、拉普拉斯变换法 实验法：实验法：观察、记录系统在窄脉冲信号激励下的响观察、记录系统在窄脉冲信号激励下的响应曲线或单位阶跃响应曲线。应曲线或单位阶跃响应曲线。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.3 信号的时域分解和卷积积分2.3.1 信号的时域分解 如图所示，任意波形的信号都可以用沿横向等间隔的折线来如图所示，任意波形的信号都可以用沿横向等间隔的折线来近似，近似，)(tx0tt10)(tgt10)(tg)()(ntgnx

23、0tn ) 1(nnntgnxtx)()()( nt)( nx其中在其中在 时刻出现的矩形脉冲高度为时刻出现的矩形脉冲高度为 宽度为宽度为 。折线中的每一条横向线段都可以看作一个矩形脉冲。折线中的每一条横向线段都可以看作一个矩形脉冲。n2)0(x)2( x)( nx折线可以看作是矩形脉冲的叠加折线可以看作是矩形脉冲的叠加为讨论方便起见，为讨论方便起见，此处此处 的定的定义与前面不同。义与前面不同。)(tg返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBnntgnxtx)()(lim)(0解释： ,),()(,0的积分求和变成对连续变量成为，成为新的连续变量记作时，当tntgnddtx

24、tx)()()(即叠加起来构成的。冲激信号分量连续出现的可以看成是由无穷多个说明任意波形的信号)()()(. 1tdxtx叠加起来构成的。形脉冲信号分量个连续出现的矩也可以看成是由无穷多任意波形的信号)()()(. 2dtxtx的取样特性得到。以直接从单位冲激函数因此，该积分公式也可过程中可视为常数），是积分参变量（在积分是积分变量，t. 3信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信号之和（分解过程略）：号之和（分解过程略）：)(tx)0(x)( xt)()()()(21)()(21)()()

25、()(21)(txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxoe 任意波形的信号也可以分解为偶分量与奇分量之和：任意波形的信号也可以分解为偶分量与奇分量之和：dtxtx)()( )( 利用后面将要介绍的卷积性利用后面将要介绍的卷积性质，可以很方便地证明这一结论。质，可以很方便地证明这一结论。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.3.2 零状态响应卷积积分 对于线性时不变系统，设对于线性时不变系统，设)(tx)(ty0)0(nqS)()()()()()()()()()()()()()(tydthxdtxtxthdxtdxthttht则当的卷积积分与称为记作)()()()()()

26、()(thtxdthxthtxty过程：过程：首先把任意信号分解为基本单元信号（这里是指冲激信号）；首先把任意信号分解为基本单元信号（这里是指冲激信号）； 然后研究系统对基本单元信号的零状态响应（这里是指冲激响应）然后研究系统对基本单元信号的零状态响应（这里是指冲激响应） ； 再根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信号单独作用于再根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信号单独作用于 系统时所引起的零状态响应迭加起来。系统时所引起的零状态响应迭加起来。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBdthxthtxty)()()()()(解释：)()(),()(. 1thth

27、xtx换成换成计算卷积时，将）连续变化。，（在信号出现的时刻，可以是积分变量，表示冲激. 2要考察的响应时刻。示所过程中可视为定值，表是积分参变量，在积分t. 3化。的变化，卷积值也在变的响应时刻的函数，即随着要考察是时间卷积值tty )(. 4。作用下的零状态响应激励其在任意即可用卷积分析法求得（系统特性的表征），一旦求得其冲激响应对任意线性时不变系统)()()(. 5tytxth返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB卷积积分限的确定卷积积分限的确定都是有始函数时，设和当)()(thtx)()()(),()()(2211tttfthtttftxdtttftfthtxty)

28、()()()()()()(2211则，于是有果乘以。或者说应当将卷积结出现的最早时刻为响应时间才能出现，即：再延迟励分量所引起的响应要时刻（最早）出现的激义是：能不为零。其物理意，积分出来的结果才可来说，应当满足而对于用所引起的。期间所有分量的共同作），是由激励在（。其物理意义是：响应，上限应当为应当为为零。因此，积分下限时，被积函数才可能不也就是说只有当）时，（即以及）时，（即考虑到)()()(0)(00)(021212121212121222111ttttttyttttttttttyttttttttttttttt)()()()()()(212121tttdtffthtxtyttt返回信号与

29、系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB。试求零状态响应电路如图，已知例：)(,21,1),()(tvFCRtetvRCcts)(2)(1)(21teteRCthttRC响应为解：可求得电路的冲激)(2)()()()()()(20tdeedthvthtvtvttssc)(tvc+)(tvsRC)()(2)() 1(2)(22202teeteetdeetttttt)3()3()3()3()2() 1(12)(21tettetdeetetettttttt解：原式例：试计算卷积：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB状态响应。试用卷积分析法求其零系统的冲激响应例：已知激励信号

30、),()(, 1)(tethtxtdtedthxthtxtyt)()()()()()()(解：tttteedettt10)()(0)(原式时，即detdetttdtffthtxtytttttxttttttt)()(212111)(1)()()()()()()(1)(11)(21则，其中或者：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定积分的上下限。助于确定积分的上下限。dthxthtxty)()()()()(相乘；和相乘：将)()(. 4thx归纳起来

31、，卷积的图解过程有五个步骤：归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤：)()(),()(:.1hthxtxt换元)()(:. 2hh折叠值；平移一个把位移th)(:. 3时刻的卷积值。即为的面积乘积曲线与时间轴之间和积分：tthx)()(. 5返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()()()2()(21)(),1()21()(142thtxtytttthtttx求卷积波形分别如图所示，试，：已知例1 21)(th011t0)(tx21t解：解： (1) 换元换元110)(x211 21)(h0信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1)(h0 -2t1)(t

32、h0 -2t110t -2t211121 -2tt (2) 折叠折叠 (3) 位移位移 (4)相乘、积分相乘、积分0)(,21tyt当16144)(211)(, 121221ttdttytt当信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB110t -2t2116343)(211)(,231121tdttyt当4324)(211)(, 323221ttdttytt当0)(, 3tyt当110t -2t2111t -2t213t2111615)(ty2169的曲线)(ty信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB本例采用确定卷积积分限的公式计算较为简便本例采用确定卷积积分限的公

33、式计算较为简便: :)2()(2) 1()21()()()(tttttthtxty由于卷积运算像乘法运算一样满足分配定律由于卷积运算像乘法运算一样满足分配定律,因此因此)()()()()()()()()()()()(),()()(21212211221121tttdtffdtttftfthtxtttfthtttftxttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB必须注意，在书写中以上各项的延迟阶跃函数不能丢失。必须注意，在书写中以上各项的延迟阶跃函数不能丢失。 粗略看来上述结果似乎与例粗略看来上述结果似乎与例2-4-1的结果不一致，但若将上述的结果不一致，但若将上述结果改写成分段

34、定义的函数，不难验证，结果是相同的。结果改写成分段定义的函数，不难验证，结果是相同的。)3()4324()23()161544()1()4124()21()16144()3(21)23(21)1(21)21(21)2(2)1()2(2)21()(2)1()(2)21()(222222212111tttttttttttttdttdttdttdttttttttttttttytttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.5 卷积积分的性质(1)交换律交换律)()()()(txththtx)()()()()()()()()()(,txthdtxhdhtxdthxthtxt有证明：令

35、2.5.1 卷积代数返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2)分配律分配律)()()()()()()(2121thtxthtxththtx证明：利用卷积的定义比较容易得到证明：利用卷积的定义比较容易得到)()()()()()()()()()()()()()(21212121thtxthtxdthxdthxdththxththtx例如：两个子系统并联例如：两个子系统并联)()(21thth)(ty)(tx)(1th)(2th)(tx)()()()(21ththtxty)()(1thtx)()(2thtx等效为：等效为：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS Z

36、B这里，两次卷积运算是一个二重积分，只要改变积分次这里，两次卷积运算是一个二重积分，只要改变积分次序即可证明此定律。（证明过程略）序即可证明此定律。（证明过程略）)()()()()()(2121ththtxththtx(3)结合律结合律例如：两个子系统级联例如：两个子系统级联)(2th)()()()(21ththtxty)(tx)(1th)()(1thtx等效为：等效为：)()(21thth)(tx)()()()(21ththtxty信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.5.2 卷积的微分与积分，有设)()()(thtxty(1)卷积的微分性质卷积的微分性质)( )()(

37、)()()()( thtxdthxdthxdtdty)()( )( :thtxty同理可证(2)卷积的积分性质卷积的积分性质（证明略）（证明略）)()()()()()1()1()1(thtxthtxty返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(3)卷积的微积分性质卷积的微积分性质)( )()()( )()1()1(thtxthtxtydtthxthtxdxhthtxxththtxthxdxthtxtyt)()()()()()()()()()()()( )()()( )()()() 1() 1 () 1() 1 () 1()()()()()()()()(, 0)(0)()1()

38、1()1()1(thtxtythtxthtxtydtthx交换位置，可得和同理，则，或者只要证明：条件：条件：应用微积分性质时，被求导的函数在应用微积分性质时，被求导的函数在 处处应为零值，或者被积分的函数在应为零值，或者被积分的函数在 区间的积分值区间的积分值（即函数波形的净面积）为零值。（即函数波形的净面积）为零值。t),(信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB表示重积分的次数。的阶数，为负整数时，为正整数时，表示求导和式中，为整数以进一步推广为：卷积的微积分性质还可jijijithtxtyjiji,)()()()()()(dfKdKfKtftfKtfK)()()()()(

39、152义，可得解：直接应用卷积的定的卷积积分。与函数计算常数例杜阿密尔积分即例如：)()( )()()( )()( )()()() 1(tstxtytstxthtxthtxty为整数此性质可以推广为：ithtxtyii)()()()()(当 i 为正整数时，表示求导数的阶数，当 i 为负整数时，表示求重积分的次数。注意：注意： 此例不满此例不满足卷积微足卷积微积分性质积分性质的条件。的条件。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.5.3 含有冲激函数的卷积)()()()()(ttxdtxtx)()()()()()()()(0txtxdtxtxtttx)()()()()(111

40、ttxdttxtttx根据信号的时域分解以及卷积的定义，有根据信号的时域分解以及卷积的定义，有或者利用卷积的交换律及冲激函数的筛选性质，有或者利用卷积的交换律及冲激函数的筛选性质，有冲激函数的重现性质冲激函数的重现性质以及以及返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB利用微积分性质还可以得到利用微积分性质还可以得到tdxttxtxttx)()()()( )( )(推广到一般情况，有推广到一般情况，有)()()()()()(1)(1)()()(ttxtttxtxttxiiii2.5.4 卷积的时移)()()(thtxty若若)()()()()(000ttythttxtthtx则则

41、为实常数0t)()()()()()()()()()()(00000ttytttyttthtxttthtxtthtx证明：同理同理)()()()()(211221tttytthttxtthttx信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)(tfT)(1tf22tA22tTTT2T2A)(tT(1)tTTT2T20利用卷积的重现性质可以通过卷积运算产生周期信号：利用卷积的重现性质可以通过卷积运算产生周期信号：nTnTtt)()(nnnTTnTtfnTttfnTttfttftf)( )()()()()()()(1111信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB利用卷积的性质能

42、大大简化卷积计算)()(cos1 )(cos)(sin)(sin)(sin)()(sin)( )(sin)()( )(sin)()(0ttttttttdttdtdttttttttttthtxt解：)()(),()( )(),(sin)(252thtxttthtttx试求：已知例信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-5-32-5-3： 。试求，已知)()()2()()(),()(thtxttthtetxt)2()()2()()()( )()()()1()1()1()1(txtxtttxthtxthtx解：( 1)00( )( )( )( )(1) ( )ttttxtede

43、dtetet )2(1 )()1 ()2()()()()2()1()1(tetetxtxthtxtt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-5-42-5-4： 0)()(thtx23-1-2At-221A)(tx0)(th(1)(1)tt0。试求如图所示，冲激响应已知系统输入)()()(),(thtxthtx解：解： 信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-5-52-5-5： 。试求如图所示，冲激响应已知系统输入)()()(),(thtxthtx解：解： 12)(txt020)(tht11(2)( txt0(2)20)()1(th2t) 1(2)(2)()( )()()()1()1()1(thththtxthtxty-4420)(ty-2t213 4)(2) 1(th) 1(2) 1(th信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例：x(t)和和h(t)分别分别如图所示，试求如图所示，试求 x(t)*h(t) 。)()(Tttx-2T0At02