2020年广西南宁市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)

1、2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）1. 已知集合； ,了 一、-；.0，1, 2, ；,则 h - : 1A. ' 1，B. ' 1，2， ：C.卜L0，1，.D. f . 0，1，2，:2. 设复数Z满足r-；.i,贝UA.B.C.D.3. 的展开式中含.的系数为A. '：B. 80C. 10D. I4. 某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日 日 共10天 他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.14WImOI(W00joo0IId (9fl Wt站

2、L:徜 24 0 IJdi fl *IA R Y-d t4tf 比删eg4GJ30 QS2Q0% tgo%根据组合图判断，下列结论正确的是-A. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B. 前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D. 这10天学生在线学习人数在逐日增加5. 已知各项不为0的等差数列的前n项和为' ,若一"_：,贝U；（3览A. 4B. 162C. 9D. 12 6.若函数二叫m E,且 Trl的值域为f?Ilv < - < ,则函数：；Im 的图象是

3、第20页，共16页8.A.7.的周长为8 ,则a为 IA. IB. 2D. 4某同学在课外阅读中国古代数学名著孙子算经时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图 执行此程序框图, 则输出的a的值为A. 13B. 18C. 23D. 28L I41a-5n3 -+l9.如图，在正方体 JUC 八中，M , N分别为AC, "N的中点，则下列说法错误的是 IA. 平面 IB. 八丄4£C. 直线MN与平面ABCD所成角为D. 异面直线MN与所成角为10.已知双曲线E 的右焦点为F,以为原点为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点()A. 4B. 2M , N异于点l

4、若一，则双曲线E的离心率为4 C.7"Tr11.已知函数 =win(j +/0) 的图象经过点(护),一条对称轴方程为H =話则函数 的周期可以是IA. IB.C.D.12.已知函数：，则当时，函数昏= .m7 的零点个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共 4小题，共20.0分）13.已知向量F r L，向量h_| J迂，贝U与，的夹角大小为14.某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测:甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上;丙说：丁被选上；丁说：丙被选上.若这四人中有且只有 2人

5、说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 15.已知数列 ；中，：K 一疋，且对于任意正整数m, n都有 J 一 w ,则数列的通项公式是.16.如图，正方形 ABCD中，E, F分别是BC, CD的中点，沿AE , EF , AF 把这个正方形折成一个四面体，使B, C, D三点重合，重合后的点记为若四面体丁L外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为三、解答题（本大题共 7小题，共82.0分）17. 如图，在平面四边形 ABCD中,厶-,出曲二二/的平分 线与BC交于点E,且，.I求 ZYim及 AC；若 丨，求四边形ABCD周长的最大值.18. 红铃虫小；ZMTF是棉花的主要害虫之一，其产

6、卵数与温度有关.现收集到一 只红铃虫的产卵数个 和温度 的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型 ,-分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图 2所示的残差图.<-L40I2OOO604G30- tO- -WII1» 20 22 24 26 静 3< 32 初 flj:K2片神按应啲疲败!Ifil产卵戰啟点阳根据收集到的数据，计算得到如表值:Xl*7口册-J-）2I（t Sj -刃（樹一加）i-LS52（加_站）（鱼-G252.8964616842268848.4870308_ I 表中.壮I靶；讣；£=1I根据残差图，比较模型

7、、：的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；.根据中所选择的模型，求出y关于X的回归方程 系数精确到，并求温度为：I 时,产卵数y的预报值.参考数据L 花,：乔，"=J'/',最小二乘估计分别为附：对于一组数据，I ,其回归直线的斜率和截距的19. 如图，在四棱锥门 中，四边形 ABCD是等腰梯形，：，ZJwC= 120 ,三角形SAB是等边三角形，平面 SAB丄平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点.I求证：平面平面SEF;.若,求直线SF与平面SCD所成角的正弦值.Dfi20. 已知函数：-?：，其中e是自然对数的底数.喏，证明：;若 m - Y 时，都有F

8、；、工孑？：一门,求实数a的取值范围.21. 已知抛物线C:护：一 E，过点且互相垂直的两条动直线', 与抛物线C分别交于P,Q 和 M , N .I求四边形MPNQ面积的取值范围；.记线段PQ和MN的中点分别为E, F,求证：直线 EF恒过定点.22. 在直角坐标系XOy中，已知曲线：；I为参数，曲线：=2亠旳Cozs偽>/ = I *>i为参数，且 -jr.点P为曲线 与，的公共点.I求动点P的轨迹方程；I的极坐标方程为.在以原点0为极点，X轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线- , j'. J I： i ,求动点P到直线I的距离的取值范围.23.已知a, b,

9、 C都为正实数，且r-m：；.证明:-. - I - I ： ； ;（I-X-a J b 3 C TJ答案与解析1答案：A解析：解：由集合.-. < . -.- =_二.1,所以U l =孔1,.故选：A.求出集合A,由此能求出r .本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题.2.答案：B解析：解:故选：B.把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3.答案：A解析：解：展开式的通项公式为Cm川，令；，得展开式中.的系数为烤斗一裁=一旣.故

10、选：A.根据二项式展开式的通项公式，令X的指数为3,求出展开式中的系数.本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题.4. 答案：D解析：解：对于A,由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后 5天的小，故方差也小，故 A 错误对于B：前5天的增长比例极差约为谡=L:隅,后5天增长比例极差约为i% -它；氾-為故B错误；对于C由折线图很明显，：的增长比例在下降，故 C错误；对于D ：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D.根据图象逐一进行分析即可本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识.5. 答案：C解析：解：由题.盘2 Qg°

11、2Oj(Ij故选：C.利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出.本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题.6.答案：A解析：解：JkQ；, 若函数汀=辭脸涉.：，且的值域为鬧I,当.时，数 Lt?. .r''1乜.：,为减函数，当时，数，为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A根据指数函数的图象和性质求出. _ ,利用对数函数的图象和性质进行判断即可.本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a的取值范围是解决本题的关键.7.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的

12、运用，考查运算能力，属于基础题. 由椭圆的定义可得IA鬥|-卜H抡I =金;，；二匚，匚二,即可得出答案.【解答】1J解：椭圆C：； Ir Ij椭圆的焦点在X轴上，则由椭圆的定义可得I卫二 厂 八厂 厂厂._；.亠汀;的周长巧I + BFl * IEl - BF2 常"，解得，故选B.8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得, I ,得；=,不满足匕；：.，.、 _ ,得；、一 I不满足 Flr, ,1 =,得 = J不满足 一？；，.：= !，得，=-,此时，满足J-；,退出循环，输出a的值为23.故选：c.由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，

13、模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以 及应用意识，属于基础题.9.答案：D解析：【分析】连结BD,. ,可得 ，得到平面 ，判定A正确；证明 平面'I ',得，结合亠二，得 I处判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确； 求出异面直线 MN与 所成角判断D错误.本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知 识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题.【解答】解：如图，连结 BD, I S由M, N分别为AC,的中

14、点，知',而；：.'平面 I ' ' 平面：.帖M平面DDiAi ,故A正确；在正方体中，- 平面.:,则'/ ,V MNAlD,- MN 丄 AB ,故 B 正确；直线MN与平面ABCD所成角等于 I，与平面ABCD所成角等于.一，故C正确; 而.l.Jl为异面直线 MN与.所成角，应为-：，故D错误.故选：D.10.答案：D八TV解析：解:因为OF为直径，点M在圆上，所以 UF. 又 y r由圆的对称性，有所以述F =由渐近线斜率1¾.1 r .,'a 3故选：D.画出图形，结合圆的对称性，求出然后求解双曲线的离心率即可.本小题主要

15、考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学 思想.11.答案：B解析：解：由，G 244C7r则-,当 '一.1 ：；时，一=：.故选：B.直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论.本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数图象和性质等基本知识； 考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想.12.答案：B解析：解：在平面直角坐标系中作出函数；：；- A Azi的图象如图所示.令I - 1:,得.： - i ,则 : ： - 1 或 -当11时，显然存在2个零点，；K当：I时，存在1个零点故函数.， I的零点个数为3.故选：B.先作出函数的图

16、象，然后结合图象即可求解函数的零点个数.本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数 形结合思想，方程思想，13.答案： 1_ - (F b i , 3t解析：解：，且，牙与丁的夹角为.故答案为： .根据向量P. £的坐标即可得出 p-J, |瓦"和的值，从而可得出；-,从而可得出夹角的大小.本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识， 考查运算求解能力，属于基础题.14.答案：丁解析：解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件; 若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误

17、，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件， 所以被选派参加志愿者服务的是丁，故答案为：丁 .逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可.本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题.15.答案：-T解析：解：数列 中，且对于任意正整数 m，n都有.，令“=,得，贝U是首项和公比均为2的等比数列，则.故答案为：.'.利用数列的递推关系式，通过 G = L ,推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可.本小题主要考查数列以及前 n项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求 解等数学能力16.答案：2解析：解：依题意，折叠

18、后的四面体如图1,设正方形边长为a,内切球半径为r,则 m -它，；1;记四面体内切球球心为 0,如图2,r Ir / F .t k'fr： - > I： r"所以* =-;又Ii ,即，所以2 .故答案为：2.画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积.本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间17.答案：解:SinAAEEi =想象能力与运算求解能力.在S汇中，由正弦定理得:AUSitIiJ 2 X sin 12Ir/2:駛： .又二,贝贝齐=于是 "Iu.:所以 或f； 一 :泓

19、r曲疋一 y 密上：丁 一: EF所以- J< - /在中，根据余弦定理得I. _J所以.，令丄匸=；：,=U在 j中，根据余弦定理得（.I,即有 4 一：S <即：所以 Jy二：:J .，当且仅当叭：'/'/时，一成立所以，四边形ABCD周长的最大值为 .；.解析：在 m 中，由正弦定理可求-.1 ,的值，又 XdJ二,可求 虑.F =匚对利用三角形的内角和定理可求 二二二的值，进而可求；7的值，可得.；.r 一，在 -J中，根据余弦定理即可解得 AC的值.令.， ，在 I I中，根据余弦定理，基本不等式可求匕二，即可求解四边形ABCD周长的最大值.本小题主要考查

20、正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算 求解等数学能力，属于中档题18. 答案：解：应该选择模型：由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型,带状宽度窄，所以模型：的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型：比较合适.令 E , Z与温度X可以用线性回归方程来拟合，则 £ _ .,匸也一 7fi=l- -' ' _ .,则Z关于X的线性回归方程为：.I、.于是有：' '.,1'.,！，产卵数y关于温度X的回归方程为，当.；时，个.在气温在：丨时，一个红铃虫的产卵数的预报值

21、为250个.解析： I由模型 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，说明模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；令* - g , Z与温度X可以用线性回归方程来拟合，贝U _ ,.,由已知数据求得与.的值,可得产卵数y关于温度X的回归方程，取 才=2；求得y值得结论.本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力 和应用意识，是中档题.19. 答案：I证明： 平面 粹平面ABCD ,平面-平面- 平面SAB,辽 I八* ,. 平面ABCD 又，一平面ABCD,连接BD, . . , F分别为AB, AD的中点

22、，J 又- ,½ -，. BDC = Q,得 BD 丄 CTz又,. / 又 &£"£一.， 平面 SEF.又.平面 SCD,平面,_L.平面 SEF;解：过E作，贝y ES, EF, EN两两垂直,故可如图建立空间直角坐标系.在，：'； .'. .中，求得,：则：I 0,：,设平面SCD的法向量为,7? * SD = * + V5z = O由；,可取帚=(UNJ) Tr S( =色工 + _ y "5 龙=U2 2s故SF与平面SCD所成角的正弦值为解析：由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面ABCD ,进一步得到琢m

23、,连接BD ,得 再证明， -,结合二心潭主T ,得LFI.总只再由直线与平面垂直的判定可 得 平面.一进一步得到平面 . 平面SEF;过E作工门 ,则ES, EF, EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系求出平面 SCD的法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值.本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理 立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化 归与转化等数学思想，是中档题.20. 答案：解： 若一，则F【供=护X；,所以引=F - 当- = 1 时，一 ；

24、 当时，：，单调递减；当时，：，单调递增；所以：，在时取得极小值，也是最小值.所以；令眇;“：. - ；;一*.：' -L- g ,则原问题转化为訂:j Jl在上恒成立.由：/ .' I ：' ,令-H Glz ,贝、 在f -：上恒成立，所以： I在Phr上单调递增，又.,U当时，和应；H氏：；骯L，所以订：在I丄：上单调递增，所以.，即：，满足题意.:当 一时，因为；在上单调递增，所以.,所以存在' =,使得当I时，°f T八，在 '上单调递减，此时，这与 在 上恒成立矛盾.综上所述，故实数a的取值范围是y%jl.解析： 喏；，则了；纱=F

25、上，所以；，再利用导函数的正负性与函数I的单调性之间的联系即可得的单调性，从而确定Fb）嵌=iL,而，进而得证；构造函数.,则原问题转化为在 上恒成立,然后求导.*Ts,令，,再求导,从而可确定铲在：；:上单调递增，由于，于是分；.，I和.： '1两种情形，讨论函数 討I的单调性，以便求证匸!.：；：“.与O的 关系.本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转 化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题.21. 答案：解：由题意可知两直线，的斜率一定存在，且不等于O.1设：一；： i: 乂：；，：阳|宀，一，则： -己 Hh匚因为联立直线与

26、抛物线的方程，有其中.、一:'计二八:,由韦达定理，有J,j + >2 = 2/'X1S2 = 2fc 2由上可得丨，同理I_/(I+t8 + 则四边形MPNQ=詁2 +薛+右）网+曲+善）则-J * 一 JiNw8i2 + 36 + 40 .所以，当且仅当J = J ,即 h .时，S取得最小值12 ,且当- 时，.故四边形MPNQ面积的范围是Ij.由丨有，沁十,所以PQ中点E的坐标为，同理点F的坐标为于是，直线EF的斜率为则直线EF的方程为：.；$ -丨所以直线EF恒过定点m.解析：两直线,的斜率一定存在，且不等于：.设： ，： IQg3 ,则h :财=1) + UOll联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化 If求解四边形 MPNQ面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可.由I求出PQ中点E的坐标为，同理点F的坐标为1 1求出直线EF的斜率,A- - j得到直线EF的方程，即可求解直线 EF恒过的定点.本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线