绝对值与相反数(基础)知识讲解

1、绝对值与相反数(基础)【学习目标】1 .借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2 .知道间 的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；3 .会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4 .通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.【要点梳理】要点一、相反数1 .定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数.特别地，0的相反数是0.要点诠释：(1) “只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.(2) “0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.(3)相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.(4)求一个数的相反数，只要在它

2、的前面添上“-”号即可.2 .性质：(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).(2)互为相反数的两数和为 0.要点二、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-(-4)=4;若有奇数个时，化简结果为负，如-+-(-4)=-4.要点诠释：(1)在一个数的前面添上一个“ + ”，仍然与原数相同，如+ 5 = 5, + ( 5) =- 5.(2)在一个数的前面添上一个“”，就成为原数的相反数.如(3)就是3的相反数，因此，一(-3) =3.要点三、绝对值1.定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离

3、叫做这个数的绝对值，例如 +2的绝对值等于2,记作|+2|=2 ; -3的绝对值等于3,记作|-3|=3 .要点诠释：(1)绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即对于任何有理数 a都有：a(a0)|a|0(a0)a(a0)(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.(3) 一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.2.性质：（1） 0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数.（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，

4、即任何一个数的绝对值总是正数或0.要点四、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上的位置如图所示，则 avb.（2,法则比较法：疝。两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0:正数大于0负数与0:负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小.3 . 作差法：设a、b为任意数，若 a-b >0,则a>b;若a-b = 0,则a=b;若a-b <

5、 0, a vb;反之成立.a .aa4 .求商法：设a、b为任息正数，右一 1,则a b；若一1,则a b；若一1,则 bbba b；反之也成立.若 a、b为任意负数，则与上述结论相反.5 .倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、相反数的概念1 1 . （2016?益阳）-二一的相反数是（）2016A. 2016B . - 2016 C . D. 一 一20162016【思路点拨】 解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.【解析】解:12016只有符号不同2016的相反数是12016故选

6、：C.【总结升华】 求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.举一反三：【变式】（2015以水）若a与1互为相反数，则|a+1|等于（）A.-1B.0C.1D.2【答案】B类型二、多重符号的化简V 2.化简：(1) - + - (+3) ;(2) -(- | -3| ).【答案与解析】解：(1)原式=-+ - 3= - - 3=3 ;(2)原式=- - - (-3) = +3= - - 3=3 .【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个负号.若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.类型三、绝对值的概念33,求下列各数的绝对值.O11

7、- , -0.3 , 0,3 -11【思路点拨】11, -0.3 , 0,31在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解.【答案与解析】、一 一一 11 " 11万法1：因为11到原点距离是11个单位长度，所以11 11.因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3| =0.3.因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0| =0.1 一31个单位长度，所以2一, 1，一， -一因为 31到原点的距离是2方法2:因为 11 0,所以211211211.2因为-0.3 <0,所以 |-0.3| =-(-0.3)=0.3 .因为0

8、的绝对值是它本身，所以|0| =0因为3。2【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种是利用绝对值的代数意义求解 (如方法2),后种方法的具体做法为：首先判断这个数是 正数、负数还是零.再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零.从而求出该数的绝对值. 类型四、比较大小.比较下列有理数大小:-1 和 0;(2)-2和 |-3|;1 一 1 和 一 ；(4)10.1321111【答案】(1)0大于负数，即-1V0;(2)先化简|-3| =3,负数小于正数,所以-2 <3,即-2v|-3 ;（3）先化简(4)先化简

9、 | 11,0.10.1,这是两个负数比较大小：因为 1 1, 0.1 0.1,而1 0.1,所以1【解析】（2）、（3）、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则.【总结升华】 在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行： 先求两个负数的绝对值， 再比 较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断.举一反三：【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题2】【变式】比大小：56_3-3- ；-|-3.2|-（+3.2）;0.00011000;6 7 ''1.38c-1.384 ;-兀-3.14 .【答案】>二;>><类型五、绝

10、对值非负性的应用 揖 一 _ 5.已知 |2-m|+|n-3|=0,试求 m-2n 的值.【思路点拨】由I a| > 0即绝对值的非负性可知，|2-m | > 0, | n-3 | > 0,而它们的和为 0.所以 | 2-m | = 0, |n-3| = 0.因此，2-m = 0, n-3 =0,所以 m= 2, n = 3.【答案】解：因为 |2-m|+|n-3|= 0且|2-m| >0, |n-3| >0所以 |2-m| =0, |n-3| =0即 2-m=0, n-3 = 0所以 m= 2, n=3故 m-2n=2-2 X3=-4 .【解析】由I a | &

11、gt; 0即绝对值的非负性可知，| 2-m | >0, | n-3 | > 0,而它们白和为0.所 以 I 2-m | = 0, |n-3| =0.因此，2-m=0, n-3 =0,所以 m= 2, n=3.【总结升华】 若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于 0,即|a|+|b|+ +|m|=0时，贝U a= b= -= m= 0.类型六、绝对值的实际应用Ce.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数.检测结果（单位：克）：-25 ,+10,-20, +30, +15,-40.裁判员应该选择哪

12、个足球用于这场比赛呢？请说明理由.【答案】因为| +10 | < | +15 | < | -20 | V | -25 | V | +30 | V | -40 | ,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好.这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大.【总结升华】 绝对值越小，越接近标准.【变式】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.002L的误差.现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数.检查结果如下表：+0.0018