认识三角形知识点

1、认识三角形1 .三角形有关的概念(1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点.相邻两边组成的角叫做三角形的内角(简称三角形的角)(2)三角形的表示三角形用符号表示，顶点是 A B、C的三角形，记作“ ABC,读作“三角形 ABC。如图7 -4 l ,三角形有三个顶点：A B、C;有三条边：AR BC AC;有三个角：A、 B、 C .图 7 4 - I ABC的三边用a,b,c表示时，A所对的边BC用a表示.B所对的边AC用b表示.C所对的边AB用c表本.2 .三角形的分类三 锐角三角形(

2、三个角都 是锐角)角 直角三角形(有一个角 是直角)形 钝角三角形(有一个角 是钝角)注意：根据角的大小来识别三角形的形状时，一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角是锐角，则三角形是锐角 三角形；若最大角是直角，则三角形直角三角形；若最大角是钝角，则三角形钝角三角形.3 .三角形中边的关系(1)三角形的任意两边之和大于第三边；(2)三角形的任意两边之差小于第三边如图 7 -4 -1 中，a b c,b c a,a c b;c b a,c a b,a b c。注意：在任意给定的三条线段中，当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时，才能组成三角形。例如：有三条线段的长分别为3、4、6因为3

3、+4 >6 ,所以这三条线段能组成三角形.又如：有三条线段的长分别为3、4、8要为3+4 <8,所以这三条线段不能组成三角形.4 .三角形的三种主要线段(1) 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段，叫做三角形的高。如图7 -4 -2 , AD是4ABC的高，可表示为 AD BC或 ADC =90 或ADB = 90 。(2) 中线：在三角形中，连接顶点和它对边中点的线段 ，叫做三角形的中线。如图 7 -4 -3 , AE是4ABC的中线，表示为 BE=EC BE =BC或 BC= 2EC.2(3)角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和这个角的对边相

4、交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形 的角平分线，一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.1如图7-4-4 , AF是 ABC的角平分线，可表本为BAF CAF或 BAF 1 BAC或 BAC 2 CAF .2图 7 4 -4一个三角形中三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点。5 .三角形的高、角平分线、中线的画法(1)三角形高的画法，如图 7-4 -5注意：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高.锐角三角形的三条高交于三角形内部一点.如图7 -4 -5 甲,钝角三角形的三条高交于三角形外部一点.如图7 -4 -5 乙,直角三角形的三条高交于

5、直角顶点.如图7 -4 -5 丙.(2)三角形的中线的画法：将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来，就得到三角形一边上的中线.(3)三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同，可以用量角器。防错档案：画钝角三角形的高容易出错，要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段.6 .面积法解题例如：如图 7 -4 -6 ,在4ABC 中，AB =AC, AC边上的高BD= 10,求 AB边上的高CE的长.解析：由三角形面积公式有：c1八1八Sabc-CEAB-BDAC22因为 AB =AC, BD =10, 所以 CE= BD= 10.名题诠释图I 7 47【例题1】如图7 -4

6、 -7 ，点D是4ABC的边BC上的一点，点E在AD上.(1)图中共有 个三角形；(2)以.AC为边的三角形是 ;(3)以 BDE为内角的三角形是.【解析】(1) AD的左右两侧各有 3个三角形，分别是 ABE ABD EBD ACE .ACD、 ECD左右两侧 组合又形成2个以BC为边的三角形，它彳门是 ABC 4EBC.故共有8个三角形.(2)以AC为边的三角形有 3个，它们是 .ACE、 ACD ACB. (3) 以 BDE为内角的三角形有 2个，它们是 EBD ABD【答案】(1)8 (2)AACE ACtD ACB (3) EBD ABD【点评】 数三角形要注意选择恰当的顺序，做到不

7、重不漏，注意最容易漏掉的是最大的三角形.【例题2】下列三角形分别是什么三角形(1)已知一个三角形的两个内角分别是50°和60° ;(2) 已知一个三角形的两个内角分别是35°和55° ;(3) 已知一个三角形的两个内角分别是30°和45° ;(4) 已知一个三角形的周长为16cm,有两边的长分别是 6cm和4cm.【解析】 确定三角形的形状，应紧扣定义.【答案】(1)锐角三角形，因为三角形内角和为 180。，而两个内角分别是 50。和60。，所以第三个内角是 70。， 即这个三角形是锐角三角形.(2) 直角三角形，同理.(3) 钝角三

8、角形，同理.(4) 等腰三角形.因为第三条边的长为16 -6 -4 =6(cm).【点评】 应全面考虑三角形的边和角的条件，再根据定义判别.【例题3】 下列长度的三条线段能组成三角形的是().A. lcm 、2cm、5cm 9cmC. 5cm 、8cm、15cm 、8cm、9cm【解析】因为1+2<,所以lcm、2cm、的三条线段不能构成三角形因为4+5 =9 ,所以4cm> 5cms 9cm的三条线段不能构成三角形；因为5+8<15,所以5cms 8cms 15cm的三条线段不能构成三角形；因为8+8 >9,所以8cms 8cms 9cm的三条线段能构成三角形.【答案

9、】D【点评】 三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系，即是否满足任意两边之和大于第三边.简便方法 是检验较小的两边之和是否大于最大边.【例题4甲地离学校4km,乙地离学校lkm .记甲、乙两地之间的距离为dkm,则d的取值为()或 5 D , 3< d<5【解析】本题应分两种情况讨论：(1)甲、乙两地与学校在一条直线上；(2)甲、乙两地与学校不在同一条直线上，则构成三角形，可利用三角形三边关系解题.【答案】D【例题5】 如图7-4 -8 ,在 ABC中，1 = 2 , G为AD的中点，延长BG交AC于E. F 为AB上一点，CF AD于H,下面判断正确的有().AD是 AB

10、E的角平分线； BE是4ABD边AD上的 中线；CH为ACDfe AD上的高；AH是 ACF的角平 分线和高线.个 B . 2个 个 D . 4个【解析】由 1= 2知AD平分 BAE (1 AD不是 ABE内的线段，故错， AD应是 ABC的角平分线；同理，BE经过 ABD的边AD的中点 G但BE不是 ABD中的线段，故不正确，正确的说法应是 BG> ABDi AD上的中线; 由于CH AD于H,故CH是4ACD边AD上的高，故正确； AH平分 FAC并且在 ACF内，故 AH是4ACF的角平 分线，同理AH也是4ACF的高，故正确.【答案】B【点评】 三角形的角平分线和角的平分线之间

11、的区别：前者是线段，在三角形的内部，后者是射线，可以无限延 伸.【例题6】在 ABC中，AB =AC, AC边上的中线BD把三角形的周长分为 12cm和15cm两部分，求三角形各边的长， 【解析】 中线BD把三角形的周长分为 12cm和15cm两部分，要分类讨论：（1）当腰长小于底边时， AB +AD =12,如图7-4 -9；（2）当腰长大于底边时， AB +AD =15,如图7-4 -9.图 7 -4 -91【答案】设AB=X ,则有：AD= DC'x .2(1) 若 AB +AD =12,即 X+ -x=12, X=8.2AB =AC =8,DC =4,故 BC= 15 -4=

12、11.此时 AB +AC> BC,所以三角形三边长分别为 8cm, 8cm, 11cm.1(2) 若 AB+ .4D= 15 ,即 X+ X=15, X=10. 2即 AB =AC =10, DC =5,故BC=12 -5 =7 .显然，此时三角形存在，所以三角形三边长分别为10cm , K综上所述，此三角形的三边长分别为 【例题7】 如图7-4 -10 ,是甲、乙、丙、BB4号 dC A E C甲 乙)cm , 7cm8cm, 8cm. llcm 或 10cm, 10cm, 7cm.四位同学画的钝角ABC的高BE,其中画法错误的是 B 二BACAC丙丁7-4-10【解析】 甲图错在把三

13、自形的高线与 AC边的垂线定义相混淆，把“线段” 这一特征，画出的 BE与AC不垂直；丙图错在没有过点 B画AC的垂线,画成“直线” ；乙图错在未抓住“垂线”故不是高；丁图错在没有向点B的对边画垂线.【答案】甲、乙、丙、丁例题8 如图7 4-11 ,在 ABC中，AB=ACAC边上高BD=1QP为边BC上任意一点，PMAB,PNAC,垂足分别为M,N.求PM+PN勺值.【解析】 连接APB, PM PN就转化为 APB和4APC的高，从而由面积法可求得 PM+ PN的值.【答案】 连接AP,由图7-4 -11可知：S ABP S ACP S ABC，r 11-1-即 1ABPM-ACPN-AC

14、BD222因为 AB =AC, BD =10,所以 PM+PN= BD =10.速效基础演练1如图7 -4 -12 ,图中三角形的个数共有().A 1 个 B . 2个个 D . 4个2三角形两边的长分别为lcm和4cru ,第三边的长是一个偶数，则第三边的长是 ,这个三角形是三角形3 如图 7 -4 -13 (1 ) AD BC 垂足为 D,则AD是 的高，= 90 ° ;1(2 ) 若AE平分 BAC ,交BC于E点，AE叫 的角平分线， BAE =-2(3 ) 若AF= FC,贝1!4 ABC的中线是 ;(4 ) 若BC= GH= HF贝U AG>的中线，AH是 的中线。

15、图 7-4-1314 如图 7 -4 -14,在 4AB计， C = 90 , D、E 为 AC上的两点，且 AE=DE CBD = - EBC ,2则下列说法中不正确的是 ().A . BC是4ABE的高B . BE是4ABD的中线C. BD足4EBC的角平分线D. ABE EBD DBC5如图7 -4 -15 ,哪一个图表示 ADA ABCJB41高()ABCD图 7 4-156如果三角形的两边分别为3和5,那么这个三角形的周长可能是（）.A . 15 B . 16 C .8 D . 77下列长度的三条线段，能组成三角形的是 （）.A. lcm , 2cm, 3cmB. 2cm , 3cm

16、, 6cmC. 4cm , 6cm, 8cmD. 5cm , 6cm, 12cm8如图7 -4 -16 ,为估计池塘岸边 A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA =15米，OB =10米，A B间的距离不可能是（）.C的平分线 CD （2）画出AC边上的中线 BM图 7 -4 - 18A . 5 米 B . 10 米 C . 15 米 D . 20 米9如图7 -4 -17 ,在 ABC中，（1）画出画出 ABM的边BM上的高 AH 10如图7 -4 -18 . ABC是周长为18cm的等边三角形，D是BC上一点， ABD的周长比 ADC的周长多2cm,求BQ DC的长。11等腰三角形的周长为 30, 一腰上的中线把其周长分成差为3的两部分，试求腰长.12已知如图7 -4 -19 ,在 ABC中，BE平分 ABC,交AC于点E, DE/ BC, EF/ AB,分另交 AR BC于点D> F, 则BE是 DEF的平分线吗请说明理由.13 在 ABC中，C = 90 ° , BC =6, AC =8, AB =10,求边 AB上的高.知能提升突破1 如图7 -4 -20 ,在 ABC中，已知点 D E、F分别为BG AD CE上的中点，且 S ABC