贵州省贵阳市2020届高三8月月考数学(理)试题

1、贵州省贵阳市2020届高三8月月考数学（理）试题题号一一三总分得分评卷人得分一、选择题 本大题共12道小题。1.n n、，. 一” 17E乂为n个正数Ui,U2,U3,Un的快乐数若已知正项数列an的刖n项的快乐数为，则Ui3n 1数列36-(an 2)(an 1的前2019项和为（2）)2018201920192019A.B.C.D.2019202020181010答案及解析：1.Bi 12根据快乐数定义可得数列 an的前n项和Sn 3n n；利用an与Sn关系可求得数列 an的通项公361式，从而得到 ；-，采用裂项相消法可求得结果an 2 an 1 2n n 1【详解】设Sn为数列an的

2、前n项和n12由快乐数”定义可知：,即 Sn 3n nSn3n 1n当 n 1 时，a1 S14当n 2且n N时，anSn Sn 1 6n 2经验证可知a14满足an6n 2an 6n 2 n N第1页，总21页3636an 2 an 1 2 6n 6n 6 n n 11120192019 2020 2020361 1 1数列的前2019项和为：1-an 2 an 1 22 2 3本题正确选项：B【点睛】本题考查根据 Sn求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前n项和；关键是能够准确理解快乐数”的定义，得到Sn；从而利用an与Sn的关系求解出数列的通项公式2.某几何体的三视图如图所示，则它

3、的体积为（C.D.答案及解析:2.A【分析】由三视图还原几何体，可确定几何体的底面和高，根据棱锥体积公式可求得结果【详解】由三视图可得几何体如下图所示的三棱锥：题答内线订装在要不请派VJ >)> 上一工。 >)> ,、 打】 】 】 C - - - - 韭 - - - - C 】 】 】 八夕第5页，总21页可知AB BC , AB 2BC 2 ,三棱锥的高h 2 线 线 O 订 O 装 O : 号 考:级 班:名 姓核 学O 订 O 装 O 外 内 53在 ABC 中，sin A,cosB一,则1355633A.B. 6565答案及解析：4.4.DcosC=()56

4、f1616C.或D.656565【详解】Qsin AQ Bsin B0,3，cos B 一5A为锐角，又sin Asin B51345cosA1213Q A BC123 _5 416cosCcosAB cosAcosBsin Asin B135 13 565本题正确选项：D【分析】根据B的范围和同角三角函数关系求得sinB,由大边对大角关系可知A为锐角，从而得到 cosA;利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果.1c11-2Vp ABC-Sabch- -ABBCh-33 23本题正确选项：A【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图准确还原几何体，属于常考题型3.若复数z -2i

5、-(i是虚数单位)，则z的共轲复数Z ()1 iA. 1 iB. 1 iC. 1 iD. 1 i答案及解析：3.D【分析】根据复数除法运算法则可化简复数得z 1 i ,由共轲复数定义可得结果.2i 2i 1 i【详解】Q z - 1 i Z 1 i1 i 1 i 1 i本题正确选项：D【点睛】本题考查共轲复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数，属于基础题【点睛】本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.5.等比数列an的各项均为正数，且 a5a6

6、 a4a718,则10g3a 10g3a2 L log3 %()A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+1og35答案及解析：5.B由等比数列的性质可得：a5a6 a4a72a5a6 18 ,所以a5a6 9 .为现。a2aga3a8 a4 a79.5则 log3a log3a2 Llog3a10 1093（010）510g39 10,故选：B.6.二项式（JX l）6的展开式中的常数项为（）xA. 15B. 20C. 15D. 20答案及解析：7. C【分析】根据二项式定理写出二项展开式通项，令x哥指数为零，可求得 r= 2,代入展开式通项可求得常数项66rd ,6 3r【详解】二项式

7、6 1 展开式通项为：Tr 1c； JX 11七次丁xx令6- 0得：r = 2常数项为：12C： 152本题正确选项：C【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式.7.o 线O 订O 装O 外O: 号 考:级 班:名 姓核 学O 线 O 订 O 装 O 内 O一，1 一已知函数f(x) lg(1 x)的7E乂域为 M,函数g(x)的定义域为N,则MAN=() xA. x x 1B. x x 1且 x 0C. x x 1D. x x 1且 x 0答案及解析：7 .D【分析】根据对数型和分式型函数定义域的要求求出集合M和集合N ,根据交集定义求得

8、结果.【详解】由题意得：M x1 x 0 xx1；N x x 0M N x x 1 且 x 0本题正确选项：D【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域的求解，关键是能够明确对数型和分式型函数定义域的要求，属于基础题.8 .某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为 40分钟，铲节课上课的时间为 7:508: 30,课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在 8: 509: 30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间/、少于 20分钟的概率为()A. 1B. 1C. 1D;5432答案及解析：8.B【分析】确定第一节课的上课时间和时长，从而得到听课时间不少于20分钟所

9、需的达到教室的时间，根据几何概型概率公式求得结果.【详解】由题意可知，第二节课的上课时间为：8:40: 9:20,时长40分钟若听第二节课的时间不少于 20分钟，则需在8:50 : 9:00之间到达教室，时长 10分钟 10 1听第二节课的时1用不少于 20分钟的概率为：p -40 4本题正确选项：Br 第5页，总21页【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题9.m 4”是直线x my 4m 2 。与圆x2 y2 34相切”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案及解析:9.A4当m鼻时，可得直线方程，通过点到直线距离公式可求出圆心到

10、直线距离等于半径，可知直线与圆相 3切，充分条件成立；当直线与圆相切时,利用圆心到直线距离等于半径构造方程可求得要条件不成立，从而得到结果【详解】由圆的方程知，圆心坐标为0,0，半径 r = 2-44当m w时，直线为：x -y331030,即 3x 4y 10 0-10圆心到直线距离d 、9 16-4当m ;时，直线与圆相切，则充分条件成立3当直线与圆相切时，圆心到直线距离d4m 2,1 m2八42,解得：m 0或一3则必要条件不成立4综上，m 是直线x my 4m 2 0与圆x2 32y 4相切的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够掌握直线与圆

11、位置关系的判定方法，明确当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径10.已知实数x, y满足约束条件y 2x y 4,则z 3x y的最小值为（x y 14、,m 0或一，必3第35页，总21页A. 11B. 9C. 8D. 3【分析】11.答案及解析:10.C根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解y 3x z在y轴截距的最小值；通过平移直线y 3x可知当直线过 A时，截距取最小值；求出 A点坐标后代入即可得到所求结果【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当z 3x y取最小值时，y 3x z在y轴截距最小由y 3x平移可知，当y 3x z过图中A点时，在y轴截距最小y 2由得：A

12、 2,2zmin 3 2 2 8x y 4本题正确选项：C【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为求解直线在y轴截距的最值,属于常考题型.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创 割圆术”利用 割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的 徽率如图是利用刘徽的割圆术”思想设计的程序框图，则输出的 n值为（）（参考数据：._0 _ , _0 、sin7.5 0.1305, sin15 0.2588)A. 6答案及解析:B. 12C. 24D. 4811.C【分析】根据程序框图运行程序，直到

13、满足s 3.10时输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入 n 6则s 3sin60o速，不满足s 3.10,循环；2n 12, s 6sin 30o 3,不满足 s 3.10,循环；n 24, s 12sin15o 3.1056,满足 s 3.10,输出结果：n 24本题正确选项：C【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果，关键是能够准确判断是否满足输出条件，属于 基础题.12.已知点F1是抛物线C:x2 2py的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过 F2作抛物线C的切线，设其中一个切点为 A,若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（题答内线

14、订装在要不请派VJ >)> 上一工。 >)> ,、 打】 】 】 C - - - - 韭 - - - - C 】 】 】 八夕B. 2,2 1D 6 ' 22答案及解析: 线 O :号 线 O 订 考:订 O 级 班O 装 O 名 姓核 学装 O外O 内O12.C【分析】12 i一人一一，一一一.,由抛物线方程得到 Fl, F2坐标；设切点A x0, X ，利用导数和两点连线斜率公式构造方程可解出X0 ,2p利用抛物线焦半径公式求得 AFi ,勾股定理求出 AF2 ；由双曲线定义可知AF2I |AFi22 1 p 2a,又【详解】由题意得：Fi 0,( , F2

15、,212由 x 2py 得：y 丁 x ,则 y 2 p12一八设A x0, x0 ,则切线斜率 2pk -F1F2 2c p,可求得离心率0,112 pxo1 2p 2 ,解得：xop-xo -pxo 0由抛物线对称性可知，x0p所得结果一致当 x0 p 时，A p,R2由抛物线定义可知：AF1 | |Q A在双曲线上AF2 AF1又EF2 2c p双曲线离心pAF2p2 p2 、2 P、2 1 p 2ae 冬-p2 12a ,2 1 p本题正确选项：C【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到抛物线焦半径公式的应用、过某一点曲线切线的求解、 双曲线定义的应用等知识；关键是能够利用导数和两点

16、连线斜率公式求解出切点坐标，从而得到所需的 焦半径的长度.评卷人得分一、填空题13.本大题共4道小题若 f (x)2，,a 是奇函数，则a=2x 1答案及解析:13.1【分析】根据奇函数在x 0处有意义时f 0 0可构造方程，解方程求得结果 .【详解】Q f x为奇函数且在x 0处有意义f 0 a 1 0,解得：a 1本题正确结果：1【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，常采用特殊值的方式来进行求解，属于基础题14.,r rjv eV 后 r , r , 一已知a , b均为单位向量，若 a 2b| J3,则a与b的夹角为.答案及解析：14.3, V ,.V R ， ， 一，一 r

17、 ， 由者2b J3,根据向量的运算化简得到r rv【详解】由题意知，a, b均为单位向量，且a1一，再由向量的夹角公式，即可求解22b 6r r 2 r r则 a 2b (a 2b)2r rr ra b所以 cos、a,b；r, ra| br2 r r r2 a 4ab 4b1因为v vv,b 0,所以则a与b的夹角为一.3r rr r1 4ab 4 3,解得 a b v v,所以v,b【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中根据向量的基本运算，r r 1求得a b 1,再利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题215.在四面体A

18、BCD中，若AB CD 55 , AC BDJ6, AD BC 3,则四面体ABCD的外接球的表面积为答案及解析：15.10 兀题答内线订装在要不请派四面体ABCD外接球表面积：S 4 R2 10【分析】根据四面体对棱长度相等可知其为长方体切割所得，各棱为长方体各个面的对角线，可知四面体外接球 即为长方体外接球；根据长方体外接球半径为体对角线长度一半，求得体对角线长度即可得到外接球半 径，代入球的表面积公式即可求得结果 .【详解】由题意可知，四面体 ABCD是由下方图形中的长方体切割得到，A,B,C,D为长方体的四个顶点，则四面体ABCD的外接球即为长方体的外接球设长方体长、宽、高分别为a,b

19、,ca2 c2 6则 b2 c2 5a2 b2 c2 102.2-a b 9即长方体体对角线长度为：10长方体外接球半径为体对角线长度一半，即R邈2本题正确结果：10【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够根据四面体对棱相等的特征，将其变为长方体的一个部分，从而将问题转化为长方体外接球表面积的求解问题16.1 1数式11 中省略号“代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式 x ,1 -1则x，则t2 t 1 0,取正值得t ，5.用类似方法可得J242 7"" .答案及解析：16.4【分析】根据类比的方式，设原式t ,构造方程2 JT t

20、,解出t的值即可.【详解】令原式 t ,则2 / t，解得：t 4,2 ；2 .4本题正确结果：4【点睛】本题考查类比推理的应用，关键是能够准确理解已知中的式子的形式，属于基础题评卷人 得分二、解答题本大题共7道小题17.ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知2bcosB acosC ccosA.(1)求/ B的大小；(2)若b 2,求ABC面积的最大值.答案及解析：17. (1) ； (2)点.3【分析】(1)利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得一 1cosB -,根据B 0,可求 2得结果；(2)利用余弦定理可得a2 c2 ac 4,利用基本不等式可

21、求得ac max 4 ,代入三角形面积公式可求得结果【详解】（1）由正弦定理得：2sin BcosB sin AcosC sinCcosA sin A Csin A C sinB,又 B 0,sin B 02cosB1,即 cosB由B 0,得：B -3(2)由余弦定理b2a2 c2 2accosB 得：a2 c2 ac 4又a2 c2 2ac (当且仅当a c时取等号)/224 a c ac 2ac ac ac即acmaxO 线O :号O 线O 订 O 装 考: 级 班:名 姓核订 O 装 O 学O 外O 内O三角形面积S的最大值为：1 4sin B J32【点睛】本题考查解三角形的相关知识

22、，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型18.22己知椭圆C：x- y i(a b 0)的离心率为 , a2 b22点Fi到双曲线巳y2 1渐近线的距离为. 23求椭圆C的方程；(2)直线l: y kx m k 0与椭圆C交于A, B两点，直线l的距离为 空,求直线l的方程. 5答案及解析：X22118.(1)5 y 1 ; (2)y -x 1.【分析】(1)利用焦点F1到双曲线渐近线距离为 亚 可求得c ; 3即可得到所求方程；(2)由原点到直线l距离可得m2LLILV UUV得到韦达定理的形式；根据圆的

23、性质可知AF2 BF2 (F1, F2分别是椭圈C的左、右焦点，椭圆 C的焦以线段 AB为直径的圆经过点 F2,且原点。到根据离心率可求得a ；由b2 a2 c2求得b2后4 , 2-k 1 ；将直线方程与椭圆方程联立，整理5,由向量坐标运算可整理得 3m2 4 km 1 0,【详解】(1)由题意知，F1c,0 , F2c,0双曲线方程知,其渐近线方程为:y、2x2焦点F1到双曲线渐近线距离:d -c33,解得：c 13由椭圆离心率c 2 /日e 得:a 2a 2222b a c 1从而构造出方程组，结合 k 0求得结果.2椭圆C的方程为：y2 12.、m2x/5 ,一 2 4 2(2)原点。

24、到直线距离为：, 乌5,整理得：m2 4 k2 1*2 155设 A Xi, yi , B X2,y22x 2 d由万y 1得:y kx m1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 016k2m2 4 1 2k2 2m2 20,即：2k2 m2 1 04km2m 2K x22， *x2221 2k21 2k2uuuv uuvQ以AB为直径的圆过点F2AF2 BF2 0又 F2 1,0uuuvuuuvAF21 xV1 ， BF21 x2，V2uuuv uuuvAF2 bf2V1V21x1x2kx1m kx2 m2k 1 x1x2km 1 x1 x22m2 2 k2 11 2k24km km 122

25、 m 11 2k223m 4km 11 2k2即：3m2 4km 1 02421m k 1k由 5且k 0得：2 ,满足-23m 4 km 1 0m 1_ 222k m 1 0，八、一1直线l万程为：y - x 12【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题,涉及到椭圆标准方程的求解、点到直线距离公式的应用、垂直关系的向量表示等知识；解决此类问题的常用方法是将直线与圆锥曲线方程联立，整理得到一元次方程，进而利用韦达定理表示出已知中的等量关系，得到所需的方程19.2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%,创造了人类

26、减贫史上的的中国奇迹 .贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表：题答内线订装在要不请派O 线 O :号O 线 O 订 考:订 O 级 班O 装 O 名 姓核 学装 O 外O 内O年份(t)2012201320142015201620172018贫困发生率y(%)10.28.57 25.74.53.11.4(1)从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；(2)设年份代码X t 2015,利用线性回归方程，分析 2012年至2018年贫困发生率y与年份代码x的相关情况，并预测 2019年贫困发生率.附：回归直线?

27、ibX夕的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:XiyiXinxyi nX y二1,? y t?X （i?的值保留到小数点后三位）2 2X nXi 1答案及解析:119. (1) -; (2)回归直线为：?1.425X 5.8； 201下降1.425%; 2019年的贫困发生率预计为0.1%j018年贫困发生率逐年下降，平均每年【分析】(1)分别计算出总体事件个数和符合题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式求得结果；(2)根据表中数据计算出最小二乘法所需数据，根据最小二乘法求得回归直线；根据回归直线斜率可得贫困发生率与年份的关系；代入 X 4求得2019年的预估值.【详解】(1)由数据表可知，

28、贫困发生率低于5%的年份有3个从7个贫困发生率中任选两个共有：C72 21种情况选中的两个贫困发生率低于25%的情况共有：C3 3种情况所求概率为：(2)由题意得:10.2 8.5y p 一 21Xi小0；7.2 5.7 4.5 3.1 1.45.8；3 10.2 2 8.5 7.2 0 4.52 3.1 3 1.439.9;20. (1) x| 3 x 7 ；(2),9 .【分析】(1)分别在x 1、1x 5、x> 5三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；(2)将不等式变为a fx x227 ,令g x f x x 7 ,可得到分段函数 g x的解析式,分别在每一段上求

29、解出 g x的最小值，从而得到 g x在R上的最小值，进而利用 a g x min得到结题答内线订装在要不请派7xi2 9 4 1 0 1 4 9 28i 1o 39.9b? 1.425, <? 5.8线性回归直线为：?1.425x 5.828Q 1.425 02012年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425%当 x 2019 2015 4时，y 1.425 4 5.8 0.12019年的贫困发生率预计为 0.1%【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、最小二乘法求解回归直线、利用回归直线求解预估值的问题，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型20.设函数 f

30、(x) x 1 x 5 ,x R.(1)求不等式f(x) 10的解集；(2)如果关于x的不等式f(x) a (x 7)2在R上恒成立，求实数 a的取值范围.答案及解析：果.【详解】(1)当x 1时，f x x 1 5 x 4 2x 10,解得：3 x 1当1 x 5时，f xx 1 5 x 6 10,恒成立当 x5时，f x x 1 x 5 2x 4 10,解得：5x7综上所述，不等式 f x 10的解集为：x 3 x 72 一一_ 2(2)由 fx a x7 得：a f x x 74 2x,x 1由（1）知：f x 6, 1 x 52x 4,x52 x16x53, x 1令gx f x x

31、722x14x55, 1 x52 x12x45,x 5当x1 时，g x .ming 170当1x 5时，g xg 510当x 25时，g x . ming 69综上月f述，当x R时，g x min9Qag x恒成立a gxmina,9【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立 问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过 分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值 21.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA PD, DAB 60o.(1)证明：AD PB ；(2)若PB J

32、6, AB PA 2 ,求直线PB与平面PDC所成角的正弦值答案及解析:21. (1)证明见解析；(2)、105(1)取AD中点E ,连接PE , BE,易知ABD为等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可证彳# AD BE , ADPE ;由线面垂直判定定理可知 AD 平面PBE ;根据线面垂直的性质可证得结论；（2）以E为原点建立空间直角坐标系，首先求得平面 PDC的法向量，根据直线与平面所成角的向 量求法求得结果.【详解】（1）证明：取AD中点E ,连接PE, BE , BDQ四边形ABCD为菱形AD AB又 DAB 60oABD为等边三角形，又 E为AD中点AD BEQ PA AD

33、, E 为 AD 中点 AD PEQ BE, PE 平面 PBE , BE PE EAD 平面PBE又PB 平面PBE AD PB（2）以E为原点，可建立如下图所示空间直角坐标系:由题意知：ADAB 2，AE 1, pe VPA2AE2.3BEPB2 PE2 .3B 0函,0 , D 1,0,0 , C2, 3,0题答内线订装在要不请派uuv -PB 0, .3,一 uuv UULv如,DP1,0, V3 , DC1,.3,0设平面PDC的法向量vx, y, zUULv v-DP n x . 3z 0 uuuv vDC n x 、.3y 0v .3,1, 1VJ >)> 上一工。 >)> ,、 打】 】 】 c - - - - 韭 - - - - c 】 】 】 八夕设直线PB与平面PDC所成角为O 线 O :号O 线 O 订 考:订 O 级 班O 装 O 名 姓核 学装 O外O 内Osinuw vPB nuuvPB v2,3J06 .55即直线PB与平面PDC所成角的正弦值为： 叵5【点睛】本题考查立体几何中的线线垂直关系的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到线面垂直判定与性质定理的应用、空间向量法求解立体几何中的线面夹角问题等知识；证明线线垂直关系的常用方法是通过线面垂直关系，根据线面垂直性质证得结论22.已知f (x)