专题4：圆与相似(含答案)

1、专题：圆与相似(1)1如图，AB是©0的直径，弦CD丄AB于H点G在OO Jl9过点G作直线EF,交CD延长 线于点E,交AB的延长线于点F.连接AG交CD于K.且KE = GE(1) 判斷直线EF与C)O的位置关系，并说明理由;U Q(2) 若 ACEF, = -, FB = 1,求Oo 的半径AC 52.如图，PB为C)O的切线，B为切点，直线Po交。于点E, F,过点B作Po的垂线BA,垂 足为点D,交00于点A,延长Ao与OO交于点C,连接BC, AF.(1) 求证：直线PA为G)O的切线；(2) 试探究线段EF, 0D, OP之间的等量关系，并加以证明：(3) 若BC =

2、6, t anF=l,求CoSZACB的值和线段PE的长.23.如图所示，AB是00的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD丄AB于点D, CD交AE于点F,过C作CGAE交BA的延长线于点G.连 接OC交AE于点H。(1) 求证：GCdOC.(2) 求证：AF=CF.(3) 若ZEAB=30o , CF=2,求 GA 的长.4.如图.在AABC, AB=AC,以AB为直径的C)O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长 5.如图.QO的弦AB二8,直径CD丄AB于M, OM : MD =3 : 2, E是劣弧CB上一点，连结 CE并延长交CE的延长线于点F.线上，且ZCBF= i

3、 ZCAB.2(1)求证：直线BF是C)O的切线:(2)若 AB=5,SinZCBF=55求BC和BF的长.求：(1) 00的半径：(2)求CE CF的值.6.如图，已知在AABP中.C是BP边上一点，ZPAC=ZPBA, 00是ZkABC的外接圆，AD是 00的直径，且交BP于点E.(1) 求证：PA是G)O的切线；(2) 过点C作CF丄AD,垂足为点F.延长CF交AB于点G,若AG7AB=12,求AC的长；(3) 在满足(2)的条件下，若AF: FD=1: 2, GF=I,求00的半径及SinZACE的值.7.如图，在ZkABC中，ZC=90o , AC=3, BC二为BC边上一点，以0

4、为圜心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E,连 接DE.(1) 当BD=3时，求线段DE的长；(2) 过点E作半圆0的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F.求 证：AFAE是等腰三角形ADC D O B8.如图，在ZABC中，ZC=90o , ZABC的平分线交AC于点E,过点E作 BE的垂线交AB于点F, 00是ABEF的外接圆.(1) 求证：AC是00的切线；(2) 过点E作EH丄AB,垂足为H,求证：CD二HF;(3) 若CD=1, EH=3,求BF及AF长.9.如图.BD是C)O的直径，OA丄OB, M是劣弧 上一点，过点M作OO的切线MP交OA的延长线于P弦DE丄A

5、B分别交GlO于E,交P点，MD与OA交于N点.(1) 求证：PM=PN;(2) 若BD=4, PA= A0,过点B作BCMP交Oo于C点，求BC的长.10.如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图.其中点B在半國0 的直径DE的延长线上，AB切半圆0于点F,且BC=OE.(1)求证：DE/7CF;(2) 当0E=2时，若以0, B, F为顶点的三角形与AABC相似， 求OB的长；(3) 若0E=2,移动三角板ABC且使AB边始终与半國0相切，直 角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离.11.如图，AB. AC分别是00的直径和弦，点D为劣弧A

6、C上一点,AB于H,交AC于F. P是ED延长线上一点且PC=PF.(1) 求证：PC是OO的切线：(2) 点D在劣弧AC什么位置吋，才能使AD2=DE7DF,为什么(3) 在(2)的条件下，若0H=1, AH二2,求弦AC的长12.如图，在AABC中，ZABC=90° ,以AB的中点0为圆心.OA为半径的圆交AC于点D, E 是BC的中点，连接DE, OE.(1) 判斷DE与OO的位置关系，并说明理由:(2) 求证：BC=CD720E;(3) 若 cosZBAD二，BE=6,求 OE 的长.专题：圆与相似答案1. (1)相切，理由见解析；(2) 4.(1)如图，连接OG.VOA=O

7、G, ZOGA= ZOAG.TCD丄AB, ZAKH+Z0AG=90o VKE = GE, ZKGE=ZGKE= ZAKH. ZKGE+ ZOGA= ZAKH÷ ZOAG=90° AZOGE=90° ,即 OG 丄 EF.51VG在圆0上，EF与圆0相切.(2) VAC/7EF, AZF=ZCAH,RtZkAHCs RtFGO. = AC OFAH 3T 在 RtOAH 中，-一=-,设 AH=3t,則 ACAC 5= 5t, CH=4t.CH 4. OG 4 = . =.AC 5 OF 5VFB=I -2SL = -,解得:0G=4.0G + 15圆0的半径为4

8、 考点：1等腰三角形的性质；2.切线的判定；3.相似三角形的判定与性质.3102. (1)证明见解析；(2) EF2=40D70P,证明见解析；(3)二，一53【解析】试题解析：(1)如图，连接OB,TPB是00的切线， ZPBO=90°VOA=OB, BA丄PO 于 D, AD=BD, ZPOA=ZPOB.又VPO=PO, PA0PB0 (SAS) ZPAO二ZPBo=90° 直线 PA 为00 的切线.(2) EF2=4OD7OP,证明如下:V ZPAO=ZPDA=90o , ZOAD+ZAOD二90。, ZOPA+ZAOP二90° ,即 OA2=OD?OPO

9、A又 VEF=20A, EF2=40D?OP(3) VOA=OC, AD=BDf Be二6, OD= - BC=32(三角形中位线定理)设 AD=x,) 1VtanZF=-,FD=2x, OA=OF=2x - 3.FD 2在RtAOD中，由勾股定理，得(2x - 3)2=x2+32,解得，xf4, x2=0 (不合题意，舍去)AD=4,0A=2x - 3=5.TAC 是OO 直径，ZABC二90° RC' 63又 VAC=20A=10, BC=6, AcosZACB=一AC 10 5V0A2=0D70P, 3 (PE+5) =25.-E=T-3.试题解C析：(1 )证明：如图

10、，连结oc,VC是劣倂弧AE的中点， OC 丄 T3 AE,V CG /x丿AE, CG 丄OC,CG是GlO的切线;(2) 证明：连结AC、BC,TAB是0的直径, ZACB=90° ,Z2÷ZBCD=90o ,而CD丄AB,ZB÷ZBCD=90o ,ZB=Z2,VAC 弧=CE 弧, Z1 = ZB,Z1 = Z2,AF=CF:(3) 解:在 RtADF 中，ZDAF=30o , FA=FC=2, DF=I AF=I,2AD=3DF=3 ,VAFZ/CG,DA: AG=DF: CFf 即 : AG=I: 2,AG=23 4. (1)证明：连接 AE, VAB

11、是C)O 的直径. ZAEB=90o , Z1 + Z2=90o TAB=AC Z1 = 1 ZCAB. V ZCBF=I ZCABt Zl = Z22C(2)过点C作CG丄ABCBF, Z CBF+Z 2=90° ,即 ZABF=90° , 是00的直径，直线BF是00的切线.G. VSinZCBF=55Zl = ZCBF,55T 在 RtAEB 中，ZAEB=90o , AB=5,BE=AB?SinZ1 二 J5 VAB=AC, ZAEB二90° , BC=2BE=25 ,在 RtABE 中，由勾股定理得AEdAB-BEJ2屈25焉琴,c°sZ2晋半

12、在RtMBG中,可求得 GC=4 , GB=2 , AG=3 , T GC /7 BF , AGC s ABFCL GC AB 20BF= 一 AG 3.GC AG BFeAB考点：1 切线的判定与性质：2.勾股定理；3.圆周角定理：4.相似三角形的判定与性质:5. 试題解析：(1)如图，连接A0,VOM : MD=3:2, 可设 0M=3 k, MD=2 k (k >0),则 OA=OD=5 k. 又T弦AB=8,直径CD丄AB于M, AM=4.在Rt0AM中，由勾股定理可得：k=1圆0的半径为5(2)如图，连接AE,由垂径定理可知：?AEC=?CAF,A Q?又 V?ACF=?ACF

13、t ACEs?FCA.空_ =上，即 AC2=CE?CFCF AC在RtACM中，由勾股定理可得：ACJAM'+CMJ16+64=80 , CE7CF=80.6.解：(1)证明：连接CD,TAD 是0 的直径, ZACD=90°。 ZCAD+ZADC=90° 。又/ Z PAC二 ZPBAf Z ADC= Z PBA, ZPAC=ZADCo ZCAD+ZPAC=90o O PAdOAo又TAD是00的直(2)由(1)知，又TCF丄AD, CF 51V ZPAC=ZPBA,5C V ZCAG=ZBACt 2 = AG ,即AB AC径，PA是00的切线。PA 丄 AD

14、,PA。 ZGCA=ZPACo. ZGCA=ZPBAOCAGBACoAC2=AG?ABoAC=12o AC=23 oY AG7AB=12 ,设AF=x,VAF: FD=1: 2, FD=2×o AD=AF+FD=3x<> 在 RtACD 中，TCF丄AD, AC2=AF?AD,即 3x2=12o 解得：x=2oAF=2, AD=6。,.OO 半径为 3。在 RtAFG 中，VAF=2, GF=I,根据勾股定理得：AG = JaF + GF' = J22 + , J。由(2)AG7AB=12, AB = -sinZADB=5连接BD,TAD 是00 的直径, ZAB

15、D=90°。AR 在 RtABD 中，VSinZADB=-t AD=6,ADV ZACE=ZACB= ZADB,ASinZACE=7.(1)解:VZC=90o , AC=3, BC二4,AB=5,VDB为直径， Z DEB= Z 090° ,(2)证法一：连接OE, VEF为半圆0的切线, Z DEO+Z DEF二90° , AZAEF=ZDEOt VDBEABCf ZA=ZEDB, 又 VZEDO=ZDEOf ZAEF=ZA,FAE是等腰三角形; 证法二：连接OEVEF为切线，ZAEF+Z0EB=90o ,V ZC=90o ,ZA+ZB=90a ,VOE=OBf

16、 ZOEB=ZB, ZAEF=ZA,FAE是等腰三角形.8.证明：(1)如图，连接OE.VBE±EF, ZBEF=90° , BF是圖0的直径TBE 平分ZABC, ZCBE=ZOBE, VOB=OEt ZOBE=ZOEBt ZOEB=ZCBE,OEBC, Z AEO 二 Z AC是0的切线;(2)如图，连结DE.VZCBE=ZOBEt EC丄BC 于 C, EH丄AB 于 H,EC=EH.VZCDE+ZBDE=180o , ZHFE+ZBDEh80° , ZCDE=ZHFE.在ZkCDE 与 ZkHFE 中，CDEHFE (AAS),CD=HF.(3) 由(2)

17、得 CD=HF, 51 CD=I,HF=1,在 RtHFE 中，EF=yV776,TEF 丄 BE, ZBEF=90° , Z EHF=ZBEF二90° ,V ZEFH=ZBFEtEHFBEF,BF=10,0E=BF=5, 0H=5-1=4,RtOHE 中，CosZEOA=,Ot：.R tEOA 中,COS乙 EoA专,25AF=r5=9. (1)证明：连接OM, TMP是圆的切线.0M丄PM,Z0MD+ZDMP=90o ,TOA 丄 OB, Z OND+Z ODM二90° ,T Z MNP二 ZOND, Z ODM= Z OMD, ZDMP=ZMNPtPM=PN

18、.(2)解：设BC交OM于E,VBD=4, OA=OB=BD=2,PA=3r P0=5:VBC/7MP, OM丄MP,0M 丄 BC, BE=BC:VZBOM+M0P=90o , 在直角三角形OMP中，ZMP0+ZM0P=90° , ZB0M=ZMP0:V ZBEO=ZOMP=90° , ZkOMPs2BEO.解得：BE=, BC=.10. (1)证明：连接OF,TAB切半岡0于点F, OF是半径, ZOFB=90° ,V ZABC=90° , ZOFB=ZABc.OFBC,VBC=OEf OE=OF,BC=OF, 四边形OBCF是平行四边形,DECF:

19、(2)解：若厶 9OT AbOBFSAACB,AOB=V ZA=30o , ZABC=90o . BC=OE=2,AC=4, AB=2J51 VOF=OE=2,4X2°B= 23 = :若厶 BoFSAACB,.OBAC 9affctTZA二30° , Z4X2.0B= A 二4；综上，OB=或4：(3)解：画出移 由图知：点B移动C动过程中的两个极值图. 的最大距离是线段BE的长，ABO二30° , B0=4, BE=2,点B移动的最大距离是线段BE的长为211. (1)证明：连接0C.VPC=PF, OA=OC, ZPCA= ZPFC, ZOCA= ZOAC,VZPFC=ZAFHf DE 丄 A