届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学理试题解析版

1、2016-2017学年河北省唐山市高三年级第二次模拟考试数学(理)试题一、选择题1 .已知集合 A x N|x 3, B x|x a b,a A,b A,则 A B ()A. 1,2 B. 2, 1,1,2 C. 1 D. 0,1,2【答案】D【解析】 由 A x N |x 3, B x|x a b,a A,b A,得 A 0,1,2 ,B 2, 1,0,1,2则 A B 0,1,2 ,故选 D.2 .设复数z满足二1 3i,则z () z 2A. 5 B. .5 C. 2 D. 2【答案】B【解析】由二1 3i ,得z 1 z 2 3zi 6i ,即z 2 i ,则|z 75 ,故选B.3

2、.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（）5 8 96 12777 06A.平均数为64 B. 众数为7 C. 极差为17 D. 中位数为【答案】D【解析】由茎叶图可知：该组数据为58,59,61,62,67,67,70,76 ,平均数为58 59 61 62 67 67 70 7665,众数为67,极差为76 58 18,中位数为62 67 64.5 ,故选D.24. “ x2 5x 6 0” 是 “ x 2” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 由x2 5x 6 0得xx>1或x6, x x;2 x x

3、)1或x 6,故“x2 5x 6 0 ”是“ x 2”的必要不充分条件，故选 B.5. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为(A. 24B. 24 3 C. 24 D. 24 2【解析】由三视图可知：该几何体是以2为边长正方体从右下前方挖去 1个8球，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为122 6 3 -2241-4224,故选 A.6.已知双曲线过点2,3 ,渐进线方程为y则双曲线的标准方程A.7x2162L 112B.2 y3C.D.3y2232123【解析】二.双曲线渐进线方程为_2国，故可设双曲线方程为x2 L3双曲线过点2，3，则4 3，即 1,故双曲线的标准方

4、程是83故选C.7.函数y LZ, x m,n的最小值为0,则m的取值范围是（）x 1A. 1,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2【答案】D【解析】因为f x y马上 1 3在1,上单调递减，且f 2 0,x 1 x 1所以n 2, 1 m 2 ；故选D.8.执行如图所示的程序框图，若输入的n 5,则输出的结果为（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B程 序 框 图n 5, i 1; n 3165 1 16,i 2; n28,i 3；n84,i 4;24n 2,i25； n1,结束循环，输出i值,即5 ；故选B.9.已知且 sin22sin2A. tan3tanB.tan

5、2tanC. 3tantanD.3tan2tan【解析】tantan即tansin2 2sin2sincos3tancos sinrin2sin21. c . c一 sin2 sin223sin2sin23,故选A.10.已知函数cos2x3sin 2x()的图象向右平移一212个单位后关于x在区间,0上的最小值为(2A. 1B.,3D. 2【解析】f x cos 2x、,3sin 2x2sin 2x,将其图象向6右平移万个单位后得:2sin2 x 122sin 2x,由其关于y轴对称,万得2sin2x0, 42x 一332,在区间一 ,02上的最小值为73,故选C.11 .正方体 ABCDA

6、1B1C1D1 棱长为 6,O点在棱BC上,且 BO 2OC ,过 O点的直线l与直线AAi , C1D1分别交于M , N两点，则MNA. 3.13 B. 9.5 C. 14 D.21【答案】D【解析】根据题意作图，由图可知:CiFNCi1AD1ND13NC1 3 ,，FN A ,afJab2 if；2而,EN, EF2FNEFMAiENMN MN 21,故选 D.点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，空间想象能力以及线面平行的判定及性质定理， 准确画出图形是解决本题的关键， 难度一般; 由三角形相似可得NCi 3,由勾股定理可得 NF,AF ,再次利用三角形相 似里里1 ,从而可

7、得结果.MA1 MN 312 .已知f x是定义在R上的可导函数，且满足 x 2 f x xf' x 0, 则（）A. f x0 B.f x 0 C. f x为减函数D. f x为增函数【解析】令g x x2 f x ex，x2x2x xg x 2xf x e x f x e x f x e xe x 2 f x xf x ， x 2 f x xf' x 0,.二当x 0时，g x 0,函数g x单调递增，当 x 0 时，g x0 ，函数g x 单调递减；故g xx2 f x ex g 00即 f x 0 ，故选 A.点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g

8、 x 是解题的关键，本题是一道中档题；构造函数g x x2 f x ex ，结合题意可得函数 g x 在 0, 递增，在,0 内单调递减，可得结果.二、填空题13 . x 2y x y 7展开式中，含x3y5项的系数是 .【答案】49【解析】设 x y 7的通项公式为Tr 1 C7rx7 r y r，5252543434令 r 5 ，T6 C7x y 21x y ，令 r 4 ，T5 C7xy 35x y ，35 49,故答案x 2y x y 7展开式中，含x3y5项的系数是：21 2为49.14 .平行四边形 ABCD中， M为BC的中点，若 ABuuuu AMuuirDB ,则【答案】2

9、9【解析】uuu ABuuuu AMuur DBuuur -AD , 2由图形可得:uur uuu AB AD,2得:uur2AMuuurDBuur3AB ,uuuAB2 uuuu 1 uuur-AM - DB , 3315 .已知椭圆2 x ""2 a272 1(a b0）的右焦点为F 3,0别为A , B ,直线AF交于另一点M ,若直线BM交x轴于点N 12,0 ,则的离心率是【解析】由题意，得A 0,b ,B 0,b ,则直线AM、BN的方程分别为x! 1,1x2 y 1，联立两直线方程，2-得Mgw，则京元1,解得a 6,则该椭圆的离心率为e 3 2点睛：本题的关

10、键点在于理解 M是两条直线和椭圆的公共点， 若先联立直线与椭圆方程，计算量较大，而本题中采用先联立两直线方程得到点M的坐标，再代入椭圆方程进行求解，有效地避免了繁琐的计算量16.在 ABC中，A BC 3, D是BC的一个三等分点，则 AD的3最大值是【答案】3 1【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则 B 3,0 , C -,0 , D 1,0 取点 E,使得 BEC 120°,则 E 点坐 222标为0, . . A , A,B,E,C四点共圆，可得圆的方程为 23x2y立' 3 ,故可设点A坐标为Vscos，' V3

11、sin,0,22623sin4 2、,3sinAD 273cos2AD 24 2# ,故AD的最大值是33 1 ,故答案为阴1 .max点睛：本题考查了解析法的应用、 圆的参数方程及其应用、三角函数求值、辅助角公式，考查了推理能力与计算能力，解题的关键在于求出点A所在的圆的方程，属于难题题；此题利用解析法，根据圆内接四边形所具有的 特征，构造出点A所在的圆的方程，根据参数法的思想可设出点 A的坐标， 根据两点间距离公式将|AD2表示成关于 的三角函数，将题意转化为常见 的三角函数求最值问题.三、解答题17 .数列an的前n项和为Sn, Sn 2n 1 an,且ai 1.（D求数列an的通项公式

12、；（n ）若bn nan ,求数列bn的前n项和Tn .【解析】试题分析：（I）对已知等式Sn 2n 1an利用Sn &1 an化简整理得旦 1n 2 ,进而可推断出数列 an是一个以1为首项，1为公比 an 122的等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案；（n）利用错位相减法求结果.试题解析：（I）由Sn1 an,可得Sn12n 11 an 1 ( n 2 ),两式相减，得sn sn 12n1 an2n 1 1 an 1 ,nn 122 an2anan 1故an是一个以1为首项,1为公比的等比数列,2所以a(n)bnnaTnbib2b3bn2Tn所以Tn2n 1点睛：本题主要考查了

13、等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常 考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求 和公式，分组求和类似于Cn an bn,其中an和bn分别为特殊数列，裂项相消法类似于an -,错位相减法类似于Cn an bn ,其中a为等 n n 1n差数列，bn为等比数列等.18 .某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为3：若初检不合格，则4需要进行调试，经调试后再次对其进行检验； 若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为4.每台仪器各项费用如表：5项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）10001002003000（I）求每台仪器能出厂的概率；（n）求生产一台仪器所获得

14、的利润为 1600元的概率（注：利润 出厂价 生产成本检验费调试费）；（田）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求x的分布列和数学期望.【答案】（I） 19; （n） 1;（田）见解析.【解析】试题分析：（I）每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂，根据 对立事件的概率可得结果；（n）由表可知生产一台仪器所获得的利润为 1600元即初检不合格再次检测合格，根据相互独立事件同时发生的概率可得结果；（田）由题意可得 X可取3800, 3500, 3200, 500, 200, 2800,根据相互独立事件同时发生的概率计算出概率，可得分布列及期望试题解析：（I ）记每台仪器不能

15、出厂为事件A ,则P A 13 14520，所以每台仪器能出厂的概率1工201920（n）生产一台仪器利润为 1600的概率p(m) X 可取 3800,3500,3200,500,200,2800.P X 3800P X 3200916525-T133P X 3500 C25 4 10P X 500 C2 31 -44 54015021 11P X 28004 5400X的分布列为:X3800350032005002002800P9163101253401501400931311E X 3800 3500 3200500 20028003350161025405040019.在四棱锥P AB

16、CD中，底面ABCD为平行四边形， AB 3, AD 272 , ABC 45 , P点在底面 ABCD内的射影 E在线段 AB上，且PE 2, BE 2EA, F为AD的中点，M在线段CD上，且CM CD.（I）当2时，证明：平面PFM 平面PAB ；3（n）当平面PAM与平面ABCD所成的二面角的正弦值为 汉5时，求四棱5锥P ABCM的体积.【答案】（I）见解析；（n）8.3【解析】试题分析：（I ）接EC ,作AN/EC交CD于点N ,则四边形AECN为平行四边形，在BCE中由余弦定理得EC 2,由勾股定理可得BE EC,在AND中，F , M分别是AD , DN的中点，结合中位线及平

17、行的传递性可得FM AB ,故可得FM 平面PAB ,由线面平行判定定理可得结论；（II）以E为坐标原点，EB , EC, EP所在直线分别为x轴，y轴, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量与二面角平面角之间关系可得： 1,由棱锥的体积公式可得结果.试题解析：(I )证明：连接EC，作AN/EC交CD于点N ,则四边形AECN 为平行四边形，CN AE 1,在 BCE 中，BE 2, BC 2员ABC 45 ,由余弦定理得EC 2.所以BE2 EC2 BC2,从而有BE EC.在AND中，F , M分别是AD , DN的中点，则 FM /AN , FM / /EC ,因为AB EC

18、 ,所以FM AB .由PE 平面ABCD , FM 平面ABCD ,得 PE FM ,又 FM AB , PE AB E ,得FM 平面PAB ,又FM 平面PFM ,所以平面PFM 平面PAB.(II)以E为坐标原点， EB, EC, EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1,0,0 , P 0,0,2 , C 0,2,0 , uuruuur uuuruurD 3,2,0 , AP 1,0,2 , AM AC CD 1 3 ,2,0 .平面ABCD的一个法向量为mn 0,0,1 设平面PAM的法向量为n x,y,z ,uuu rx 2z 0,r1, 1AM

19、% 0,得令 x 2,得 自 2,3M3 x 2y 0,由题意可得,cos n, nImiinl1 J55 31 25解得 1, 3所以四棱锥P ABCM的体积Vp abcm 1s梯形abcm PE 8.33AB AC ,且BC的中20.已知 ABC的顶点A 1,0，点B在x轴上移动, 点在y轴上.(I)求C点的轨迹的方程；(n)已知轨迹 上的不同两点M , N与P1,2的连线的斜率之和为2, 求证：直线MN过定点.【答案】(I ) y2 4x ( y 0) ; (II)见解析.【解析】试题分析：(I)设Cx,y (y 0),将题意与两点间距离公式相结合可得结论；(II)设直线MN的方程为x

20、my n, M xi,yi , N x22 , 联立直线与抛物线的方程结合韦达定理可得iy4n,由两点间斜率计算公式及斜率之和为2可得乂丫2 4,故可得n的值，即可得结果.试题解析：(I)设Cx,y (y 0),因为B在x轴上且BC中点在y轴上， 所以 B x,0 ,由 |AB |AC ,得 x 1 2 x 1 2 y2 ,化简得y2 4x ,所以C点的轨迹 的方程为y2 4x ( y 0).(n)设直线 MN 的方程为 x my n, M x，yi , N x2,y2 , y 4x由 V 得 y 4my 4n 0 , x my n,所以 y1y24n,k _MP所以4yi24y2 2又因为y

21、1y24n ,所以n 1 , 所以直线MN过定点 1,0 点睛：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要 认真审题，注意韦达定理的合理运用； 在该题中利用直译法求的轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，联立直线与抛物线的方程构成方程组，结合韦达定理及整体代换思想代入kMP kNP 2,可得y1y24n,即n的值.21 . 已知函数f x a lnx 11的图象与x轴相切，Xg x b 1 log bX 22(I )求证:x 1;x(n)若 1 x , b ,求证：0 g x【答案】（i）见解析；（n）见解析%,0 ，【解析】试题分析：（I）对函数求导，设f x的图

22、象与x轴相交于点由题意可得在该点处导数值为0,函数值为0,构造方程组可得a的值，将题意转化为lnx x 1 ,设h x lnx x 1,利用导数判断其单调性求出最大值即可；（n ）构造函数h x 立，对其求导结合（I ）可得h x的单调 lnx性，从而有h x2 h b ,化简整理可得g x 0,运用换底公式及（I ）中的不等式lnx x 1可得g x 史U 1 ,再次运用lnb 1 1可得 2 lnbb结论.试题解析：（I） f' xa工，设fx的图象与x轴相交于点xo,O ,x xf x0则0f' X00,0,即lnx0x01 一 x01-2 x00,0,解得a x0 1

23、.所以 f x Inx 1 , x2 x 1f x 等价于Inx x 1 .x1设 h x Inx x 1,贝U h' x - 1 , x当0x1时，h' x 0, h x单调递增;当x 1时，h' x 0, h x单调递减，所以h x h 10 ,口 LiIx 1 2即 lnx x 1,(),所以 f x .xlnx 1 1(n)设 hx U(x 1),贝(Jh'x 2-Inxln2x由(I )可知，当x 1时，lnx 1 1 0, x从而有h' x 0,所以h x单调递增，又1 x而，所以1 x2 b ,从而有h x2x 1 b 1h b ,即2,1nx 1nb所以x2 12b 1 Inx b 1 logbx,即 g xInb0,logbx。2b 1 InxInbx2 12b 1应21nbx2 1221nbb 1 1Inb又Inb1b 11 ,所以 b,bInb一 cx2又1 x b ,所以g x “b 1 2综上可知，0 g x222.选修4-4 :坐标系与参数方程x在直角坐标系xOy