浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考数学试题

1、浙南名校联盟（温州九校）2019届高三上学期期末联考数学试题考生须知：1 .本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2 .答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3 .所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4 .考试结束后，只需上交答题纸。一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设集合A XW R|0/, B .汉£囚闻（1讨，则-I （）A."二| B.也闺 C.D.【答案】A【解析】【分析】先由不等式乂卜I得出集合B,再由交集的运算即可求出结果.【详解】由 川 I得I,即 依ER . 1 :

2、"一 1,所以故选A【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记定义即可，属于基础题型 2 .双曲线 3为2 .二的焦点坐标为（）A.小；闵 B. . C.D.。，冏【答案】B【解析】【分析】由双曲的标准方程求出ab',进而可求出?,然后即可求出焦点坐标.【详解】由Y . 2可得/、'I，焦点在x轴上，所以.47，因此匕'5所以焦点坐标为k 土点。）；故选B【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程，由标准方程可求出卜二，并确定焦点位置，从而可得结果，属于基础题型./ x + y- J < 0.3 .设实数* j-满足,三0.，则x .yj的最小值为（） 2

3、x-y i I> 0A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再令化目标函数 LX7为VFT，由直线在y轴的截距的范围确定目标函数的最值即可 .【详解】由约束条件作出可行与如图，令 ；不，则&乂.2,因此求乂一，的最小值，即是求 直线y丁在y轴截距的最大值，由图中虚线可知，当虚线过点（0,1）时，直线b乂.1截距最大，即4 m 0-1* 1.故选C【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，再化目标函数为直线的斜截式方程即可求解，属于基础题型4 .若复数占一二卜i, u cosu十 R）,其中l是虚数单位，则 , z-,1的最大值

4、为（）【解析】【分析】由复数的几何意义可得 M -表示复数，卜；，“四！十由对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数 句2 t :对应的点为复数 “弹卜特山口对应的点上七二42 ' cusa)' 4 ( . suid)- Jl * 工丁卜 4 - i I - 2祖即值 + 0 # + 2V5 4 ,其中 snip "二'I%-闻转化为两复数所对应点故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将 的距离求值即可，属于基础题型5 .函数瓜q吧"的图象可能是（）X【解析】由正弦函数确定函数D.吧值域的

5、大致范围，以及特殊值验证即可判断x【详解】因为Of，江时，sinx ' （i,所以SJ11X> 0sinx二0,所以鳖0；故排XJt 3U1.除A、C选项；又,所以排除D,故选B【点睛】本题主要考查函数的图像，特殊值法在处理函数图像中非常实用，属于基础题型6 .已知修，bwR,贝卜ab是卜"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】由充分条件与必要条件的定义即可判断出结果.【详解】令1=k - 若窗b,则3)- fW ,即a - J-b- J，即J -/一b，故二b”是 “J.曰_ b”的充分条件；又也令o,则k o,

6、所以函数 际个-在“0上单调递增，在9 + w上单调 递减，所以s)- Rb时，不一定能推出H b;综上，飞 S'是飞".2-a."的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，结合函数的性质即可判断出结果，属于常考题型.7 .甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有()A. 84 种 B. 100 种 C. 120 种 D. 150 种【答案】C【解析】【分析】由分步乘法计数原理先由 5种食物中选择3种，共C；种情况；第二步，将3种食物编号，用列举法列举所有情况即可；【详解】由分步乘法计数原理：第

7、一步：由 5种食物中选择3种，共C；种情况；第二步：将3种食物编号为A,B,C,则甲乙选择的食物的情况有：(AB.C), (AB, AC),(AB. BC), (AC, B), |(AC. BQ, (UC, A), (A, BC), (BC. AC)|, (B, AC), (13Ct AB),(AC. AB),AB)共 12 种情况，因此他们一共吃到了 3种不同食品的情况有12C； = 12。种.故选C【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，按定义逐步计算，最后求乘积即可，属于常考题型.8 .已知随机变量 伙的分布列如下表：X-101Pabc其中工b# j。.若X的方差DXW：对所有&E

8、Q1-6都成立，则()A. bw， B. bw, C. b之J D. b>|【答案】D【解析】【分析】先由分布列求出方差，再结合题意列不等式求解即可【详解】由、的分布列可得：伙的期望为EX-a+b c - I ,所以X的方差DX =(-1 + a- e)% + (a - c)2b + (1 + a - c)2c = (a - c)3(a + b 4- c) -2(a - c)i + a - c = - (a - c)" + a -J - b - - - -j- + - b因为1,1-b ,什 口 ， 所以当且仅当时，DX取最大值1.b, 211 i2又DXn对所有a w (01

9、-用都成立，所以只需1-bwj解得b弓，故选D【点睛】本题主要考查离散型随机变量的方差，根据不等式的最值，即可求参数的范围，属于中档题型.9 .如图，在三棱柱|ABC .'BQ中，点p在平面片B£内运动，使得二面角p-ABY|的平面角与二面角P-BC-八的平面角互余，则点1：的轨迹是()c-g题图).A. 一段圆弧 B.椭圆的一部分 C. 抛物线 D. 双曲线的一支【答案】D【解析】【分析】将三棱柱特殊化，看作底面以 B为直角的直角三角形，侧棱与底面垂直，然后设出点口的坐标,作出点Q在下底面的投影，由对称性知：点P与点Q的轨迹一致，研究点 Q的轨迹即可.【详解】不妨令三棱柱为

10、直三棱柱，且底面是以 B为直角的直角三角形，令侧棱长为m,以B的为坐标原点，BA方向为x轴，BC方向为y轴，BE；方向为z轴，建立空间直角坐标系,设世所以QMy，过点u作以QD，AB于点D,作QEBC于点1一,则上PDQ即是二面角P- AB C的平面角，EPEQ即是二面角P- BC - A的平面角, .PQ所以.EQ又二面角p. ABC的平面角与二面角 也阮-3的平面角互余，所以unEPDQri必PEQ，即PQ PQ 1,所以 QD-QE - IQ，oT,因 ,所以 QE 定QD ),DQ EQ所以有*-1小，所以¥即点Q的轨迹是双曲线的一支，所以点 p的轨迹是双曲线的一支.故选D【

11、点睛】本题主要考查立体几何的综合应用，特殊值法是选择题中非常实用的一种作法，用 特殊值法求出点的坐标之间的关系式，即可判断出结果，属于中档试题 10 .设，瑞是方程的两个不等实根，记 " = 口"十pin EN*).下列两个命题:数列依的任意一项都是正整数；数列国J第5项为10.()A.正确，错误 B.错误，正确C.都正确 D. 都错误【答案】A【解析】【分析】先由方程求出oj)之间的关系，进而可得 加的特征，由数列递推式即可判断出结果 .【详解】因为网口是方程/. x. 口的两个不等实根，所以a”|1,刈-1,因为、N，所以= an + 1 + Pn+1 = (d +&#

12、39;% + (? + 优用邛-泮=(£+ p%+ p)-耶侬"1 1) = (£十 a.】,即当a时，数列依小中的任一项都等于其前两项之和，又、-a I P 1,1=/十=侬十铲=2耶=3,所以石-1电4, % 7,密虱卜力 11,以此类推，即可知：数列 的任意一项都是正整数，故正确；错误；因此选A【点睛】本题主要考查命题真假的判断，根据方程与数列的结合，由方程的根确定数列的递推式及数列的前几项，进而判断出结果，属于中档试题 二、填空题。11 .九章算术中记载了 “今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？” .其意思是“若干个人合买一头

13、猪，若每人出 100,则会剩下100;若每人出90,则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则X-，卜.【答案】(1).10 (2). 900【解析】【分析】由题意列出方程组，求解即可 .【详解】由题意可得黑七二丁，解得x-W, v-900.故答案为10 900【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型12 .某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，表面积为 一.正视图俯视图.(2).卜由:士【解析】【分析】2,棱锥的高为1,再由棱锥由三视图先得到该三棱锥的底面是等腰直角三角形，且斜边长为 的表面积公式和体积公式即可求解2,棱锥白高为1

14、,所【详解】由三视图可知该三棱锥的底面是等腰直角三角形，且斜边长为 以底面直角边的边长为布, 所以该三棱锥的体积为 V -表面积为.故答案为：体积;表面积22 * 1【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积与表面积，先由三视图确定几何体 的形状，再由表面积和体积公式即可求解，属于基础题型inC, c- I ,则b-_, AABC面积13 .在、ABC中，内角|aRC所对的边分别是 ®be若'muA的最大值为【答案】(1).1(2).由正弦定理，结合C, c- I,可求出b；由三角形面积公式以及角 A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为kmA , asinC ,

15、所以由正弦定理可得ba -冠，所以5 l 1 ;所以22,当MnA ,即A-9T时，三角形面积最大.故答案为(1). 1 (2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.14 .实数式i - 口1_234.5)满足：对任意xWR,都有(1/8修"七工。a"卜电尺气 卬"十町一则12 3 4 5 6【答案】 (1).1 (2). 7【解析】【分析】由二项展开式可直接求出各项的系数，即可求出 久。0一之士进而可求出结果【详解】由二项展开式可得(I t= C十- 十 十 十 = I - 5x 十 Uh"十 1

16、忌十 十一，所以 . - I* 力 5.叼】0. % - 1Q % - 5. % - 1 ,故答案为(1). 1 (2).【点睛】本题主要考查二项式定理，由二项展开式可求出每一项的系数，进而可求出结果，属于基础题型.15 .已知抛物线/一 2px(p > 3的焦点为R若抛物线上存在点|A ,使得线段一中的中点的横坐标为1,则 AF| .【答案】2【解析】【分析】先由AI的中点的横坐标为1,结合百点坐标，求出点A的横坐标，进而可求出结果 .【详解】由题意设因为罔的中点的横坐标为1,所以;4K，即2一2因为抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，所以AF| -'十 工 争卜.故答

17、案为2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质，属于基础题型16.若向量满足；1 E，c ¥。且(e a (c - b) -0则也也巴士!S I的最小值是【解析】【分析】K OC = c，由mG-， = 0确定点C的轨迹,再设|a + b|最小值.设!小一，血设OB=ba 4- b| + |a - b 2x + 2y表示点。到以AB为直径的圆上任一点E，OC=由G =； d)-U可知C八LCB,所以点C在以AB为直径的圆上;的距离，所以最大值即是点 O到圆心E的距离加半径，即向土1+y所以|a -l- b| + a - b|c|XH,即最小值为2.故答案为2.【点睛】本题主要考查平

18、面向量的基本定理，以及圆外一点到圆上任意一点距离的最大值的求法，常需要结合图像求解，属于中档试题17.已知函数 f(x 1 ax" * hx 4 (3在开区间(.LOi上单调递减，则/的取值范围是【解析】【分析】由函数在区间一 1,6上单调递减，得到其导函数小于等于0恒成立，即f(.|)二(且(0)三。代入得到一个不等式组，可以把柴由题息,(xj -4 2ax * b三0在(, LU)恒成立".只需要的二户即即可，整理得户一作出其对应的平面区域如图所示；I hO)5 0I b <0所以把/一 b二视为平面区域内的点与原点距离的平方，,- + + 功.的取值范围是由点到

19、直线的距离公式可得 J- |詈所以/ +炉的最小值为手则八/故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，需要依题意写出约束条件，作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于中档试题三、解答题。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。一 .iI18. (I)证明：smticosp -mitCh + 份 + sin(3一口)&.0 E R);(II )求函数(n) NUlXtnMN +-)的最小正周期与单调递增区间【答案】(1)见证明；(2) 4 kx, + k兀很£1212【解析】【分析】(I)由两角和与差的正弦公式求和即可得出结论成立；(II )先将函数Rxi整

20、理成正弦型复合函数的形式，再根据正弦函数的周期和递增区间即可求出结果.【详解】(I)证明：对任意(jl.P e R, sirxa 1 P)-sinucosp + cosump,两式相加，得- smi a - 0) Kinucosp，即 smoCMp -卡 m(a + 份-3m(tx -p)p 2(II )由(I),真 1n7E 1x 小 1氧科也x) = $inxcos(x + -) =+ (x+ -)- suxx- (x + -» = -sin(2x 上 9不一不出(2乂 + -) - -Hr-1nn .1_ J.-故收的最小正周期T林r人兀TT JI/口 Bit力令-+<2

21、k + -<- + 2k m KE 工)，仔-+ kjcWxW + k(kEZ),23 21212故(k)的单调递增区间是-i- kn, + kx (k Z).】？12【点睛】本题第一问主要考查三角恒等变换，需要考生熟记两角和与差的正弦公式；第二问主要考查三角函数的图像与性质，需要考生灵活掌握三角函数的周期与单调性，属于常考题 型.19.在三棱台ABOABi中，&XBC是等边三角形，二面角 A BC-B1的平面角为 的“，幽y(I)求证：ArAlBC；(II )求直线|AB与平面BCC国二所成角的正弦值【答案】(1)见证明；(2) 三【解析】【分析】(I )先由线面垂直的判定定理

22、证明 院J平面SAO,进而可得A J- BC ；(II )可以在几何体中作出直线 AB与平面RCgB所成的角，解三角形即可；也可用向量的方法建立适当的坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，根据向量夹角的余弦值确定 线面角的正弦值【详解】 证明：设AA.,鸣与CC交于点S，取棱的中点0，连结AQSO.B因|B£ line,故又c是棱BC的中点,故同理又SOAO匚平面SA0,且S0八A0-0,因此BC1平面SAC,又、八匚平面3A。，所以A/1BC；(II )方法一：作.XH 1SC,垂足为屈因BC J平面SA0,故工平面BCCEi,从而ZABH为直线Afi|与平面BCCJ'

23、;所成白角.不妨设 AB 2,则A0 <5, .MI-AOsmOM * 1o 一一 .Ml 3所以 aiMABII -.AB 4方法二：如图，以。为原点建立空间直角坐标系 。.冲点Cl由(I ),上AOS为二面角菖-BC-Bi的平面角，则ZAOS -60” ,，SO 血*仍，则点八(A&0,巩03,C(0.- L0) , S(-,0,a).设门(XJN)为平面BCC1B1,即平面SBC的一个法向量,2¥二。,(1)-不口 ER ) (II )见证明n： CB =0, ri - OS 0. I,即-1).设!是直线八0与平面BCgB1所成的角,|AB -n| 3I后而4【

24、点睛】本题第一问主要考查由线面垂直推面面垂直，需要用到线面垂直的判定定理；第二 问求线面角的正弦值，通常有两种做法：立体几何法(即在几何体中直接作出直线与平面所 成的角，求解即可)和空间向量的方法(即建立适当坐标系求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量的夹角确定线面角即可)；属于常考题型.20.已知等比数列(唱的公比qE(OJ),前0项和为0山若内，且三+正是久与气的等差中项.(II )设数列 出满足b 0,Tu<-(nEN【解析】【分析】(I)因为数列%：是等比数列，所以结合题意列出方程组，求出首项和公比即可得出结果;(II )先由累加法求出数列4J的通项，再由分组求和的方法求出数列

25、 可证明结论成立.【详解】 由邑I % 一 ：1 ,得电I飞十词 T.再由口，47,是,立的等差中项，得4为 - 2(七斗mrrl J1L即a1+%-三.-8由，得曳十的十工I, 网可I a3 - 2ad，即6办一】7勾寸7% 0,亦即姬. 17q + 7 = d' 7I解得q :或一,又qE(0Ji,故q-.2|日2代入，得啊1 J,1 卜 q I 2q* 2所以' T q" " g q" - 1 - q1 ,W X-r1*即i;1 1n * t 为u-<T)尸 21(II )证明：对任意 hwN , S=-=1 -L=l 时,11 I -

26、 qI V1 1h + j-bjYH 1。-号) h + L-hj-r . 1 a” 一1一即又-i,若规定%则= 1l 1Za "于是，=%l%,%，1S WN*),从而1 1I尹了一 丁时=+力+，+%)7够+即工4+%.“)=(1二)-(-) = - -ja13 中& 1 - - & 4】Hl I3,卢“3 331 *即TySEN ).【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，以及分组求和法求数列的前II的前n项和即n项和的问题，熟记公式即可求解，属于常考题型.r苧21.已知直线I y 94 m与椭圆-_L=1(UJAb两点.(第21题图)(I)求k与：口的关系式

27、；(II )点Q与点工：关于坐标原点。对称.若当k心率.【答案l (1)+ + di ) 广匕4【解析】【分析】(I)联立直线与椭圆的方程，根据判别式等于(n)因点a与点k：关于坐标原点0对称，可得匕时，bOAB的面积取到最大值 ，可得OAK9 j.线的距离公式，以及(I)的结果，即可求解产二展+叽【详解】由区.二，得品杆则A .%nJ 如什+ bV(m： - 2=口化简整理，得1nLiA，。；(n)因点h与点F关于坐标原点b对称，故所以当k 时，bOAB的面积取到最大值 ?从而原点口到直线1的距离 4 京又必故八b -0)恰有一个公共点P，与圆/ 一相交十，口时，AQAB的面积取到最大值K，求椭圆的离0,即可求出结果；XQAB的面积是占0巴3的面积的两倍，再由当k 二圮,进而可得原点0到直线的距离，再由点到直 .+ 2犷匕口工：a7