中考数学压轴题冲刺之阿氏圆

1、#加权线段和AP + nPB型最值问题完全破解攻略之阿氏圆问irby DDBB(eniac20()内容提要 衣文从一个具体问題出发，引出阿氏圈的氏义利栓戏对 快这识别和解决形如P I HPH生的加权线段和的段值问題作了详尽 的分析，包括：问題的识别、解題原理、一般轿题步嘛及江意事项、 可解性的和定等等.文中附有几道阿氏同问題供读者练习，并对如何 和用这些习題给出了作者的建议.最后，以一个实际问题的金制为例 谈了作者对如何令制此类问題一些籾浅想法.疳望本文能柯底解决初 中Kl学及那分老艸对阿氏圆初关问题的困惑.初中的同学飒好左老师 的拥导下阅读.关镇字阿氏剖 加权线段和 最值问赵1道最值问题:答

2、及疑问KHfi在平面直角坐标系中,在轴.y轴上分别有点Aao) "(03), 劝点E在以总点0为圆心，'卜径为2的風上运幼，求AEBE的 帛小值。1)【分析】这是 个非典些儿何用值何題；找们半时经常会遇到形如AP+ P型的线段和的出值施題，乩取耍粋征就是两个线段的系数於是1， 而文臣开头的问逆两人线R的系数足不同的.印两条线段的长度对和 的页献足不冋的我们称Z为加权线段和问题 谯的加权线段和可 以衣小!为aP I bPB的形式但肉为总町以将系数“或b提取.这 样就可以转化为AP nPB的形式,因此我们只需研究AP nPB舉 的加权线段和问题.在解决AP卜PB型的儿紂绘值问题时

3、.我们一般都是通过以卜 两个依据來解决3题的C实际上，以卜两个依据也是初中阶段解决儿 何最值时的主耍依摒：(1) 两点Z间线段最短.(2) 也线外一点到氏线I.任一点的丹离中线段嚴短.数学家们总是喜欢将碰到的新问31转化为已经解决过的问3L对 T APVnPB熨的加权线段和的衆值问題我们也町以宾试将址转化 成与Z相近的AP + Plf型的几何股何问题,而后总我们已经冇允分 的研究.一般部町以通过上述两个依据來解决"这样任文。开头的问 別中.我们可以樂试找到另一个定点Mt使得E在圖上运动的过程 中，总有EM 訓眼这样就町以将问题转化为常见的求两个线段 和AE + EM的最小值问題于是问

4、题的关键就在于找到合适的点M.既然EM = 的关 系对任意E点均成&、我们町以选择为E运动到 些特殊位習时为E运动到,j C霓合时,BE BC 1根据上面对M的耍求, 2 2冇EM( CM) =BE P由于7为定点 CM为定匕故满足条 什的点M 一定在以C为圆心扌为半径的風上.将该悯记为ec.弋E运动御与/)巫合时 HE = Hn = 5同样右EM(= I)M)= 扌处 y.即满足条件的M点也必须在以D为國心，y为'1'径的 IgI上，将该圆记为©D山于浙関的刚心W CD 4正好等于两个圏的半径和：+y4.因此 C与0»外切.它们有屮个公共点M().

5、*至此我们已经找到了个定点M,当E与C. D币:合Ibh満足 EM = iiE.° 亠 2由J找们耍求对惻I任意一点E部有EM 討从1汕找到的 Aa/圧占满足耍求还盂娶进 儿的则孔 实际上,M确实符合嘤求。 证明如下：易知h OE = 2, OR 3 0" = * OE =2OE 2 OM 2而亍页亍乂囚为 EOM nOE.卜oFEM OE E OR=彳即FM 訓.因Jt M点找足我们所要找的立点，対任庖点匕LM.AE I 細=AE I FM > AM = 7（M '加 /（扌）如车=響至此旬题得到解决.当然我们在实豕书丐解题过用时不儒要这么 复杂.町以将J找

6、M的过伴賀路苴接写成如卜的形式：解心轴上取点M(aOE. EM.J 4则：OE 一 2. Oli - 3 CM -. OE 2OE 2 OM 2Oli 3'OE 乂囚为 £EOM M)E EoM - MO卜:I即EM9-BE.从上血的梆芥过用我们对以仟到解决旬题的关墮龙F找到定点 M将加权线段和的赧逍问題转化成了帘规的线段和的展值问I： 述解答过稈虽然前洁完羌们枳极用考的同学仍会觉得迓便f £:疑问一：定点M为什么会存在？如果存衽的话，它昱唯一的吗？I-Ifn4找M的过程凤然 帆风顺,但实际I.惊心动魄.找们得到的 內个関恰好右个公共点，并H纟厶过证明完全满足我们宾

7、试么前的设 想。如火我们选择具它的特处位事 还少勺这样的好运吗？2疑间二：为什么加权系数足；.它是陆机设責还是轩心选择的？ 对任意一个系数，上述解答方法祁是有效的吗？如果加权系数必须精 心选择，那么需要怎样选择，疑问三：上述寻找定点M的过用（以下称方法一），对初次接触 此类问题的I J学是非常自然的选择实际上操作性也很强.那么是否 还有其它更有效的办法，让我们快速找到该定点？2不是巧合：阿波罗尼奥斯圆及其性质任冋谷上述我问Z前，我们必须先熟悉-人平面几何名定FF.:PA俺CB定理一（阿波罗尼奧斯定理）到M定点儿的比高之比为定值z,1（ I）的点化住于以把线孜fi分成-的内分点C （即 nfn-

8、）和外分点D （即磐 -）为直径的两媒的主网周上 我 nDBn们通當将该忧侃称为昭氏EI阿圆几阿波罗尼奧卩CApolIonius9约公元询260 MjI90年苦名的 Fr希鹏数学家）定理指出了两个爭实：事实一 到两定点距离之比为定值（比值不为I）的点的一个圖；事实二阿氏圆Sl心在两定点所在的直线上，即阿氏圆Sl心与两 定点共线。其内.外分点足阿圜BL径的两个端点。因为鑰 着 籍 冷，根拯三角形内、外角平分找性质定理 的逆定理可以知道 XL"M的平分线 PD是"加的外角平分如.ZC"90.又闪为-是定值所以线段八的山分点CH与外分点D邵足定点。因此P任以CD为白径的

9、圈上，Cn的"点O即该風鬪心这样我们就证明了阿波罗尼奥斯定理为了叙述的方便以卜我们称/1、Ii为阿臥的定比点，-为定n 比A.更进一步的，我们还有下血的定理：定理二 对钱段AR的内分点C和外分点D以凡直线AB外一点P给出如下四个论断：(1) PC是"PB的平分线(2) PD是SPB的外角半分线(3) AC BD L) IiC【妳C.D训和分割线段A注盘体 会四个字母的顺序】(4 ) PCkPD以上四个论断中任意选取两个作假设.另两个作结论奴成的六个命題均是真命题显然定理二中P点的轨逊就是阿氏関.定理二也可以机作阿氏 圓的性质定理.定理：屮的六个命題.大部分的证明都足显然的陨

10、于篇梆.此处就不给出它的完帑IlF明感兴趣的老帅和IN学-J以移%相夫资料。现在我们可以冋答同学们的疑问了怦先我们韭养明白本文开姐的问趣与L述两个定理之间的关系.磴 血匕经说过.何題解决的关键足找到定点M，EM bE.似 FM 2设M点已经存住则仔 需一彳由阿波罗尼奥斯定理知E点的轨 迹是一个阿换1帀在我们&J问題F, E恰好是在个關匕运动我们 希坐这个圆与定比九从M及定比人扌构成的阿恻足同 个圆这 样当E在已知圆上运动时，总仃E.因此解决本文"始问題的关從步化成以卜问题：已知阿氏圆的圆心与半径，定比2以及两个定比点中的一个，求另f定比点.在我们的问题中,即：Ll知阿氏憾的関

11、心0打半径F OE定比;I扌以及M个定比 点屮的一个乩以及阿圆与的两个交点G I).求另 个定比点M.前先定性分析确定M的大致位置，根犯阿波罗尼奧斯定哩，两 个定比点及阿氏岡的侧心在同一条Iti线匕 故M在OB所在的直线 上.又由T- C 一个足内分恵，一个足外分点在线段CD外 部.因此M点在线段CD l .再眼据立理二的假设(3)有BC ML) BI) CM.此处BC、 BD郁足定值.因此M点的位置是哦-碗定的。接卜-來我们用阿氏岡的尢义和件质重新il尊M的Jl体位琶：方沬二：恨据阿氏圜的旋义以及定比几 右 冇"C:MQ EH-. EM可以i算出M的坐杯为(Og).方法三：设M的纵

12、坐标为”，rJ BC .BD 5. MD ” + 2. CM 2-/1,根撩:定丼二的假设(3)BC MD RD eM所以1 - (n + 2)-5 - (2-).解得” * 即 M(0,j).两种方法计算出来的结果和同，但在方法三中,并没有用到加权 系数*这也说明個的位置只9点B、C L) YjX, 权系数2 -彳无关2这就意味韦金上述树题中.A ；的条件是兀余的“实际匕匕阿 氏甸的兄心、半径以及两个定比点中扁个确定后，另个宦比点及 定比就殛2綁定C这就提郭我们4构造此类阿氏圆问題时，必须 注意保证加权系数H与阿氏圆的定比相协调.否则就没讣办広通 过这种方法來找到定点M, I：血的解题方法门

13、然也就无效r这样我们就河答r f Ifti-的二个硬何：<1)定点M的存在的理论忒础足由定锂和定理：保证的.如 杲存在的话，那么它是唯一的。(2问题屮的加权系数不是随机设说的.它必须与阿氏區的定 比入相协洞。在两押办调一致的情况卜,就川以保证第一个适何中 的泄点足存在的.(3) 现在我们己经多J两种利川河氏厕的定义和性质J找定点 M的方法，TniSf me,更桥彩的还在后头°在1：面的解答过程中,我们定先计第出M的位置Z后,再证明 三角形相似来证明対圜上任总一点，都仃定比关系的成立.这样做虽 然没右问&,但M的出现毕竟令点突兀。我们叩以逼构上面的解題 过程.先构J-It

14、i似二角形再证明“足定点.这样也可以完成 刚题的解答。解答如下：解在 LoEB 41(1 "EM "BE 交 y 轴于 M. E()M ZBg )EM = ZOBE.()EMMBEOE OM EMt OB OE BEr OR = 3. OE = 2Z OE2 42M=OB=VEM 严.Ah + ½(7P (Wv3÷424K)3这也是第四种讣许M的方法 IL通过构造母子相似來求得M的 位*方筮四也是很名贽料中解决阿氏PiI问題的标准方法。初次见到 这种力法时占定会叹为观止.不会想到背后还冇这么曲折的故事°至此我们只用相似的知识就解决了这个问題，阿

15、氏圆的概念与知 识完全退居拜后.命题人、解题者、闻卷者彼此心照不宜,都是冈为 杯珂波罗尼奧斯定艸为找们的轩法捉供了技术保障。阿浪罗尼奥斯関 及兀性庾足解决此娄问题当Z无愧的幕后英雄。在.述标准解法中仃一个巫燮的誓式应该引起我们的注忌OE OM EM 2T)B Or Je 3这已OE足动点所在圆的丫:径，点兄带加权系数的线孜上的定 点赧麻一个等号正是我们要构造的标,在图形确定麻线段OQ OK 长度也就确定C它们的比恰好就是加权系数?这就给我们 提供了种阿氏圆问题可解性判定方法：如杲加权系数導F动心听在 圆的半径耳该创圆心与加权线段屮的定点距肉的距离的比.那么这个 阿氏圜问題轨昆对解的.否则就不可

16、解.此处的可解指的尼M以将帯 加权系数的动线段转换成一个不带加权系数的动线段两个线段育共2同的动点在本邂中.即将转棘成ZfM的形式根据这个可解性判定规则.我们知逍问题可解时.加权系数必须 等于动点所在158的半径r与该侧ISI心与加权线段中的定点距离的距离 的比.在本图中，即" = £在第个等号中，因为OErOB 值,因此我们又可以得Jlnl- 兌宦点M的又一个方法，方法五：. OM = 筹=篇 °E n（）E' W此M的位置可 定.不知道大家注意到没有，我们在材面反坦提到加权系狄必须号 阿氏IgI的定比相协调.而不说它们相等,这是因为在构堆加权找 段和的

17、代数式AP-I nPD时，金题人冇可施玩 个小小的把戏，即将 代数式提収个常数岀來将提窕常数施的代数式作为遞11翌求求最7竹 如木文开始的问题.可以将E HE变形为以下的形式：2 I2 3°AE 4 -UK- 了 （3人El 2HE） - -（-E I 处）一也就是说.命题人完全可以耍求継题者求3AE I 2BE或?IE卜 BEZ类的最值。现在你知道它们的质那是样的。对这匹小把戏，如果我们能悠练込用阿氏1用対题川解性刿定方法 它们个个将无所遊形我们要做的就兄先完全不G川权系数.W接 通过可轩件判定方法将可能的加权系数无讣钉;I；来.然后再跟题目耍 求相比较就可以了.D例如存本题幵始的

18、图形中.、对r两个定心及动山/：.我们 可以先“接计算出 篇=$篇=? ll,l3的加权系数相比较. 我们马上知道要通过o. B来构适阿氏闘。顺便地.找们还町以利用原图设讣一个新的问题：求RF + * 的最小值.3总结及一般解题过程至此找们C经完全,i r此类问越的理论以础以从解决何卷的策b.接下*我们对本类何题的特征作一小纟氣问題的构成要素与识别7构成加权线段和AP flIi 51Ai(Ll问题讷芟盛：(1) 两个定点人、(以下称人为起点，B为终点)；(2) 一个动点P, P在一个圆心旬半牲已知的定WoQ上运动 (动点在岡上运幼的加权线段和问越足本文的研究对象；当动点的紈 迹是査线时.是另外

19、一个若名的问题：科M、归)：(3) 加权系数/1.Iat求P nPH的用值.注意.本IJ以垢的加权系数Jl指的 忌通过可解性判定方法处理后的加权系数.解决问題的关键是找定点M,将问題进行转化解决问题的关进心找到定点M，PM nPH,从而将加权线 段和/1> nPB的星值问起转化成常犯的两个线段和.AP1 AW的报值 何题.M的3找仃以卜儿种方法；【具体方法不再赘述.见就文，以卜 只作閒短点评】方法一：利用动点运动到特殊位JSJ找M.这个方法思册自然. 探作性好.略緊，需要可解性臾定規列的办助.裤则可能弄错方向.方法二：利用阿氏洌的定义.九接利用加权系数及确定AVllW. 冋样需要可解性判

20、定规则的协助.方法三：利用阿氏侧的调和杵质,需耍记忆额外的公式.不需耍 可解性刿定方法的协助.本身就可以作为可解性鬼定方法四：构适母子相似三角形计算M的位任,这足解决此类问 题的常用方法,也是嚴适合初屮同学的解法.浙耍对阿氏ElfifJ各个农 素的蒂准识别,否则会不知道在哪也去构造相似三角形< 同样也需耍 可解性刘定规则的协助.方法五：熟练节握方汕叫Z后,可以通过力法五秒杀的点的位 世.方法五其实包含了IW种方法前一种不需IJM解性判定规则的协 助.而后一种使用加权系数來计算时就需要了。关于定点M及加权系数“轨迹岡的圓心是重3?的.它M适相似二:角形的基础,也是 确定M点位芒的关饮任TF

21、些苛况下.需要解题者了找出阴心的位 負.(2) M在轨迹圆心0与带加权系数的统段I：的定点确定的直线 上.(3) 在NiPM中,PC、PD恰好是ZBPM的内外角平分践.轨迹闵的別心恰好是CZ)的中点(4) B.CMZ)构成调和点列.即有:RD cM BC MD.(5) 题目中的加权系数“是将心设计的，它确保了定点M的存 在。“必须符合阿氏圜问题町解性判定规则。一般解題步腺步骤：建议解&Z前先用町解杵判圧规则i n-下可能的加权 系数，根攪需要.将所求的代数式转化成适当的形式。步驟二：构造定点M证明M点满足的比例关系：步霖三：i n(i. M点确宜后，只M与赴点力的距 离这个距离就兄最小

22、備。通常使用勾股定理讼算即可.I练习下血足儿个入门级的阿氏圖的问& r以拿它们來练练几 训练方法：A；练习的过秤中思易以卜儿个问題：(I)问题屮呵氏圆的几个要素分别足什么？每个问题使用不冋的方法来找到M点，并体会它们的一致(3)便用同样的图,杲否还可以构适不同的问题?训练目标：碰到汗问题，能够在1分钟内完成问題沢别、阿氏 闘要索的确定、可解性刿定、M点人致位在的确定.要卷达到这个 Il尿 仅 Kifii儿个问题是不够的.希里大家在半时的交流过程中注 慰积累。问通1:如图.諄边AVC的边(为6.内切侧记为00P足 圆上动点.求2PB+ PC的加小值.问8 2：他图.功K为4的匸方形，内切

23、関记为CO P址関上 的动点.求z2¼÷,Z的址小值，问S 3s如冈，l2知箜形人CD的边匕为J, ZB 6() ,的丫径为2 P为QB上动点，则代：的最小佰足问題1:如图，Mi足C-O的育径 C足OA的中点过C件CD丄A/?交恻于D点.DE足圆的乃条N径.P足風上的动点求问鬆5:如图止方形AHCi)的边K为1 tf的丫径为2, P 为。上的动点.则M 冷PC足否存存处小值？若存在，请求出此 时<>的而积：若不存右请说明理由5阿氏圆问题的命制浅谈经过上面的分析.我们己经知道,解决此类问题的关键,是根据 已知条件.找出阿氏岡的所有要素:圆心、半径、两个定比点、定比

24、 值。那么中制此类问题的恩路就足显然的门先构造阿圆，紂到定比 点.有了定点之后就可以构适出不同的问題。此类问题的枸造一般 右儿个感本步驟：定目标，构阿圓，得定点，加背聂，解验迂°先看一个问题:<DDRR20170411）如图.正方AHCD的边长为J, 的 半径为2, P为B上的动点.则2PCi 4 PD2是否点在堆小值?若 恋在，请求in诊Iti小伯：若不存在，请说明理由.这个问题我曾在儿个QQ群爭提出过，是存前述何逑5的呈础 I：改编的半时包松丁新华老师、姚亚军老师等好几位老师给出了非 常俏彩的解迄 遗翅的是因为我A问题的口标上逸择不当，没杠 位 老师从阿氏圆的九度來解决这个

25、问题.这也兄我任命赵时应该反思的 地方.在前述何题5中.只需喪构造一次阿氏列即对解决问题 同时 冷前面我们也说过,看到此类何題，我们忤先婆做的不址石題冃中给 定的加权系数足$少而足変口 2计算 下，用題目给定的曲形叫 以构造岀多少个加权系数.本題中动点P所在的Ia的半径r 2根据可解件刘定规则.r 2 I 对f凡C两点我们可以讣算出个加权系数山=；=：=；， 即我们可以构造岀一个定点M1,可以便斜当P在岡上运动时，总有 PMl PC.根拡上述计算M的方法五，我们町以讣算出/M/,同样对于RD两点由于My = 42因此我们也叫以计 算出一个加权系数住=丄=牢.此时在RD上仃定点M使得 LPM.=

26、 PD. HM> = n2 r =丨、42这样我们就町以得到两个定点MhM3,再加上定点P就可以开 始构造何题了。【尝试一】踮 选择F然足求PMi + PM2的加小值，也就是求 ：吃1半円)的坯小值“但朕试后发现这个问Ig不太好解决II 【尝试二】按下來想到中红氏定理，可以将两条线段PMPM2I j MM的中点K或线段PK联系起来，即冇PMi ÷ PMi 2(PK2 + MyK-).这肛州K是危值，而求PK的报值是容易的 将系数适当 优化后.就冇了上述的问题.13分析一(便用阿氏同构遥方法)HP 2 1对于<；H和点C：=WCw 4 2在线段HC I:取点俛HP2 = H

27、MM：即MW = 1 此时俗PM = bjc>2对于和点/人祟二厶一半nt) 424t线段Hl) I.取点RN.使HP2 HN Hl)即IiN 罟，此时 有PN =卑PD。/. PMl I PN- = LpcI 卜 IPlf = (2T2 I Pl)I)4Xh取 MN 中点 K.则/ PMZ PN2 2(PKr KMi)由丁 M,N足宣点故KMl足定付所以当PK有是小值时（H IlK 共线）,2PC2 I Ply 最小当然此题的解法可完全规避阿氏圆下面捉供种解法思路足 于特提供的，请大家欣赏。分析二(本解法思路由江苏省轴级41师于曲华老师炭供)在 CD L取点 M使 DM = 2CM 2. rtl SIeWnn 定理紂：PC2 DM I Plf CM PM2 CD I CM I)M Cl)J