三年级计算乘除法速算与巧算教师版

1、乘除法 速算与巧算知识要点一、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如： 4 25 100，8 125 1000，5 20 10012345679 9 111111111 (去 8 数，重点记忆)7 11 13 1001 (三个常用质数的乘积，重点记忆)理论依据：乘法交换率：a×D=b×a乘法结合率：(a ×) ×=a×b ×)乘法分配率：(a+b) C=a×c+b×c积不变规律：a>b=(a ×c) (b ÷)=(a &#

2、247;) (b >C)二、乘、除法混合运算的性质商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数， 其商不变即：a b (an) (b n) (a m) (b m) m 0, n 0在连除时，可以交换除数的位置，商不变.即:a b CaCb在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运 算符号一起交换位置(即带着符号搬家)例如：abcacbbca在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则:去括号情形：括号前是“×”去括号后，括号内的乘、除符号不变即|!a (b c) a b c a (b c) a b C:括号前是“÷”去括号后，括号内的“×变为“

3、7;”“÷变为:“x.”即a (b c) a b c a (b c) a b c添加括号情形：a b Ca 即a b c a加括号时，括号前是“×”原符号不变；括号前是“÷”原符号“×变为“÷' "÷”为“x.”(be)a b c a (b c)(be)a b c a (b c)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘即(a b) (C d) (a C) (b d) (a d) (b C)上面的三个性质都可以推广到多个数的情形.两人和倍乘5、15 25 125【例1】 下面这些题你会算吗？(1) 125(408

4、)(2)(1004) 25(3)(100 8)25【分析】(1) 125(408)125 401258500010006000(2) (100 4) 25 100 25 4 252500 1002400(3) (100 8) 25 100 25 8 252500 200 2300【例2】 下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！26 25【分析】26不能被4整除，但26可以拆成6 4 2 ,这样26 25 ,可转化为6 4 25再加上2 25 ,这样 就可速算了.原式(6 4 2) 256 4 25 2 25 600 50650【例3】你知道下题怎样快速的计算吗？ 786 5 124 25 9

5、6 125 75 25 8【分析】我们刚刚学过了乘 5 , 25, 125的速算法，大显身手练一下吧！ 786 5 786 (5 2) 2 7860 2 3930 或 786 5 393 2 5 393 10 3930 124 25 124 (25 4) 4 12400 4 3100 或 124 25 31 4 25 31 100 3100 96 125 96 (125 8) 8 96000 8 12000 或 96 125 12 8 125 12 1000 12000 75 25 8 25 4 75 2 100 150 15000例 4 】计算：8 13 125 =【分析】 根据乘法凑整原则

6、 8 13 125 8 125 13 1000 13 13000【例5】 为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能做 到吗？19 25 64 125【分析】把64分成4 8 2，用乘法结合律便可速算.原式 (25 4) (125 8) (19 2) 100 1000 38 3800000【例6】计算：173 32 125 25.【分析】 原式 173 (4 8) 125 25173 (4 25) (8 125)17300000【例7】请快速计算下面各题. 2004 25 125 792【分析】 2004 25 (2000 4) 25 2000 25 4

7、25 50100 125 792 125 (800 8) 125 800 125 8 1000 100 1000 1000 (100 1) 99000【例 8 】456 2 125 25 5 4 8【分析】原式 456 (2 5) (25 4) (125 8)456 10 100 1000456000000【例9】聪明的你也来试试吧！ 24 15 84 75 39 75 56 625【分析】2415(24242) 10(2412)103608475(214)(253)(213)(425)6310063003975(401)754075175300075292556625(78)(1255)(7

8、5)(8125)351000 35000【例10】请你简便计算. 536 563815 32 25 68 75【分析】5365536 (5 2)25360 2 268063815(6386382)109570322532 (25 4)43200 4 800687517 4 25 317 3 (4 25)5100【例11】计算：125 16 111 9 【分析】根据乘法凑整原则整理为125 16 111 9=125 8 2 9992000100012000100011001【例12】计算：4500025 90 =【分析】4500025 90=4500050 45 =4500050 45=1000

9、 50=2099、999【例13】下面各题怎样算简便呢？ 12 9 12 99 12 999【分析】利用公式，可以得出结果：12 9 120 12 108 ;12 99 1200 12 1188，此题也可用小技巧：去1添补”法，补”就是 补数”和为整十或整12 99 =1188百或整千的两个数都可称为互补数注意：只适用于 两位数乘99 ”12去1是1112的补数是8812 999 12000 12 11988 ,此题可用小技巧：去1添补 冲间隔9”法.注意：只适用于 两位数乘999 ”12×999 =£198812去1是11中间隔912的补数是88【例 14 】计算：123

10、45678987654321 9 2【分析】原式 1111111119999999999 111111111111111111000000000 111111111111111110888888889【例15】算式12345678987654321 63值的各位数字之和为 。【分析】12345678987654321 63 111111111 111111111 7 9777777777 999999999777777777(1000000000 1)777777777000000000 777777777 777777776222222223所以它的各位数字之和为 7 8 6 2 8 3 8

11、1。【例16】我们快来做做吧？ 123 9 234 99 256 9999【分析】利用公式，可以得出结果，也可以记住下面的小技巧：一个数9 ,在该数后添0,再减此数；一个数99 ,在该数后添00,再减此数；一个数 刈99 ,在该数后添000 ,再减此数 123 9 1230 123 1107 234 99 234 100 234 23166 256 9999 2560000 256 2559744【例 17 】2999 999 999 【分析】计算时9、99、999类的数字时可以将其看成 10 1、100 1、1000 1或者拆出1和其凑整计算2999 999 9992000 999 999

12、9992000 999000 1001000【例 18 】99 37 4599 83 _【分析】99 37 4599 83100 137 4600 1833700 374600 828300 458345 526 99 99 99【分析】 526 99526 (100 1)526100 52652074 99 9999(100 1) 9900999801【例20】I计算：5499 99 45999222 333 3341999999 999【分析】此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和【例19】请快速计算下面各题.99 99行简算了. 54 此题如果直接乘,(54 45)容易出错如果将99

13、 99 45数字较大，54先结合可得99 99 99999变为333999222 3333343333 222 333 334 333666333334 333方法一:19999999991000999999 99910009991000 1000(9991)1000000.方法二二 19999999991999999(1000 1)1999999000 999(1999999) 999000 1000000.99,就可以运用乘法分配律进99 (1 99) 9900.3 ,规律就出现了.(666 334) 333000【例21】小朋友，相信你一定能行噢. 62 97 123 998 626 9

14、97 1234 9998【分析】因为97，998分别比100，1000小3、2 ,利用乘法分配律可得原式62(100 3) 6200 1866014原式123(1000 2) 123 1000 1232 123000246122754原式626(1000 3) 6260001878624122原式1234 (10000 2)1234100001234 2123400002468 12337532【例22】计算：333333 333333【分析】原式 3 111 111 3 111 111999 999 111 111(1000 000 1) 111 111111 111000 000 111

15、111111 110888889【例 23 】计算：333333 999999 .【分析】 原式 333333(1000000 1)333333000 000 333333333332 666 667【例24】若a 11L435 3323 ,则整数a的所有数位上的数字和等于 ().1004 个 152008 个 3A. 18063B. 18072C. 18079D. 18054【分析】 选C，考点：计算，凑整法.a 141社435 ¾32L331004个152008个35O5C0L35 999L391004个 5 和1003个 02008个 9505(2>c4l35 ( 1C4

16、)00L30 1)1004个 5 和1003个 02008个 0505p50L 40qq00L0 5050451004个 502007个 01004个 5 和 1003个 0504050L 40492949 缈1003个501004个49所以整数a的所有数位上的数字和1003 5 1004 (4 9) 5 18072 乘 11 11、101【例25】你能快速的写出结果吗？45 1156 112222 112456 11【分析】可以用公式a 11 a (10 1) 10a a得出：45 11 450 45495另外，还有一种小技巧 一个数乘以11，两头一拉，中间相加”，用公式a 11 a也可用小

17、技巧得：(101)10aa 得:56 11 560 56 61611a用公式a 用小技巧得:(101)10aa得出2222112222 10 2222 2444用公式得：a 11 a (10 1)2 2 2 2× 1 12 2 2222 2 22 4 4 42这是因为：10a a得出:2456 112456 10 245627016用小技巧得:所以27016为结果2 4 56× 1 12 4 562 4 562 7 01 6,这是因为：【分析】第一组：1111开始，第二二位同学接力1111的积再乘以11,第三位同学接力第二二位同学的答案乘以11第二组：1311开始，第二二位

18、同学接力1311的积再乘以11,第三位同学接力第二二位同学的答案乘以11第三组：1511开始，第二二位同学接力1511的积再乘以11,第三位同学接力第二二位同学的答案乘以11第四组：1711开始，第二二位同学接力1711的积再乘以11,第三位同学接力第二二位同学的答案乘以11第五组：1911开始，第二二位同学接力1911的积再乘以11,第三位同学接力第二二位同学的答案乘以11这个活动在于提咼学生的速算能力，教师也可拓展到乘以101,1001的活动）1464117303199652262725289121,143,165,187 ,209 ,1331,1573,1815 ,2057,2299 ,

19、【例26】三个同学为一组，进行乘法接力：（可以让孩子到黑板上操作第一组第二组第三组第四组第五组【例27 请你计算出下式结果，并总结规律快点算吧!第一组： 37 101 85 101 79 10123 10101 49 1010169 101010101第二组： 123 1001 287 1001 395 1001001 4567 10001 3985 100010001 43869 1000010000100001【分析第一组： 37 101 3737 85 101 858579 101 7979 （有2个“1”结果就有 2组“ 79”）23 10101 232323 （有3个“ 1”结果就有

20、3组“23”） 49 10101 494949 69 101010101 6969696969 （有几个 “1；'结果就有几个 “ 69”）第二组：123 1001 123123 287 1001 287287395 1001001 395395395 （被乘数是 3位数，乘数的1和1之间就夹了 2个0） 4567 10001 45674567 3985 100010001 398539853985 43869 1000010000100001 43869438694386943869 （被乘数是 n 位数，乘数 1 之间就夹了 n 1”个0）【例 28 1000001 999999

21、【分析原式（1000000 1） 999999 999999000000 999999 999999999999.另，可由叠数的性质 直接得出答案为999999999999.【例 29 】2 3 5 7 11 13 172004 2【分析】本题利用特殊数字乘积特点进行计算：7 11 13 10012357 11 13172004 235172 7 11131001 23517255【例30】请你根据乘法的凑整35610022300069023690”思路，推算下列各题.23 1030【分析】29529529 (291)1002587000258702570570570 (701)1002549

22、700025497025【例32】I 5 72239 49【分析】原式5 72 11 3137 7(52) (71113) (3 7 7)【例33】求下列算式计算结果的各位数字之和:【例31】试着用一点技巧吧. 295 295 705 70510 1001 147 10 147147 1471470原:002 P22166.6 66.67 25 .2006个62005个62002MgI 5 511L 10 142-452005个02006个12006个01L 10 (10-4 5)Q06 个 12007个 0356000 356 2356000712 3567121L 10-4 540 11L

23、 105540，1006个1 2008个02006 个 52006个 1 2006个 511L 10 100-43 11L 10 52006个12007 个02006个1数字和为：1 2006 5 2006 12036.【例34】用简便方法计算下面的算式：72 78 :71 79 ; 78 38 ;(4) 43 63 .【分析】 直接套用速算法：原式 7 (7 1 100 2 8 5616 ;原式 7 (7 1 100 1 9 5609569.互补数如果(注意：我们在实际计算中不会这样详细列出式子，学生容易将答案错写成 是n位数，则应占乘积的后 2n位，不足的位补 “ 0”)原式(738100

24、 8 82964;原式(463100 3 32709 .除法【例35】小朋友们，下面的计算方法可要听仔细啦.(81 72) 9(2046 1069 735) 3 291 50 9 50 225 9 5【分析】不同的算式有不同的特点，要学会挑选好办法去速算我们刚刚学习了除法的运算定律，观察每个算 式的特点，选择不同的定律进行计算.我们一眼就可以看出 81 9 9,72 9 8 ,所以运用除法的分配律可以简便运算.(81 72) 981 9 72 9 9 8 17括号里三个数都很大，运用除法的分配律后可以使数变小，简便了我们的运算.(2046 1059 735)3 2046 3 1059 3 73

25、5 3 682 353 245 84291和9都不是50的倍数，但是它们的和却是 50的倍数，运用除法分配律的逆运算，就可以得出 结果啦.291 50 9 50 (2919) 50 300 50 6这是一个连除，225 9计算起来会比较复杂，但是225 5相比较就会简单一些，根据连除的性质 交换除数的位置，商不变，得到比较简便的运算：225 9 5 225 5 9 45 9 5.【例36】同学们，来个接力赛比一下吧.6480 80(189 27) 9400 16 53 10 17 107128 542400 15 4【分析】依次为：81、24、41、101、5、(497210)72424 8

26、325 7 24 7(540 8172)93500 25(110 77 88) 112、7、43、132、40、140、25【例37】计算：9039030 43043【分析】 原式 903 10010 (43 1001)903 43 10010 1001210【例38】计算的方法很重要，我们要仔细听啦。(130 65) 13(2046 1069 735)3 981 50 19 50 2275 13 5【分析】不同的算式有不同的特点，要学会挑选好办法去速算.我们刚刚学习了除法的运算定律，观察每个算 式的特点，选择不同的定律进行计算.我们一眼就可以看出130 13 10 , 65 13 5 ,所以

27、运用除法的分配律可以简便运算.(130 65) 13 130 13 65 13 10 5 15括号里三个数都很大，运用除法的分配律后可以使数变小，简便了我们的运算.(2046 1059 735) 3 2046 3 1059 3 735 3 682 353 245 84981和19都不是50的倍数，但是它们的和却是 50的倍数，运用除法分配律的逆运算，就可以得出结果啦.981 50 19 50 (981 19) 50 1000 50 202275 13计算起来会比较复杂，但是2275 5相比较就会简单一些，根据连除的性质：交换除数的位置，商不变，得到比较简便的运算：2275 13 5 2275

28、5 13 455 13 35 .其他乘除混合【例39】计算：8 7 8 7 【分析】原式=7X7= 49【例40】聪明的你一定能顺利的通过最后一关吧. 136 5 8 4032 (8 9) 2460 5 2 527 15 5 125 (16 10) 2560 (10 4)(54 24)(9 4)根据我们刚刚学过的乘、除法混合运算的性质，根据算式不同的特征选择不同的性质进行巧算，可以减少计算时间并大大提高正确率，不信你就试试吧！利用带着符号搬家,abCa Cb bC a,136 5 8 136 85 175 85;利用去括号的性质,a(bC)a bC ,4032(8 9)4032 89504 9

29、56 ;利用去括号的性质,a(bC)a bC ,125(16 10)125 1610125 82 10 200利用去括号的性质,a(bC)a bC ,2560(10 4)2560104 1024;利用添括号的性质,abCa (bC),246052 2460(52)246010 246 ;利用添括号的性质,abCa (bC),52715 5527 (155)527 31581 ;利用两个数之积除以两个数之积的性质5【分析】(a b) (Cd) (a C) (b d) (a d) (b C) (54 24) (9 4) (54 9) (24 4) 6 6 36 .【例41】你会应用计算性质吗？ 3

30、84 12 8 2352 (78) 1200(412)1250(108) 2250 75 3 636 35 7(12656)(7 18)【分析】原式=384 8 12 48 12 48048 2576(2)原式=235278 336 842原式=1200 4 12 1200 12 410044004)原式:= 1250108 125 81000原式=2250(75 3) 2250 22510(6)原式:= 636(357)636 53180原式=(126 18) (56 7)7 856【例42】123 15 5 ；125 16 25 5600【分析】利用利用(25 7) 450 54 65)1

31、23 3 36925 125 25 16 5 16 80添括号”的性质，123 15 5 123 (15带着符号搬家”可以简便运算，125 16 利用 去括号”以及 带着符号搬家”可以简便运算,5600 (25 7)利用添括号”的性质,5600 25 7 (5600 7)25 800 25 32450 54 6 450 (54 6)450 9 50【例43】计算：111 4 9 3 74 2【分析】原式111 4 3 2(9 74)37 3 4 3 2 (3 3 37 2)4【例 44 】999999999 888888888 1333333332【分析】通过观察算式中的3个数字可以看出，它们

32、都与111111111有关，前两个数很容易看出，第三个数 1333333332 2 666666666 2 6 111111111,所以有：原式 9 111111111 8 111111111 (2 6666666669 8 111111111 1111111112 6 111111111 111111111 6 666666666【例45】东东参加智力竞猜，有道计算题他暂时算不出来，于是选择了求助场外朋友这道题是：1 (2 3 (3 4) (4 5 (5 6)等于多少？如果你是东东的朋友，你能帮东东解出来吗？【分析】根据乘除混合运算中去括号的性质：a (b c) a b c1 (2 3)(3

33、 4)(4 5) (5 6)1233445561 2 61 (6 2)3【例 46 1 (2 3 5 7 11 13 17 19)(38 51 65 77)【分析】 这道题中被除数以8个因数相乘形式出现，除数以4个因数相乘形式出现，仔细观察，可以发现被除数中的8个因数可通过交换位置两两相乘所得之积恰好分别是除数中四个因数相等，即2 1938, 31751 , 51365, 7 11 77 ,所以，这道题的计算就十分简单了.原式(219)(317) (513)(7 11) (38 51 65 77)38 51 65 77 (38 51 65 77)1【例 47 1 计算：(11 10 9 L 3

34、 2 1(22 24 25 27)【分析】 这道题中被除数以11个因数相乘形式出现，除数以4个因数相乘形式出现，仔细观察，可以发现被除数中有8个因数通过交换位置两两相乘所得之积恰好分别是除数中四个因数的倍数，即11 222 , 10 5 25 2, 96272 ,8 324 ,所以，这道题的计算就十分简单了.原式(11 2 22) (10 5 25)(9627)(8 3 24) 7 412 2 17 4112【练习11运用乘法的运算律大显身手吧，可以记录自己速算的时间啊. 17 4 25 125 19 8 125 72 25 125 16【分析】由于25 4 100, 125 8 1000,

35、125 4 500 ,运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算. 17 4 25 17 (4 25)1700 125198(1258)1919000 12572125 89 1000 99000 25125162512528(252)(1258)50 100050000或 25125162512544(254)(1254)100 50050000【练习 21计算：13×25×125×4×8=.【分析】 根据凑整的原则，将 125和8相乘为1000, 25和4相乘，最后结果为:13 25

36、125 4 8=1325 4125 8 =13 100 1000=1300000【练习3】计算：5 64 25 125 2009.【分析】把64拆成2 4 8 ,然后配方.原式 5 (2 4 8) 25 125 2009(5 2) (25 4) (125 8)200910 100 1000 20092009000000【练习4】相信你能快速的计算下面各题，我们一起来做做吧. 23 9 33 99 25 9999【分析】利用乘法分配律的公式，可以得出结果，也可以记住下面的小技巧：一个数9 ,在该数后添0,再减此数；一个数刈9,在该数后添00,再减此数；一个数刈99 ,在该数后添000,再减此数

37、23 9 230 23 20733 99 33 100 33 3267,此题也可用小技巧：去1添补”法，补”就是 补数”和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数注意：只适用于两位数乘99”.33 >99 =326733去 1是 3233的补数是6725 9999 250000 25 249975,此题也可用小技巧：去1添补，中间隔99”法，补”就是 补数”和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数注意：只适用于 两位数乘9999”.25 × 9999 =24997525去1是24中间隔99 25的补数是75【练习5】怎样计算更简便呢？ 45 9 457 99 762 999

38、34 98【分析】 45 9 45 10 45 450 45 405 457 99 457 100 457 45700 457 45243 762 999 762 1000 762 762000 762 761238 34 98 34 100 34 2 3400 68 3332【练习6】两个十位数1 111 111 111与9 999 999 999的乘积中有 个数字是奇数?【分析】 方法一： 1 111 111 111 99999999991 111 111 111 (10000 000 000 1)11 111 111 110 000 000 000 1 111 111 11111 111 111 108888888889 有10个数为奇数.方法二：1 9 9奇数的个数为111 99 1089奇数的个数为2111 999 110889奇数的个数为31111 9999 11108889奇数的个数为41 111 111 111 999999999911 111 111 108888888889显然其奇数的个数为 10 【练习7】怎样才能算得又对又快？256 1002154 60168 101 74 201【分析】681016800 68 68687420174 200 74 1480074 148742561002 256 1000 256 2256000 512256512