山东省东营市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题含解析

1、山东省东营市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题一、选择题：本题共 12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设M i2 i3 i4川i2018, N i2 i3 i4 ”|产18 , i为虚数单位,则M与N的关系是().A. M N O B. M NC. M ND. M 二 N【答案】D【解析】【分析】先根据i性质化简M , N ,再判断选项.【详解】2.3.42018. 23.4.5.67.8. 9. 102015.2016.2017.2018、M i i i i i (i i i i ) (i i i i ) (i i i i )1 01,2 .

2、3 . 42018 . 2 3.4.5.6.7.8.9.102011.2012.2013.2014.2015.2016. 2017.2018 xN i i i i i (i i i i i i i i ) (i i i i i i i i )1 11 所以 M _ N故选：D【点睛】本题考查i性质，考查基本分析求解能力，属基础题.2.下列说法中正确的是()相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r越接近于1,相关性越弱；回归直线y bx a 一定经过样本点的中心x,y ；随机误差e满足E e 0,其方差D e的大小用来衡量预报的精确度；相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越小，说明模型

3、的拟合效果越好.A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可【详解】相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r越接近于1,相关性越强，故错误回归直线y bx a 一定经过样本点的中心X, y ,故正确随机误差e满足E e 0,其方差D e的大小用来衡量预报的精确度，故正确相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误综上，说法正确的是故选D本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题3.己知 A(2, 5,1),B(2, 2,4),CB(1,2,3),则向量AB与献的夹角为.A. 30

4、B. 60C. 120D. 150.将数量积公式进行转化，可计算cosab,aC ,从而可求因为 B 2, 2,4、cB 1,2,31, 4,1 ,则 AB0,3,3、aC1,1,0 ,所以cosA，A，AB, AC 60 ,故选：B.本题考查空间向量的夹角计算，难度较易.无论是平面还是空间向量的夹角计算，都可以借助数量积公式,对其进行变形，先求夹角余弦值，再求夹角4.内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的边长为(R.A. 一和23R24R 加 7RB.和55C.D.迪和延5作出图像，设矩形ABCD,圆心为O ,AOB,再根据三角函数关系表达矩形的长宽，进而列出周长的表达式，根据三角函数的性质

5、求解即可【详解】如图所示：设矩形 ABCD, AOB由题意可得矩形的长为 2Rcos，宽为Rsin故矩形的周长为4Rcos2Rsin 2.5sin故矩形的周长的最大值等于2，5,此时,sin1.故矩形的长为1._ sin-51,再由sin22cos1可得cos2Rcos晅，宽为5Rsin5R5.21，其中，sin -=,cos -=.、5. 5，需要根据题意设角度，结合三角函数与图故选：D.本题主要考查了根据角度表达几何中长度的关系再求最值的问题 形的关系求出边长，再利用三角函数的性质求解.属于中档题.5i5,复数 7-（i是虚数单位）的虚部是（）1 2iA.2B. 1C. 2iD. i利用复

6、数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轲复数，化简复数z,从而可得答案.【详解】” 5i 5i 1 2i 10 5i,2 i ,1 1 2i 1 2i 1 2i 5复数-的虚部是1. 1 2i故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轲复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分6.将函数f（x） sin 2x的图象向右平移 一个单位长度得到 g x图象，则函数的解析式是（）6A. g x sin 2x 一b

7、. g x sin 2x 36C. g x sin 2x d. g x sin 2x 一36【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论.【详解】可得 g x sin 2( x )由题意，将函数f(x) sin 2x的图象向右平移 一个单位长度， 6sin(2 x -).故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型7 .已知直线mx y 2 0与直线x ny 3 0垂直，则m,n的关系为()A. m n 0 B. m n 1 0C. m n 0D. m n 1 0【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直，列出等量关系，化简即可得

8、出结果 【详解】因为直线mx y 2 0与直线x ny 3 0垂直，所以m 1 1 n 0,即m n 0选C【点睛】根据两直线垂直求出参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型3n2 n8 .已知n N，用数学归纳法证明 f(n) 1 4 7 HI (3n 2) 一/时.假设当n k (k N )时命题成立，证明当 n k 1时命题也成立，需要用到的f k 1与f k之间的关系式是()A.f (k1)f(k)3k5b.f(k 1)f (k) 3k2C.f (k1)f (k)3k1d.f(k 1)f (k) 3k4【答案】C【解析】【分析】分别根据已知列出 “勺和£(卜1),

9、即可得两者之间的关系式 .【详解】由题得，当 n k时，f(k) 14 7(3k 2),当n k 1时，f(k 1) 1 4 7(3k 2) 3(k 1) 2,则有 f (k 1) f(k) 3k 1 ,故选 C.【点睛】本题考查数学归纳法的步骤表示，属于基础题9 . 6名同学安排到3个社区A, B , C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到 A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为()A. 5B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】分析：该题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在 B社区，另一类是乙和丙在 B社区，计算出每一类的数据，然后

10、求解即可详解：由题意将问题分为两类求解：第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为a2 A3 6种；第二类，若乙与丙在 B社区，则A社区还缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为A3 3种；故不同的安排种数是 6 3 9种，故选C.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理，在解题的过程中，对问题进行正确的分类是解题的关键，并且需要将每一类对应的数据正确算出.10 .在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是()A. 一,1B. 1C. 0,1D, 1,022【答案】B【解析】【分析】先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可.【详解】圆 2s

11、in 化为 2 2 sin , x2 y2 2y,配方为 x2 (y 1)2 1 ,因此圆心直角坐标为(0,1),可得圆心的极坐标为1 2故选B【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础.11.已知等比数列an的各项均为正数，前 n项和为Sn,若a2 2§ S4 6a4 ,则a5A. 4B. 10C. 16D. 32【答案】C【解析】 223由 S6S4a6a56a4 得，q q 6a40,q q 6 0 ,解得 q. 2 ,从而a5a22 =2 8=16,故选C.12.设 Tfl =： 5 克ILL + COS A)立X则.的展开式中的常数

12、项为A. 20B. -20C. 120D. -120【答案】B【解析】【分析】先利用微积分基本定理求出|一的值，然后利用二项式定理展开式通项，令，的指数为零，解出相应的参数值,Ilin.nn代入通项可得出常数项的值。【详解】二11二居CSsinx=(nox 5皿3二项式一的展开式通项为一门卜3公+:三舞*5令6 2r='。，得，- =3，因此，二项式的展开式中的常数项为故选：B.【点睛】本题考查定积分的计算和二项式指定项的系数，解题的关键就是微积分定理的应用以及二项式展开式通项的应用，考查计算能力，属于中等题。二、填空题：本题共 4小题 13 .设0 P 1,若随机变量 的分布列是:1

13、 t)r 12户p21 2”尸2则当P变化时,D()的极大值是【解析】分析:先求出E(),再求D()，利用二次函数的图像求的极大值.详解：由题得E( ) 0 2所以D( ) p(32 21所以当p 1时，D2 1故答案为：-.2.1 _ 1 p12 -222112P)2(- P),1的极大值是-.232 P，1 P J三 (2P)221P P 4(0 P 1)点睛：(1)本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)对于离散型随机变量,如果它所有可能取的值是 X1 , X2,，Xn,，且取这些值的概率2,分力1JjE P1 ,P2 ,Pn ,那

14、么 D = (X1E )P1 + (X222E ) P2+ (Xn E ) Pn14.已知复数 乙对应复平面上的点3, 4 ,复数Z2满足乙。 乙，则复数Z2的共轲复数为先计算复数Z1的模，再计算复数Z2,最后得到共轲复数复数乙对应复平面上的点3马团复数z2的共轲复数为,3 4故答案为一 i5 5【点睛】3, 4Z1534一一i3 4i553 4 i5 5本题考查了复数的运算，复数的模，共轲复数，意在考查学生的计算能力2215.若z是关于x的方程x 2x m 8 0(m R)的一个虚数根，则|z 1|的取值范围是 【答案】(2,) 【解析】【分析】由判别式小于0求得m的范围，设z= a+bi

15、(a, b贝)，利用根与系数的关系求得a值及b与m的关系，进一步求忆+1| ,则答案可求.【详解】解：由 = 4 4 ( m2 8) < 0,解得 m2> 1 .设 z = a+bi (a, bCR),贝U 2a= 2, a= 1,a2+b2=m28,即 b2=m21.|z+1| = | (a+1) +bi|=|2+bi|44 b2 m5 c (2, +oo).故答案为：(2, +8).【点睛】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题.16 .函数g(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数，f(2)0 ,当x>0时，xg(x) f (x) 0,则使

16、得f(x) 0成立的x的取值范围是根据条件构造函数上区 x其导数为g(x)x2f(x)x【答案】(2,0) |J(2,)可知函数偶函数 f(x) 在x>0时是减函数，结合函数 x零点即可求解.构造函数工四,其导数为xg(x)x f (x)g')2一口，当 x>0 时, xg(x)x f (x) cf (x)y2 0,所以函数 一5单倜递减，又xx所以当x 2时，上凶 x因为f(x)为奇函数，所以0,即 f(x) 0,上3为偶函数，所以当 xx即f (x) 0的解为2 x 0,综上x的取值范围是f (x) c0时，一 0的解为2x0, x(2,0) U (2,).本题主要考查

17、了抽象函数，导数，函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点，属于难题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .用数学归纳法证明：当 n N*时，32n 1 2n 2能被7整除.【答案】见解析【解析】【分析】运用数学归纳法证明，考虑检验n 1成立，再假设n k成立，证明n k 1时，注意变形，即可得证.【详解】证：当n 1时，32n 1 2n 2 33 23 35,能被7整除；假设n k时，32k 12k 2能被7整除，那么当n k 1时,32k 3 2k 3 932k 12 2k 2 7 32k 1 2 32k 1 2 2k2 7 32k 1 2 (32k 1 2k 2),由于

18、32k 1 2k 2能被7整除，7 32k 1能被7整除，可得32k 3 2k 3能被7整除，即当n k 1时，32k 3 2k 3能被7整除；综上可得当n N*时，32n 1 2n 2能被7整除.【点睛】本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设p(n)是关于自然数n的命题，若1 P(%)成立(奠基)；2假设P(k)成立(k?no),可以推出P(k 1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于 小的自然数n都成立.属于基础题.18.新高考方案的考试科目简称“ 3 1 2”， “提指统考科目语数外， “嘴在首选科目 物理、历史”中 任选1门，“2”指在再选科目 化学、生物、政治和地理”中任

19、选2门组成每位同学的 6门高考科目.假设学 生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等(I )求某同学选修“物理、化学和生物”的概率；4(n)若选科完毕后的某次“会考”中，甲同学通过首选科目的概率是 4,通过每门再选科目的概率都是53 -,且各门课程通过与否相互独立 用 表示该同学所选的3门课程在这次“会考”中通过的门数，求随4机变量的概率分布和数学期望.1一【答案】(I) ； (n)详见解析.12【解析】【分析】(I )显然各类别中，一共有 C2C2 12种组合，而选修物理、化学和生物只有一种可能，于是通过古典概率公式即可得到答案;(n)找出 的所有可能取值有 0,

20、1, 2,3,依次求得概率，从而得到分布列和数学期望【详解】解：(I )记“某同学选修物理、化学和生物”为事件A,因为各类别中，学生选修每门课程的机会均等11则 P(A) -tt ,C2c212答：该同学选修物理、化学和生物的概率为(H)随机变量的所有可能取值有0, 1,2, 3.因为P(0)80p(i)c2p(2)c23380P(3)9200123P1-3398088020所以的分布列为L 110所以数学期望E( ) 0-1-0280803380。36 233 80 10本题主要考查分布列和数学期望的相关计算意在考查学生处理实际问题的能力，对学生的分析能力和计算能力要求较高.19.某厂生产某

21、产品的年固定成本为250万元，每生产万千件，需另投入成本C&Ty(万元)，若年产量不足弓口千件，1段-的图象是如图的抛物线，此时 Q唠V Q的解集为(一制)出)，且？0rj的最小值是75，若年产量不小于目千件，每千件商品售价为 50万元，通过市场分析，该厂生产的货)=等-i45a商品能全部售完关于年产量X (千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【答案】(1)/*； (2)当年产量me千件时，该厂在这一商品的生二式十4(h 250冉：丁 <8012。-;K+壬3建上时 ®产中所获利润最大为(1)由题可知，利润=售价-成本，分别

22、对年产量不足 go件，以及年产量不小于go件计算，代入不同区间的解析式，化简求得:k+ 4fe - 250tJB1<M VfflQ12g(k+口 > SO(2)分别计算年产量不足 加件，以及年产量不小于 80件的利润，当年产量不足 80件时，由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于 自由件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为too件时,利润最大为1口。万兀.(1)当0 Vxy 阮时，乂#=5(33-我那-25 口 = 5年-3*一1 以-25。= -+必+$以25 /当“之眈时'L(s3=5_ cW_250 =蓟我 一 51比一喑+ 1+50

23、- 250 1200-(x4 等)'所以-RM 已 2V ).-料+ 私-21200 - 矗士> 则(2)当 0 Vxy 8。时，乂用二一±-如W-250 =-幺乂-&0-95。此时，当无=加时，“的取得最大值6吗=躬。万元当北三BO时，“由=1200-(i1200 -212NJ - 2DO = 1 Odfl此时，当.皿驷时，即二=同。时，取得最大值luoi唠=1。01万元， 所以年产量为 工口件时，利润最大为 103万元.考点：？20.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站， 过去50年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水

24、之和.单位：亿立方米)都在 40以上，其中，不足 80的年份有10 年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，如将年人流量在以上三段的频率作 为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过 120的概率；(0.93 0.729, 0.94 0.6561)(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行最多，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年流入量40 X 8080 X 120X 120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为4000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损600万元，欲使水电站年

25、总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【答案】(1) 0.9477; (2) 2台.【解析】【分析】(1)求出 P1 P(40 X 80) 0.2, P2 p(804x(120) 0.7, p2 p(x 120) 0.1,由二项分布，未来 4 年中，至多有1年的年入流量超过 120的概率.(2)记水电站的总利润为 Y (单位，万元)，求出安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机时 Y的分布列和数学期望，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机的台数.【详解】10解：(1)依题意，p1 P 40 X 80 一 0.2,5035 p2p 80 x 1200.7 ,505

26、p2p x 120 0.1 ,50由二项分布，未来 4年中，至多有1年的年入流量超过 120的概率为：40413991p C4 1P3C4 1P3 P34 3 0.9477 101010(2)记水电站的总利润为 Y (单位，万元)安装1台发电机的情形：由于水库年入流总量大于 40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润 Y 4000,E Y 4000 1 4000,安装2台发电机的情形：依题意，当40 X 80时，一台发电机运行，此时 Y 4000 600 3400,因此 P Y 3400 = P 40 X 80pi 0.2,当X 80时，两台发电机运行，此时 Y 4000 2 8000,因

27、此，P Y 10000 =PX 80 P2 F3 0.8,由此得Y的分布列如下Y34008000P0.20.8所以 E Y 3400 0.2 8000 0.8 7080.安装3台发电机的情形：依题意，当40 X 80时，一台发电机运行，此时 Y 4000 1200 2800, 因此 P Y 2800 P 40 X 80p1 0.2,当80 X 120时，两台发电机运行，此时 Y 4000 2 600 7400,因此,P Y 7400 =P 80 X 120 p2 0.7,当X 120时，三台发电机运行，此时 Y 4000 3 12000,因此，P Y 12000 =PX 120 p3 0.1,

28、由此得Y的分布列如下Y2800740012000P0.20.70.1所以 E Y 2800 0.2 7400 0.7 12000 0.1 6940.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，是中 档题.，一 ，一-2 ,，一21 .已知函数 f x 2 x ax In 1 x 2x .(1)若 a 0,证明：当 1 x 0时，f x 0；当 x 0时，f x 0；若x 0是f x的极大值点，求a .【答案】(1)见解析a -6【解析】分析：(1)求导，利用函数单调性证明即可.f x(

29、2)分类讨论a 0和a 0,构造函数h x 2,讨论h x的性质即可得到 a的范围.2 x ax详解：(1)当 a 0时，f x 2 x ln 1 x 2x, f x In 1 x x-.1 xxX设函数 g x f x In 1 x ，则 g x2 .1 x1 x当1 x 0时，g x 0；当x0时，gx 0.故当x1时，g x g 0 0,且仅当x 0时,g x 0,从而f x0,且仅当x 0时，f x 0.所以f x在 1,单调递增.又 f 00,故当 1 x 0时，f x 0；当 x 0时，f x 0.(2) (i)若a 0,由(1)知，当 x 0时，f x2 x In 1 x2x 0 f 0 ,这与 x 0 是 f x的极大值点矛盾(ii)若 a0,设函数h x 2f x2 In 1 x x ax2x2 x ax2由于当min1,J时，2|a|x ax2 0 ,故h x与f x符号相同f 00,故x 0是f x的极大值点当且仅当 x 0是h x的极大值点212 2 x ax 2x 1 2axh x 21 x2 x ax2