一元一次方程根与系数的关系1

1、基本信息课题义务教育课程标准实验教科书 数学 九年级 上册 第二十二章第四节 一元二次议程的根与系数的关系作者及工作单位李绍和 防城港市防城区防城中学教材分析一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，然后通过例4介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的两根和与两根积，进一步深化为求特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。学

2、情分析1从上节的作业完成来看，学生对一元二次方程的公式法掌握比较好，能利用公式解方程。可顺势用公式法去推导根与系数的关系。2学生在已有知识的基础上，有一定探索新知识的能力，同学间有一定的合作交流学习能力，可以让学生在解出具体方程根的基础上探索一般情况下的根与系数的关系的规律3学生认对字母的运算感到比较吃力，这在推导根与系数关系时有一定的困难，在知识的综合运用上灵敏度不高，需要在一定程度上引导如何运用综合知识去解决综合性题目。 教学目标 1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根

3、的倒数和与平方数，两根之差。2、过程与方法：经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，通过对待特例的研究得出结论再通过推导证明一般性的结论。3、情感、态度与价值观：经历观察、比较、总结和应用等教学活动，感受数学活动充满探索性与创造性，体验发现的快乐。 教学重点和难点 教学重点： 一元二次方程根与系数的关系的掌握和运用。教学难点： 一元二次方程根与系数的关系的证明。教学过程教学环节教师活动预设学生行为设计意图 一、复习旧知。1、用规定的方法解方程（要求学生上黑板板书X2+6X+8=0（用因式分解法） 2X2-7X+5=0（用公式法）2、在学生在点评黑板板书过程中复习一元二次方程的求根公式X= (

4、b2-4ac0) 二、问题引探。1、分别计算X2+6X+8=0、2X2-7X+5=0的两根和与两根的积，然后观察它们与一元二次方程的系数a、b和常数项c三者间有什么关系？2、请你根据以上的观察发现进学生一步猜想：一元二次方程aX2+bX+c=0(a0，b2-4ac0)的两个根X1、X2与a、b、c之间的关系。3、你能证明上面的猜想吗？请证明。（分小组讨论以上问题，并根据以下提示作出推理证明）根据求根公式aX2+bX+c=0(a0)的两个根为X1、= X2= ；则X1+X2= + = ；X1X2= 。三、总结归纳让学生根据证明过程口述字母和文字归表达得出一元二次方程aX2+bX+c=0(a0)的

5、根与系数的关系。板书：一元二次方程aX2+bX+c=0(a0)的根与系数的关系：如果的两根是x1，x2，那么X1+X2=-b/a X1X2=c/a四、尝试发展1、想一想：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1、x2、k是常数）（1）X2-3x+1=0X1+X2= _ X1X2= _（2）3X2+5x=0 X1+X2= _ X1X2= _（3）5x2+x-2=0X1+X2= _ X1X2= _（4）5x2+kx-6=0X1+X2= _ X1X2= _（让学生口头回答并口头点评）2、自学课本例题4提出疑问，学生分组讨论解惑。老师点评。并强调书写格式，然后练习课本45页第

6、1题。（让学生上黑板板书解题过程，并让学生口头点评。）3、练一练：已知2x2+4x-6=0 的两个根分别为X1、X2不解方程，求下列代数式的值。（1 ） X21+X22 （2） X21-X22 （3）/X1-X2/ （先让学生分组讨论明确解题思路再动笔计算。）4、试一试：在X1+X2=-b/a，X1X2=c/a中，如果知道四个量中的三个量，你能求余下的一个量吗？（1）已知方程6x2+kx-5=0的一个根为-1，求它的另一个根及k的值。（2）已知一元二次方程X2+bX+c=0的两个根为2和4，求b、c的值和是多少。（先让学生分组讨论明确解题思路再动笔计算。）五、拓展创新1、已知关于X的一元二次方

7、程X2+(2m+5)X-22=6的两个根为互为相反数，求m的值和方程的两个根。2、已知等腰三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个根，此三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长。3、已知关于x的方程x22mx+ m-2=0.其中x1、x2分别是一个等腰三角形的腰和底边的长. （1）求证这个方程有两个不相等实数根.（2）若方程的两个实数根差的绝对值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个等腰三角形的边长。六、课堂小结：本课主要学习了什么？1、一元二次方程方程ax2+bx+c=0（a0)的根与系数的关系：当b2-4ac0时，x1+x2 =-b/a，x1x2=c/a。2、方程根与系

8、数关系的有关应用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。七、作业：课本43页7题巡查学生的计算板书情况，并个别矫正计算中的错误。老师点拨同学的板书证明过程，并引导学生总结出一般性的公式。个别提问学生，要求学生说出答案后，并说明为什么得出这样的结果组织学生质疑，并组织学生回答学生所提的问题。巡查观看学生的板书过程，并组织好学生讨论。引导点清数量关系引导学生口头复述部分同学能观察总结出X1+X2=-b/a，X1X2=c/a大部分同学会在证明的计算过程中不会演算，不能得出一般性的结论。第（2）小题常数项为0，有些学生可能一下找不出来；第（4）小题一次项系数为K，可能学生不习惯用字母

9、代替数字，会出现错误。例题4较简单，学生一般都能看得懂，问题不会很大。有同学会一时想不起完全平方公式，可作适当的回忆复习。学生根据公式中的4个量去列方程计算时，可能一下子不知选择那个关系，老师要；加以引导。在知识的综合运用中，学生的新旧知识融合并灵活运用有一定的难度。知识点不多，复述所学内容应不成问题。作业难度不大，学生一般能独立思考后完成。通过求出方程具体的解，为引导学生观察根与系数的关系作铺垫 采用“实践观察发现猜想证明”的过程，使学生既动手又动脑，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的归纳总结能力。想一想的习题作为直接巩固知识而用，

10、强化训练根与系数的关系记忆。 通过自学例题，培养学生的自学能力、交流能力。练一练设计意图：把根与系数的关系与完全平方和绝对值的意义相结合，提高知识间的联系运算能力试一试设计意图：注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。拓展创新设计意图：培养学生思维的发散性教学设计，使有的学生的奇异思维得到发展。课堂小结对整节课的内容进行温习，利于强化知识的巩固。留一些课外作业，有利于强化课外复习。板书设计一元二次方程根与系数的关系如果ax2+bx+c=0（a0）的两根是x1，x2，那么X1+X2=- a/b X1X2 = c/a 学生学习活动评价设计 学生课堂学习评价表 班级 姓名 座号 项目A级B

11、级C级自我评价同学评价老师评价认真听课认真、练习认真、讨论态度认真。听课认真、练习认真、有时参与讨论。听课不认真、练习不完成、不参与讨论。积极积极发言积极讨论有时发言有时参与讨论不发言，不参与讨论自信大胆提出不同问题，大胆表达自己的想法有时提出不同问题，尝试表达自己的想法从不提出不同问题，不表达自己的想法与人合作善于与人合作，虚心听取别人意见能与人合作，能接受别人不同的意见。缺乏与人合作精神，难以听取别人意见。思维条理解决问题条理清楚，表达意见有条理能表达自己的意见，能解决问题，但条理性差不能表达自己的意见，不能独立解决问题。创造思维能用不同的方法解决问题解决能按老师的方法解决问题。不能独立思

12、考解决问题完成练习全部完成并且全对全部完成但不全对不能全部完成教学反思针对这节课的教学设计，我自己认为是符合我校的学生情况的，是实实在在的落实了。虽然这节课上完之后不能令自己满意，但是还是有一些经验值得保留的。下面，我就对这节课的教学环节的处理进行一个回顾。一、旧知识复习承前启后。 探究活动前复习一元二次方程的解法，特别是用公式法解一元二次方程，为探究活动提供了特殊的数据关系和一般形式关系的提供了平台，使新旧知识过度自然。 二、探究活动环节较好 。 教师在教学过程中注重了知识的形成过程，设计精细，学生在活动过程中教师对探究要求指向性明确，要求到位,学生活动非常充分。通过学生的动手实践、合作交流

13、，使每一个学生都参与其中。在学生活动过程中，教师进行巡视指导，关注到了每一个学生。在学生活动结束，教师要求学生进行汇报的过程中，也对汇报的内容提出了明确的要求，使学生能够有效的进行回答。不足之处，学生在进行探究活动时，最后一步要进行验证，学生板书花的时间过多，造成后面的教学时间较紧张。 三、板书一元二次方程根与系数的关系简洁明确。 四、例题自学点评到位。 课本例题难度小，学生可以通过自学、分组讨论解决疑问，再通过老师的点评便顺利过关，充分发挥学生的主动性，并培养学生的自学能力和合作交流能力。 五、 应用知识，培养能力有坡度。 在教学中，选取了三个不同层次的习题和，由易到难，由特殊到一般，步步深

14、入，层层展开。使学生进一步理解根与系数的关系，多角度地巩固，培养学生的发散思维能力。 六、课堂小结，回顾知识及时。 为了使学生对本节课所学内容有一个整体的感知，教师向学生提出本节课你学了什么的问题。让学生在自由发言、互相补充所学内容的过程中，回顾了本节课的学习内容和重点。师生共同总结了本节课的知识、方法、体验和感受，使学生的收获进一步得到提升。 七、布置作业，巩固知识 老师选取了两个不同层次的作业，一个是教材中的基础题，目的是进一步巩固知识；另一个是提高题，让学生在已有知识的基础上有进一步的提，为以后的教学埋下伏笔。 还有的是我认为本节课有两方面做得比较好： 1. 教学目标明确、具体，符合课程标准的要求和学生的实际水平 。教学目标的确定体现了课程标准对学生在知识与技能、过程与方法方面的要求，也体现了课程标准对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求。 2. 教师营造了宽松和谐的学习氛围，使学生得到了良好的学习和情感体验 。本节课的教学方式以教师启发讲授，小组讨论，合作探究为主，并与体验学习相结合， 使学