山东省青岛市黄岛区2020届高三数学上学期期中试题含解析

1、高三【学上学期期中试(含解析)山东省青岛市黄岛区2020届-1-A. 0,2B. (0,2C.00D. (0,e一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ,集合4 ="£冏/-2x>0,集合5 = xllnx-l«O,则硕8 =( )2 .若点Msin,cos在角夕的终边上，贝ijcos2e=(【答案】C【解析】【分析】分别由集合48求出对应x范围，先求再求(：A)U8即可【详解】4 =卜£穴,2一2_¥)0 = /1 = 小)2或_¥<0

2、, 0 = .|0<<2)B = x I Inx-1 < 0 => B = 10 < x < ,则(44)u 8 = xO < a < e故选：C【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题先将点M； sin华-,结合同角三角函数先求出cosa,再 乙【解析】【分析】结合二倍角公式求出cos 2a即可详解故选：B【点睛】本题考查三角函数值的化简，同角三角函数的基本求法，二倍角公式的应用，属于基础题3.已知平而向量而= (2,1), AC = (-3r,3),若通衣，则瓯卜()A. 25/5B. 205【答案】A【解析】【分析】 根据两个向量平行的

3、坐标表示列式求得/ =-2,再根据BC = AC-AB求得向量的坐标,然后求得模长.【详解】因为平而向量而= (2,1), AC = (-3r,3),且而/公，所以2x3 lx(3f) = O,解得/=-2,所以恁= (6,3),所以比二/一检=(6-2,3-1) = (4,2)所以 I 坛 1= J(4)2+2? = 2寻故选:A【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,考查了求向量的模长，属于基础题./、4 - ,x>3/、4,已知函数/(x)弓,则l + k)g3 4)=()f (x + l),x<344IXAB.±36【答案】C【解析】【分析】先判断括号内l+log3

4、 4w(2,3),需代入第二段表达式，得f(l+log3 4) = f(2+log3 4),由2 + log34£(3,4)继续代入第一段表达式即可求解/ - 2+k)g34'logH+logH/ 'logs%【详解】/(l + log34) = /(2 + log34) = 4x-=4x -=4x|-= 4x3-logj36=4x3,og,：=-9故选：c【点睛】本题考查分段函数中具体函数值的求解，对数的基本运算，对数恒等式的使用，属于基础题5若先将函数y = 2sin 2x + f的图象向左平移二个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不 3 76变横坐标伸长为原来的2

5、倍，得到函数丁 = »(月的图象，则g -0=()A. 1B. _耳C.D.也【答案】C【解析】【分析】结合函数图像平移法则求出丁 = g(x)表达式，再代值运算即可【详解】由题可知，y = 2sin； 2x + ")的图象向左平移*个单位后的表达式为：y = 2sin2v + + -j = 2sin| 2x + ? | = 2cos(2x + ),再将所有横坐标伸长为原来的2倍，表达式变为:【点睛】本题考查由函数图像的平移法则求平移之后的解析式及具体的函数值，属于基础题【答案】C【解析】ln(x1 A. B_一C. 3【答案】D【解析】【分析】 可观察两个式子整体特征，一

6、个为单倍角，一个为二倍角，则考虑先对cos|a-? -4x + 4) in( v-2?,因为/(x) =-所以函数x)的图象关于点(2,0)对称，排(x 2)(工-2)除 A, B.当 x<0 时，In(x 2>O,(x 2)3 vO,所以/(x)vO,排除 D.选 C.7.已知cos a- = -9 则sin -2a =()=整体求二倍角，再根据诱导公式进行合理转化即可79sin -= sM"6)(62a =sin 2a- -)6 J3 J 3I 6则sin79故sm 7" 。=-6故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换及诱导公式的使用，熟悉单倍角与二倍角公式转

7、化，熟练运 用诱导公式是解题的关键，属于中档题8 .设。，仅为两个平而，则的充要条件是（）A.。内有一条直线与夕垂直B.夕内有一条直线与夕内两条直线垂C.。与月均与同一平面垂直夕与月均与同一直线垂直【答案】A【解析】【分析】结合面而垂直的判定定理即可求解【详解】对A,符合而面垂直的判定定理描述，正确：对B,两平面斜交时，若,内的直线垂直于两平面交线，而夕内两条直线与交线平行时，符合描述，但两平而不垂直，故错误；对C,垂直于同一平面的两平面也可能平行，故错误；对D,垂直于同一直线的两平而平行，故错误：故选：A【点睛】本题考查面而垂直的性质与判定，属于基础题9 .若函数f（x） = sin2xsi

8、ne+2cos2185°859（0夕乃）的一个极大值点为1,贝ij案】D 【解析】 【分析】 先将表达式结合二倍角公式和两角差的余弦公式化简，再采用待定系数法即可求解 【详解】f (a) = sin 2xsin + 2cos2 x cos (p - cos(p = sin2xsin(p + 2 cos2 x-l)cos? =sin2xsin(p+cos2xcos= cos(2x-cp),因为/(x)的一个极大值点为口，所以 O八汽= cos 2x 6(p =1,解得夕=二+ 2攵乃, eZ ,又。乃，故尹=£/33故选：D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式和两角

9、差的余弦公式的使用，属于基础10.英国数学家泰勒发现了如下公式：cosx = l-'H1x2 Ix2x3x41-.Ix2x3x4x5x67则下列数值更接近cos0.4的是()A. 0.91B. 0. 92C. 0. 93D. 0. 94【解析】 【分析】 根据表达式特点可写出通式，再分为奇数和偶数分类讨论即可【详解】由题知cosx = l + (-l)1-? + (-l)2FIx2x3x4(7)3Ix2x3x4x5x6题设要求精确到0.01即可,0 42当为奇数时，由于1一一- = 1-0.08 = 0.92,1x20.440.46Ix2x3x4 Ix2x3x4x5x6>0,rr

10、rl 八彳 t 0.420.440.46eg所以cos0.4 = 1 1+ > 0.92 ：1x2 Ix2x3x4 Ix2x3x4x5x60 420 44当为偶数时，由于1 一上- + t一>0.921, 1x2 Ix2x3x4vO,0.460.48+ Ix2x3x4x5x6 Ix2x3x4x5x6x7x8C-吐+上0.460.481x2 Ix2x3x4 Ix2x3x4x5x6 Ix2x3x4x5x6x7x8+ .<0,92111综上所述，cos0.4、0.92 故选：B【点睛】本题考查新定义的理解与使用，找出规律，学会分类讨论是解题的关键，属于中档二、多项选择题：本大题共3

11、小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得。分.11.下列结论正确的是（）A.若 a1 对于 D,由曲>0, a+b = .贝ij - + - ci h) > b21 则一< 7 a b4B.若x>0,则x + N4xC.若则D.若 ab > 0, a+b = i,则, +1之4 a b【答案】BCD【解析】【分析】根据不等式的性质举反例可判断A；利用基本不等式可判断B：由对数函数的单调性可判断C：由基本不等式可判断D.【详解】对于A,若a2 >1/,则|。|>网，当。=

12、2, = 一1时，不成立，故A错;对于B,由x>0,则1+ ±22，己=4,当且仅当x = 2取等号，故B正确;对于C,由y = igx为单调递增函数，由。则故C正确:(t/ + Z7) = l + + - + l>2 + 2-y = 4 ,当且仅当。=人=1时取等号，故D正确:2故选：BCD【点睛】本题考查了基本不等式的性质、基本不等式以及对数函数的单调性，属于基础题.12.在正方体A8CO 4用G2中，下列直线或平而与平面平行的是（A.直线B.直线8片C.平而A£)GD.平面4 g【答案】AD【解析】分析】作出正方体，由线面平行的判定定理可判断A、B；由而面

13、平行的判定定理可判断C、D.【详解】如图AB由AB|RC,且其田0平而?!。, RCu平面ACR,故直线48与平而ACQ平行，故A正确： 直线8约。|, 0 A与平面ACA相交，故直线8片与平面ACA相交，故B错误;由图，显然平面A|£)G与平而ACA相交，故C错误：由 48|OC, AC|AG ,且 A18nAic=A，ACfDlC = C ,故平面48G与平面AC2平行，故D正确：故选：AD【点睛】本题主要考查了线面平行、而面平行的判定定理，考查了学生的空间想象能力，属 于基础题.13 .若函数f(x) = e、-l与g(X)= O¥的图象恰有一个公共点，则实数。可能取

14、值为()A. 2B. 0C. 1D. -1【答案】BCD【解析】【分析】作出/(力=炉-1的图像，利用数形结合可判断满足恰有一个公共点：当>0时，需直线与曲线相切即可.由/(1) = /一1 与g(x) = at恒过(0,0),如图，当“K0时，两函数图象恰有一个公共点，当a > 0时，函数/(x) = - - 1与g (戈)=ax的图象恰有一个公共点，贝ijg(%) =成为/(x) = e、- 1的切线，且切点为(0,0),由尸(x) = e1 所以a = /lO) = e°=l,综上所述，。=0，-1或1.故选：BCD【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考

15、查了数形结合在解题中的应用，属 于基础题.第II卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.(I 14 .声强级乙(单位：四)由公式乙=101g n-给出，其中/为声强(单位：卬/).11U /(1)平时常人交谈时的声强约为10"卬/?2,则其声强级为 dB；(2) 一般正常人听觉能忍受的最高声强为lW/，能听到的最低声强为1。72卬/,则正常人听觉的声强级范围为 dB.【答案】 (1). 60(2). 0,120【解析】【分析】根据定义，代入数值，结合对数运算性质即可求解：【详解】(1)当=10«卬/时，LlOlgl j = 101gl0 时，sin - = -

16、1,当 =4时，sin = 0 22=60；-23-(2)当，2 = 1W/时，。=10怆1IF17= 101gl012 = 120f当/3=1。"2卬/,时，4= 1。怆(IO-)=0,则正常人听觉的声强级范围为0120他故答案为：60： 0J20【点睛】本题考查指数与对数的基本运算，属于基础题15,已知等差数列4满足：出+怎=%=5,则数歹叫sin和等于【解析】【分析】2万、的前2019项2 )由+%=% =5计算出数列qj的通项公式，再根据新数列的周期性特点即可求解【详解】由生+。3 =% =5可得a2 + eg =2aA+3d =5 a5 = a1+ 4c/ = 5贝 ij

17、sin< sin -7T，当 =1 时, 12 )sin = 1,当 =2时，sin = 0 ,当 =3 22，通过列举发现新数列是一个周期为4的循环数列，记" = sin 2(2 )，S为也前项和，则b = 1 也=0也=-1也=°, 2019 =504(4 +b2 +b3 +bj+bx +b2 +b3 =0故数列, sin j今乃) 的前2019项和等于0 故答案为：0【点睛】本题考查等差数列通项公式 求解，周期数列前项和的求解，三角函数的周期性,属于基础题16 .在AA3C中，内角A，B，C所对的边分别为。，b, c,若sin- A + sin2 B = sin

18、2 C + sin/lsinfi » AA3C的面积S = JJ,则c 的取值范围为.【答案】c>2【解析】【分析】结合正弦定理角化边及余弦定理，可得cosC = L,再由正弦定理面积公式求得。/? = 4,再结 2合余弦定理cos C => 2"放缩即可求解2ab 2ab【详解】由题sin1 A + sin1 B = shv C + sinAsinB=>a2 +lr =c2 +ab=>a2 +lr -c2 =ab = 2abcosC ,求得cosC = L,又因为S = LasinC = 6 = a = 4,由余弦定理及不等式性质可得： 22ci

19、+ b c 2ab_c nn 1 8 c-. 氏/口 .cosC =>,即一之，化简得cN22ab lab 28故答案为：c>2【点睛】本题考查正弦定理角化边，正弦的而积公式，余弦定理解三角形，不等式的基本性质，属于中档题17 .已知三棱锥P48c的三条侧棱Q4, PB，PC两两互相垂直，且尸A = PB = PC = 2,则三棱锥尸一 ABC的外接球与内切球的半径比为.答案出g回2【解析】【分析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进行求解.【详解】以BA，PB, PC为过同一顶点的三条棱，作长方体，由PA = PB = PC = 2,可

20、知此长方体即为正方体.设外接圆半径为R,则R=，4 + 4 + 4 =g2设内切圆半径为厂，则内切圆的圆心到四个而的距离均为人112由 §(SACP + Sapb + SpcB + SABC ) ,r = - , SpcB AP,解得 r =二存R_ . _3（君+1）所以 I = 2 ，3 +有故答案为：3（肉1）2【点睛】本题主要考查了多面体的内切球外接球问题、等体法求距离，考查了学生的空间想 象能力，属于中档题.四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.在AA3C中，E，尸分别为线段8C，AC上的点，EF / / AB，A5 = 3, EF = 2,A

21、E = 2f3 Z.BAC =.（1）求 NE4C：（2）求8c的长度.【答案】V；（2） 373【解析】【分析】AF EF（1）先画出大致图像，在三角形中由正弦定理可得一一,进而求 sin Z.AFE sin /EAF出sinNEA/结合三角形内角特点即可求解；2（2）由（1）的结论可得，AA"为等腰三角形，求出AP = EF = 2,再由相似三角形可求AC = 6,对AA3C采用余弦定理8。2=482+4。2-2乂43乂人。乂：0$/区4。即可求解：(1)在 AABC 中:在MFE中由正弦定理知:AE _ EFsin ZAFE - sin ZEAF=sin /EAFEF/AB,所

22、以 NAFE = ±3又因为NA庄=2工为钝角，所以NEAf=3. 36(2)因为44庄=至，ZEAF =-,所以NAE/=三，AF = EF = 2,366CF又因为 EF/AB, AB = 3, EF = 2,所以 = 2,即 AC = 6, AF在AA3C中由余弦定理知:BC2 = AB2 + AC2 - 2 x A3 x AC x cos ABAC = 27 ,J BC = 36【点睛】本题考查等腰三角形性质，正弦定理，余弦定理解三角形，属于基础题19.如图，在四棱锥尸一A3C。中，底而A8CQ为梯形，AB/CD, AB1BC, AB = 2, PA = PD = CD =

23、BC = 1,面240,而A8CO, E为A。的中点.P（1）求证：PA工BD；（2）在线段A8上是否存在一点G,使得BC面PEG?若存在，请证明你的结论；若不 存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析【解析】【分析】(1)可作A8中点尸，连接。尸，通过底而梯形的性质可证四边形8CQF为正方形，求出边AD = 8 BD = e，通过勾股定理可证3O_LA。，再结合而R4O_L而43CQ,而面A8CQ = AQ,可证3。_1面24。，得到即可得证；(2)可将问题转化，在底面找一点G使得EG8C，即可求证：【详解】(1)取48中点/，连接Of，DC/A3 且 OC = ?

24、AB,2 DC/BF 且 DC = BF ,所以四边形88尸为平行四边形，又A8_LBC, BC = CD = 1,所以四边形88厂为正方形.在H/AAF。中，因为。尸=4尸=1，所以AO = J5，在必MCZ)中，因为BC = CD = 1,所以80 = JI，因为A8 = 2,所以AO:+ 87)2=462，BD工AD，因为8Ou面A8C。，而P4£)n而ABC£)= A£),面尸穴/)上面48c所以8£)_L面PAQ，因为R4u而PA。，所以 P4_L8。.即G为人/中点时，BC/而PEG,证明如下：连结EG, £：为A。的中点，G为人/

25、中点，GE/DF,又: DFIIBC,所以GE/BC ,GEu 而尸EG, BCU 而 PEG, ；.BC/而 PEG.【点睛】本题考查线而垂直的性质，线线垂直的证明，由线而平行需找满足条件的点，属于 中档题20.已知数列4满足：% =10,勺司=；,b“=lga“, cn = log, bn, neN".（1）证明：数列色为等比数列；（2）证明：数列%为等差数列；（3）若数列套，的前项和为S”，数列%的前项和为7；,数列亍三的前项和为W”，证明：I匕s”.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用 3 = 詈"，由代换即可求

26、证； bn 1g %（2）由 得仇=lga“=2”,则c.=log2（lgqj = 1,通过定义即可求证：1 1 1（3）由题可求=方，由等比数列前项和公式可求S“=l-右，由等差数列前项和（九一1）1112公式可求二 则亍一 =2 -,结合裂项公式可求1% =2，通过"2 Tn+n n n + ）n + 放缩即可求证：【详解】（1）因为步 bn_lgq； _21ga“ 一2,ig与 ig与 igq.又因为4 =lgq =1,所以么是首项为1,公比2的等比数列.（2）由得:4=怆%=2所以c” =log2（lgqj = -l,所以%+|%= 一 （- 1） = 1'所以g是公

27、差为1的等差数列(3)由(2)知:1 _ 1 西=呼1丁71(/7-1)因为7； =1：2=22/? + 1UW1 1 111所以用=2F1111 2 2 3n n + 221所以2-於=1 + 1-前之"环【点睛】本题考查等差数列，等比数列的证明，等差数列，等比数列通项公式，前项和公式, 裂项相消法，放缩法等的应用，综合性强，但难度不大，属于中档题21.图1是由菱形A8C。，平行四边形4花”和矩形石尺汨 组成的一个平面图形，其中AB = g，BE = EH = 1, NA8C = g, N4BE = '，将其沿 A3，族折起使得 CO 与"G 34重合，如图2.(

28、1)证明：图2中的平而8CEJ_平而45£万：(2)求图2中点/到平面3CE 距离；(3)求图2中二面角七一43 。的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1 (3) 叵3【解析】【分析】（1）证出CE_LBE、CEA.EF,利用线而垂直的判定定理以及而面垂直的判定定理即可证 出.（2）证出AE_L3E，由（1）可得AE_L平而BCE,求出AE即可求出点尸到平面BCE的 距离.（3）以E为坐标原点，分别以£»、EC、EA为x、丁、z轴建立空间直角坐标系后一方忆， 求出平而ABC的法向量与平面做的法向量，利用向量的夹角即可求出.【详解】（1）由题知，在BEC中，忸C

29、=|EC+忸同t所以 CE_LBE.又在矩形 EFGH 中,CE.LEF,且 EFpBE = E,所以CEL平面又因为CEu平面8CE,所以平而8EC_L平而反印.（2）由（1）知：CEJ_平面4夕£/，所以CE_LAE.因为菱形A8CO中的Z4BC = g,所以3c为等边三角形，AC = AB = g，所以在 RlAEC 中，|AE=|ACTCE = 1，|A目=1.所以在乙4£8 中，|A8=|AE+|8E，AE1BE.又因为平面BCE _L平面ABEF,且平而BCfC平面ABEF = BE，所以AE_L平面8CE.又因为Ab"平面BCE,所以点尸到平面8CE

30、 距离为|A目=1.（3）以£为坐标原点，分别以石8、EC、EA为x、）'、z轴建立空间直角坐标系E - _xyz , 所以 E（0,0,0）, 5（1,0,0）, C（0,l,0）, A（0,0,l）.由（1）知平面ABE的法向量为而= EC =（0J0）,设平面ABC的法向量万= (x,y,z),因为丽=(-1,0,1), C = (-l,l,0),n-BA = 0 ,一，得n-BC = 0x + Z = 0/、T+广。,取I得，”(山).所以cose = "" = f ,即二而角E AB C的余弦值为9. 网网33【点睛】本题主要考查了而面垂直的判定

31、定理、点到而的距离以及用空间向量求二而角，考 查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题.22.已知函数f （x） = alnx-x+l（wR）.（1）求函数/（x）的极值：（2）若"x）<0,求。的值.【答案】（1） “40时，/（x）无极值；当>0时，极大值lna4 + l，无极小值：（2） 1 【解析】【分析】（1）先求导，得/'（"=曰1（1>0）,再分为“40和>0两种情况具体讨论，进一步确 A定函数的极值；（2）由（1）可判断当“K0时，不满足所求条件，当。>0时，/（"皿x =/（），则所求问 题转化为：f（工）&

32、lt;/（。）=。11】。一。+ 1 = 0,可构造函数8（。）=。111。一。+ 1,得g'®） = ln。，令夕（4） = 0得a = i,可判断g（"）在“ =1处取到最小值，且g（l） = 0,故求 得"=1 ：【详解】（1）由题知：/'（x） = -l（x>0）,当“wo时，/'（a）<0, /（x）在（0,一）上单调递减，所以/（X）无极值，当 >0 时，.广（x） = 0 得 x = "，当xe（0,“）时，f，（x）>0,所以/（工）在（0,。）上单调递增；当工£（。,48）时，/

33、1（x）<o ,所以/（x）在（“，内）上单调递减：所以/（x）在x = “时取得极大值/（。）=。111。一。+ 1,综上：“K0时，/（X）无极值：当>0时，/（X）有极大值/（。）= 4由。一。+ 1,无极小值.（2）若/（X）4。恒成立，由（1）知当“40时，/。）0, /（X）在（0,笆）上单调递减，又因为/（1） = 0，/.X6（0）时/（人）0 ,xg（L+oo）时所以“40时，不存在符合题意的。值，若0时，由（1）知：若/（x）«0恒成立,只需/（x）/（a） = 41n4- + l =。，令g（）= ln4a + 1,则g'（4）= ln，/（

34、。）=0得” =1,当。（0,1）时，ga）v0,所以&（）在（0,1）上单调递减：当ae（l.gc）时，/0,所以g（a）在（1,一）上单调递增：且g（l） = 0,因此" = 1.【点睛】本题考查利用含参导数分类讨论求极值，恒成立问题的等价转化，构造函数法求解 参数取值，属于中档题23.已知自变量为x的函数/“（x） = （In x In ）一二十 1，+1的极大值点为x = 2 , e 2nwN", e = 2.718为自然对数的底数.（1）若 =1,证明：/（x）有且仅有2个零点；（2）若占，&，E，勺为任意正实数，证明： EtZU）月4.r-l【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当 =1 时，/（x） = l