贝塞尔公式(精品课件)

1、样本标准差的表示公式数学表达式：a£却（g 一五产（二1 ）2 + S 五产+ +（工” x）2S = s标准偏差（） n一试样总数或测量次数，一般n值不应少于2030个 i一物料中某成分的各次测量值，1n；编辑标准偏差的使用方法.在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。 如果价格保持平稳，这个指标值不高。 在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低.编辑标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每个样本数据一样本全部数据之平均值）2。步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。步骤三、把步骤二的结果除以（n 1） （ “n”指样本数目）。步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样

2、的标准偏差。编辑六个计算标准偏差的公式119 / 15编辑标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量，其测得值为4、人心令测得值1与该量真值X之差为真差占。，则有。1 = Z - Jn - In X我们定义标准偏差（也称标准差）。为(1)由于真值X都是不可知的，因此真差。占也就无法求得，故式只 有理论意义而无实用价值。编辑标准偏差。的常用估计一贝塞尔公式由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术 片 ，-1 +，八平均值以乙=三）来代表真值。理论上也证明，随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当冗TOO时，算术平均值就 是真值。于是我们用测得值，与算术平均值E

3、之差一一剩余误差（也叫残 差）匕来代替真差。，即% = L.i- I设一组等精度测量值为、，2、ln则 Vi = h- Lv2 = i2-lK. = in L通过数学推导可得真差。与剩余误差V的关系为£姆=占£人"1 i=i将上式代入式有(J =旨一1._?z - ynn-ln-l 1式就是著名的贝塞尔公式（Bessel）.它用于有限次测量次数时标准偏差的计算.由于当m - 8时，二一以51）t*可见贝塞尔公式与。的定义式（1）是完全一致的。应该指出，在n有限时，用贝塞尔公式所得到的是标准偏差。的 一个估计值。它不是总体标准偏差。因此，我们称式为标准偏差 。的常用

4、估计。为了强调这一点，我们将。的估计值用“S ”表示。 于是，将式（2）改写为- £)2 i=l(2 )在求S时，为免去求算术平均值£的麻烦，经数学推导（过程从 略）有(£幻)2nn刀目(。- =立4-i=li=l于是，式(2')可写为便僚_ (£/切按式(2”)求5时，只需求出各测得值的平方和占”和各测得值 之和的平方艺，即可。编辑标准偏差。的无偏估计数理统计中定义6为样本方差数学上己经证明6是总体方差。之的无偏估计。即在大量重复试验 中，6围绕。,散布，它们之间没有系统误差.而式(2')在n有限时,S 并不是总体标准偏差。的无偏估计，

5、也就是说S和。之间存在系统误 差。概率统计告诉我们，对于服从正态分布的正态总体，总体标准偏 差。的无偏估计值万为令"V 2 r（t）则 & = S1 = KbS即S和S仅相差一个系数片 , a是与样本个数测量次数有关的一 个系数，小值见表。计算小时用到r （刀 + 1）二（27）r（1） = Fr（1）= 1由表1知，当n30时、（ = 1.00871。因此，当n>30时，式 （3' ）和式（2）之间的差异可略而不计。在n=3050时，最宜用贝 塞尔公式求标准偏差。当n<10时、由于小值的影响已不可忽略，宜 用式（3'）,求标准偏差。这时再用贝塞尔

6、公式显然是不妥的。编辑标准偏差的最大似然估计将。的定义式（1）中的真值X用算术平均值£.代替且当n有限时 就得到S2 = Ql)2i=l1£乙&)2、士(4)式(4)适用于n50时的情况，当n50时、n和(n1)对计算 结果的影响就很小了。2。5标准偏差。的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计 算量较大，不宜现场采用，而极差估计的方法则有运算简便，计算 量小宜于现场采用的特点。极差用” R表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样 本测得值中的最大值与最小值之差.若对某量作次等精度测量测得，、。几 且它们服从正态分布, 则R - Isnax lain概率统计

7、告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为$3 = -j-R«2(5)发称为标准偏差。的无偏极差估计，”为与样本个数n (测得值个 数)有关的无偏极差系数，其值见表223456789101112131415161718191.414 L732 2.0002.236 2.4502.646 2.海 1006 3.1623.317 3.4643.606 3.7423.873 4.000 4.123 4.2434.359di1.11.6932.0592.3267.5342.704 2.8472.9703.0783.1733.2583.3363.4073.4723.5323.588 3.64

8、0 3.689i/d20.886 0.5910.486Q.3S5 0.370 0.351 0.337 。:325 0.315 0.307 0.300 0.294 0-288 0.2830.279 0.275 0.27120212223i 24253035404550100200I 4005007001000由表2知，当n<15时，&2七坛，因此，标准偏差。更粗略的估 计值为= -7=/?5(5,)还可以看出，当200WnW1000时，4y6因而又有= 7(5” )显然，不需查表利用式(5')和(5”) 了即可对标准偏差值作出快速 估计，用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结

9、果进行校核。应指出，式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低，但当5W nW15时、式(5)不仅大大提高了计算速度，而且还颇为准确。当n 10时，由于舍去数据信息较多，因此误差较大，为了提高准确度， 这时应将测得值分成四个或五个一组，先求出各组的极差兄、 &Rk,再由各组极差求出极差平均值尤极差平均值反和总体标准偏差的关系为$3 = 丁 R需指出，此时d大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数 N (二nK)去查表2。再则，分组时一定要按测得值的先后顺序排列，不能 打乱或颠倒。编辑标准偏差。的平均误差估计平均误差的定义为77 =时|瓦| +画+瓦I误差理论给出248 = 0.7979&

10、quot; r软5(A)nn£i5j vim可以证明占与占的关系为（证明从略）于是£屋同12 =/同njn(n - 1)(B)由式（A）和式（B）得泊】MI flayjn（n - 1） 7r从而有=L2533T)J/Ml 工加刀_1)式(6)就是佩特斯(C.A.F. Peters. 1856)公式。用该公式估计3 值，由于right I Vright|不需平方，故计算较为简便。但该式的准确 度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。编辑标准偏差的应用实例1对标称值凡二0.160 < math > Um 侬力的一块粗糙度样 块进行检定，顺次测得以下15个数据

11、：1。45, 1.65,1.60,1.67, lo 52, 1. 46, lo 72, 1. 69, 1。77, lo 64, 4。56, 1. 50, lo 64, lo 74 和 1. 63 H处 试求该样块兄的平均值和标准偏差并判断其合格否。解：1)先求平均值工L = 1.60 12 + 5 + 0+ 7 8 14 +12 + 9+17 + 4 4 10 + 4 + 4 + 315 x 100=1.60 +2715 x 100L618(< math > 即 < math >)2)再求标准偏差S若用无偏极差估计公式式(5)计算，首先将测得的，15个数据因每组为5个数

12、据，按n=5由表2查得五=°”,按原顺序分为三组，每组五个，见表3。组号1_11_5R1lo 481.651.601.67lo 520o 192lo 46lo 72lo 691. 77lo 640. 313lo 56lo 501.641.741.630o 24表311 - ， 、$3 = R = 0.43 x 0.247 = 0.10621(< math > 卬几 < math >)若按常用估计即贝塞尔公式式(2' ),则九_一 -工)2 = 0.0962(< math > im < math >)77 - 1X若按无偏估计公式

13、即式(3)计算，因n=15,由表1查得a = 1。018,则Si = KrS = 1.018 x 0.0962 = 0.09793(< math > pm < math >)若按最大似然估计公式即式(4,)计算，则二 0. 09296 ( ( ma th > u m math )若按平均误差估计公式即式(6),则=1.25331)=1.2533 x1.176,15 x 14=0.1017(< math > pm < math)=工 R = 3西 /15现在用式(5')对以上计算进行校核x 0.247 = 0.0637(< 7nath

14、pm < math >)可见以上算得的s、S、$、S3和S没有粗大误差。由以上计算结果可知 0o 09296 (0o 0962<0o 0979 由。1017<0. 1062即 S S S S < S3可见，最大似然估计值最小，常用估计值S稍大，无偏估计值S 又大，平均误差估计值S再大，极差估计值S最大。纵观这几个值, 它们相当接近，最大差值仅为0。01324 H勿。从理论上讲，用无偏估 计值和常用估计比较合适，在本例中，它们仅相差0。0017U/Z/O可 以相信，随着的增大，S、S、S、&和S之间的差别会越来越小。就本例而言，无偏极差估计值S和无偏估计值S

15、仅相差0. 0083 M见这说明无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一 种好方法。JJG102-89表面粗糙度比较样块规定兄的平均值对其标称值 的偏离不应超过+12%17%,标准偏差应在标称值的4Q12%之间。 已得本样块二产，£= 1.618皿& = 0,062俏产均在规定范围之内，故 该样块合格.编辑标准偏差与标准差的区别标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离(离均差) 的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用。表示.因此,标准差也 是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数 为 95、85、75、65、55、45, B 组的分数为 7