二次函数重点

1、【点评】弄清抛物线的位置与系数 a, b, c 之间的关系，是解决问题的关键. 二次函数考查重点与常见题型 1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数 y = (m-2)x2 m2 -m-2的图像经过原点， 则m的值是 2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像， 习题的特点是在同一直角 坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数 y = kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx2 bx -1的图 3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式， 有关习题出现的频率很高，习题类型有中 档解答题和选拔

2、性的综合题，如： 5 已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x ，求这条抛物线的解析式。 3 4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、 对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题， 如： 已知抛物线 y=ax2，bx0)与 x 轴的两个交点的横坐标是一 1、3，与 y 轴交点的纵 坐标是 (1 )确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 5 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 (1 )二次函数 y=ax2，bxc 的图像如图 1，则点M (b,C)在() a A 第一象限 B 第二

3、象限 C 第三象限 D 第四象限 (2)已知二次函数 y=ax2+bx+c (a*0)的图象如图 2 所示，？则下列结论：a、b 同 号；当x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0;当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正 确的个数是() 【点评】弄清抛物线的位置与系数 a, b, c 之间的关系，是解决问题的关键. A. 1 个 B .4 个 例2.已知二次函数 y=ax?+bx+c 的图象与 x轴交于点(-2 , 0)、(xi, 0)，且 1xi2,与 y 轴 的正半轴的交点在点 (0,2)的下方.下列结论：ab0 4a+c0, 其中正确结论的个数为() A 1 个 B. 2

4、个 C. 3 个 D . 4 个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3.已知：关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为 () A(2 , -3) B.(2 , 1) C(2 答案： C 例4、 (2006年烟台市)如图(单位： 形移动，直到 AB 与 CD 重合.设 (1) 写出 y 与 x 的关系式； (2) 当 x=2, 3.5 时，y 分别是多少？ (3) 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 1 5 例 5、已知抛物

5、线 y= x2+x- - 2 2 (1 )用配方法求它的顶点坐标和对称轴. (2)若该抛物线与 x轴的两个交点为 A、B,求线段 AB 的长. 【点评】本题(1 )是对二次函数的“基本方法”的考查，第( 2 )问主要考查二次函数与 元二次方程的关系. 2 - . _ 例 6.已知：二次函数 y=ax -(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4, 10)，交 x 轴于A( ,0), B(x2,0) 两点(X1 ：X2)，交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M,使锐角/ MCOZA CO 若存 在，请你求出 M 点的横坐标

6、的取值范围；若不存在，请你说明理由. (1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(X1, 0) , B(x2 , O), 则 X1 X2=30,又T X1O, X1O,T 30A=OB 二 X2=-3X1. / X1 X2=-3x 12=-3 . X12=1. x 10 , X1=-1 . X2=3. 点 A(-1 , O), P(4 , 10)代入解析式得解得 a=2 b=3 二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6 . 存在点 M 使/ MC0G ACO 解：点 A 关于 y 轴的对称点 A (1 , O), 直线 A, C 解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为(0 , -6)

7、, (5 , 24). 符合题意的 x 的范围为-1x0 或 Ox5. 当点 M 的横坐标满足-1xO 或 Ox5 时，/ MCONACO 1 例 7、 “已知函数 y x2 bx c的图象经过点 A (c，- 2), I ,3) D . (3 , 2) m),等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2. 2 求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法 辨认的文字。 （1） 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写 出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请

8、说明理由。 （2） 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充 完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就 要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用， 再结合条件“图象经过点 A （ c, 2） ”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函 数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（ 1）小题 中的解析式就可以了。 而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件， 可以考虑再给图象上的 一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等

9、。 1 2 解答（1）根据y= x2 +bx+c的图象经过点 A （c， 2）,图象的对称轴是 x=3,得 2 bc =3, y = lx2 -3x - 2.图象如图所示。 2 1 在解析式中令y=0,得厂2-32，解得X35，X2=35. 交点的坐标是（3-、5,0）. 5 令 x=3 代入解析式，得y , 2 1 5 所以抛物线y x2 3x * 2的顶点坐标为（3,）, 2 2 5 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 （3, - 5）等等。 2 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背 景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函

10、数的思想；关注 函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2, BF=1.试 在 AB 上求一点 P,使矩形 PNDM 有最大面积. 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起, 能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.解得L3 c = 2. 所以所求二次函数解析式为 所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（ 3. 5,0） ”或“抛物线与x轴的一个 例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）？与产品的

11、日销售量 y （件） 之间的关系如下表： x （元） 15 20 30 y （件） 25 20 10 若日销售量 y是销售价 x 的一次函数. （1） 求出日销售量 y （件）与销售价 x （元）的函数关系式； （2） 要使每日的销售利润最大， 每件产品的销售价应定为多少元？ ？此时每日销售利润 是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b .则15k b 25,解得 k=-1 , b=40, ? |2k+b = 20 即一次函数表达式为 y=-x+40 . （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元 w= （x-10 ） （40-x ） =-x 2+50 x-400=- （x-25 ） +225. 产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元. 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： （1） 设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，？ “某某”要设为自 变量，“什么”要设为函数；（2） ?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程. 例3.你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所 示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿