湖南省五市十校2021届高三上学期第二次大联考数学试题(含答案解析)

1、姓名 准考证号（在此卷上答题无效）绝密启用前湖南省五市十校2020年下学期高三年级第二次大联考试题2020.12命题：宁乡一中雷锋学校东山学校本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。1 .

2、设复数之=彳+2贝外之| =A.OB. 1C.a/2D. 22 .已知 sin60,cos（£一入）0,则夕是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3 .设等差数列%的公差为原6“=2。，则2Vo”是“论”为递减数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件4 .陈镜开（19352010）,新中国举重运动员,1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133 公斤的成绩，打破美国运动员C 温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的 第一个世界纪录. 19561964年期间在上海、北京、莫斯科、莱比锡等国内外的重大举重

3、比赛 中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录.举重比赛挺举项目中，运动员对所 要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重员的比赛才有资格进入下轮 所要更大重量的比赛.结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0. 6（每次试举 之间互不影响），则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是A. 0. 784B. 0. 84C. 0. 904D. 0. 9365 .已知直线/：/十?一 1 = 0,圆。：（1-1）2 +（了-2）2 = 8,则圆C上到直线/的距离为女的点共有 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6 .原油作为“工业血液”、“黑色黄金”，其

4、价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某 段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降.现小李有两种加油方案：第一种方案是每次 加油40升，第二种方案是每次加油200元,则下列说法正确的是A.第一种方案更划算B.第二种方案更划算C.两种方案一样D.无法确定7 .如图，在半径为2的扇形AOB中，/八0B =苧，P是弧人B上的一 个三等分点,M.N分别是线段0A ,08上的动点则西？AN的最 大值为A.&B. 2C.4D.4V2A. 4B. 6C. 47rD.6兀8 .函数/（1）=占+ 23（5外在区间-29上的所有零点的和为 JLW【高三数学试题第5页（共4页）】二、多项选择

5、题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分。9 .某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成50, 60）,160,70）,70,80）, 180,903 90,1001五组，得到如图 所示频率分布直方图，则下列说法正确的是A. a=0. 008B.该校学生数学竞赛成绩落在60,70）内的考生人数为24 C.该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80D.估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在70.80）内10 .已知实数7,3满足log.U-log2（4”一（；）L则下列结论正确的是D. ln(y幻>

6、0A. >B. T3<yC. 2r <111 .已知函数/(i) = 2cosz(siru：cosK),则下列结论正确的是A.函数？ = "r）在区间（0.*）上为增函数 oB.直线z=等是函数k/图像的一条对称轴OC.函数？=/（z）的图像可由函数丁 = sin27的图像向右平移着个单位得到 oD.函数3 =八H）的图像关于点（专对称 o12 .如图,在长方体AbCDAICd中，AD = DD1=1,A5=有,E、F、G分别是A8、6C、CQ 的中点，则下列说法正确的是A. B,C±D,EB. O】C平面GEFC.若点P在平面ABCD内，且平面GEF,则

7、线段AP长度的最小值为四D.若点Q在平面AGCD内，且RQ_LB】C,则线段PQ长 度的最小值为笈三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分。13 . 一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为.14 .（2，3）5的展开式中士的系数为jC15.已知R分别是双曲线C：=1（>。">0）的左，右焦点，是双曲线C的右支上一点。是PBFz的内心，且Sgy2s。内Sw/z = 1 ： 2，3,贝1J C的离心率为16 .“城泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时9声波传入泉洞内的储水 池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.

8、声音越大，涌起的泉水越高.已知听 到的声强机与标准声调小。（如约为10一12,单位：w/m2）之比的常川对数称作声强的声强级. 记作L（贝尔）,即L=lg也，取贝尔的10倍作为响度的常用单位,简称为分贝.已知某处“喊 m O泉”的声音响度3,（分贝）与喷出的泉水高度1（米）满足关系式、=2z,现知A同学大喝一声激 起的涌泉最高高度为50米,若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声 的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为 米.四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 . （10 分）在2a伍uZAosC；/+,2-=4S,这两个条件中任选一个，补

9、充在下面问题中，然后解 答补充完整的题目.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为。田小设ABC的面积为S,已知.求tanB的值;（2）若 S=10,a = 5,求的值.注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.18 .（12 分）已知等比数列4的各项均为正数，%=2/，对是4做与2a3的等差中项.（1）求数列储力的通项公式;（2）设公=7_）求数列W的前项和T.（%+| 1 ） 1 ）19 . （12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABCD,底面ABCD是矩形，AP = AB-1,PD与底面 ABCD所成角的正切值为*F是PB的中点，E是线段BC上的动点.（2）若二而角P

10、-DE-A的余弦值为求BE的长.DC（1）证明：AF_L平面PBC；20 . （12 分）某公司有1400名员工.其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G手 机购买意向调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购 买5G手机的员工称为"观望者''，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族''的女员工 有2人，男员工有10人.（1）完成下面2X2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别” 有关；属于“追光族”属于“观望者”合计女员工男员工合计28（2）在抽取的属于“追光族

11、八的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有X人，女员工彳i y人, 求随机变量s=xy的分布列与数学期望.附：K* =7-）一/ /其中 71=u+c+乩十。）（c十十c）（。十4）（HA。）0- 150. 100. 050-0250.0100. 0050- 0012. 0722. 7063. 8415.0246. 6357. 87910. 82821 .（12 分）已知椭圆工1+m=1（心>6>0）的右焦点为F（叵0），顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为西的菱形.（1）求椭圆E的标准方程；设为坐标原点.A.b是椭圆E上两点，且A6的中点在线段OM（不含端点0、 o JM）

12、上，求AOB面积S的取值范围.22 .（12 分）已知函数八/）=（1皿-1）（分-D（a>0）,设曲线* = /（外在点（e J（e）处的切线方程为?=）（1）求g（M）的解析式；（2）证明：对定义域内任意7,都有/（x）>g（x）；（3）当a=l时，关于x的方程/（幻=加有两个不等的实数根,c，证明：14一 W 1<?（ 1H） + e-Le-1高三数学参考答案选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)题号123456789101112答案CBCDCBCABDABCABABD6.B解析：设小李这两次加油的油价分别为X元/升、J元/升，则方案一：两次加油平均价格为40

13、"402也之历:方案二：两次加油平均价格为茄言而=为工向.802+x + yx y故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.7 .C解析：ZAOB = - 9尸是菰力8上的一个三等分点，故NPOB =工，ZPOA = 9424PM-PN = (pd + OM)(Pd + ON) = pd2 + POON + PO- OM + OM . ON= 4 + 0+2«|OM|cos+|OM|5y|cos = 4-|5A7|«(2+|O7V|)<4故当|丽|二°时，丽丽取最大值4.8 .A 解析:令/(x) = 0 ,得_L = _2 cos(- x)，函数

14、f(x)的零点就是函数”_匚与函数y = 2 cos(-x) x-12x-12图象交点的横坐标.又函数y = E的图象关于点(1,0)对称，函数Ly = -2cos(卫幻的周期为4,其图象也关于点(1,0)对称，画出两函数图象如图： ° / 7V772FC共有4个交点，这4个点两两关于点(1,0)对称，故其横坐标的和为4.9 . BD 解析：对于力，由频率分布直方图性质得：(。+ 0。2 + 0.035 + 0.025 + 卜10:1,解得 =0.01, 故4错误；对于8,由频率分布直方图得成绩落在60,70)的概率为0.2, 0.2x120 = 24,故5正确；对于C,由频率分布直

15、方图得：50,70)的频率为(0.01 + 0.02)x10 = 0.3, 70,80)的频率为0.035x10 = 0.35,成绩的中位数位于70,80)内，故C错误；对于o,估计成绩的平均数为：x =55x0.01x10 + 65x0.02x10+75x0.035x10+85x0.025x10+95x0.01x10= 75.5 工成绩的平均数落在70,80)内，故。正确.故选：BD.10 . ABC 解析：由 logj x- log3 y < ()x - (y)v 变形得 log； x - ()x < log3 y - ()v，令函数/(x) = log3/ (l)3已知函数在

16、定义域上单调递增，所以0<x<y,则A正确；b正 3x y确；x-y<0,所以2k>'<1, C正确；y-x>0, In(y-x)的符号无法判断，D错.故选：ABC.11 . AB 解析：/(x) = 2sinxcosx-2cos2x = sin2x-l-cos2x = >/sin(2x-f-1 ,对于 A选项，当 xw(0时，2乂一表(-%0),函数尸/(力为增困数，A正确：令2工-紧会如 hZ,得X = % 粤，keZ,当左二0时，工二苧，所以直线工=学是函数N = /(x)图象的一条对称轴，B正 o 28o确；函数尸Sin2x的图象向右平

17、移？个单位得到函数尸sin 21-")=sin(2x-?图象，C错误：函数 产闻关于住对称，D选项错误，故选：AB.12 .ABD 解析：连结 AC, D# , BQ； 工 BC, B£ 上 4BaC 上面 4BCQ又； RE u 面ABCQ,:. 8C_LQE 故力选项是正确的；又； EF / / AC, 4DJ/GE, .面 面 GM ,又DCu面力D。/面GEF,8选项是正确的.若在平面4BC。内，且Of 面GE产， 则尸的轨迹是直线4C,此时RP的最小值为乌尸-L4C时。在。/。中，AD=C，RC=2, AC = 2 , - D.P LAC:. D、p = AD、-

18、 sin ND、AC = 石=立:.C 选项是错误的.：8。，面 42ABCR，且A。_L BC ,.点0的轨迹是直线ABDQ的最小值是。_L 48时，即。与/重合，此时，D】A = C，：.。选择项是正确的，故选：ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.214.81015. 316. 4515.3解析：设内切圆半径为，则ao2p : 6P:s必心=；|尸耳|IWIrf耳61尸=|尸居|：|P用：|哂|=1:2:3,12242故|%卜卓片玛卜1M |=（|耳玛|=&一又|PKHPg）=2a,即故e = 3 16.45解析：设8同学的声强为小，喷出泉水高度为X,则

19、4同学的声强为10机，喷出泉水高度为 50, 101g= 2x=>lg/n-lg/n0 = 0.2x, 101g = 2x50 = l + lgm-lg/o =10 ,加。相减得1 = 10-0.2% = 0.2% = 9 = x = 45.故答案为45.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17 .解析：(1)选择条件.2q-JL = 26cosC， 2sin4-JIsinC = 2sin5cosc5分2sin8cosC+2cos8sinC-&sinC= 2sin8cosc，得cos® =弓，tan5 = 1选择条件由题意得2ccos4 = 2acsin5 ,得由8

20、= 吗 cos 8(2)由 tan3 = 1 得sin8 =5 = 10 > a = 5 ,1 S = acsin 5 = x 5cx4 = 10,解得 c = 4&. 2510分6 = /a2 + c2 - 2ac cos B = J25 + 32-2x 5x 4/2x= >/718 .解析:(1)设等比数列公比为q ,依题有。 >0应>0, 2aA = 4a2 + 2a3>即= 2/q + %q2,即 q2 _q _ 2 = G , ：. q = 2,q = 7 (舍)又。3 = 2a； , HR a1x 4 = 2x q；,=2 .an = T6 分

21、(2) b =2=1w-(2M,-l)(2rt-l)-2A,-r2-lt = a+4+“=zfn 1 2 rt 2-1 2-112分19.解析：(1) Q44，平面,48C0, 8Cu平面为8c。，BC,L PA又BC上AB,ABI AP=A,46,力尸u平面48,8C JL平面?48 ,又力尸u平面P.4B ,AF ± BC.又24 = 48 = 1,b是PB的中点，:AFXPB,又 QPBcBC=B,PB,BCu 平面PBC ,工 AFlPBC5 分(2)以HO,48,4P分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.与底面48c。所成角的正切值为AP = , ：.AD =

22、 3,则 P(0,0,l), 5(0,1,0),。(3,0,0).设 8E = x(0 W x S 3),则 E(x,l,0) ,7 分f Tu、>>>. pn =0。设平面PDE的法向量为m = (xo，yo，z0)，由_，得：加= (1,3-占3),niPE = 09分而平面的一个法向量为乃二 (0,0,1),依题意得:nvAP 3V14T T 14mAP即13.=必1,得k = i或x = 5 (舍),故8E = 1.J10+(3-x)21412分20.解析：(1)由题意得，2x2列联表如下:属于“追光族”属于“观望者”合计女员工2810男员工10818合计121628

23、2分K? = 2女（2,8/叫=誓2 3,32 < 3.841 ,故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与 12x 16x 10x18135“性别”有关；5分（2）由（1）知在样本里属于“追光族”的员工有12人.其中男员工10人，女员工2人.C4co 210 14所以4可能的取值有0,2,4.P（g = 4） = P（X = 4且丫 = 0）=借之=赤=公；产6=2）=尸（X = 3且丫 = 1）=照=袈=*产6=0）=尸（丫=2且丫 = 2）=等=芸二9分所以4的分布列为:所以4的期望EC） = 0x024pn1633143383L+2x%4xW =11333312分21 .解

24、析：（1）依题意：02+/=6"2一/=2 = 4X2 勘2 一 ，椭圆E的标准方程为二十匕=1： =242（2）设 Z（x，m）,B（X2，%），则 48 的中点玉+W必+%在线段OM上，且向河=2,则乂+8=2（玉+），又正+正=1 42芝+瓦=142,两式相减得：:口关七心2）+仇+二22.） = 06易知：再 + *2 H °，乂 + >2 H °，=-，玉一/ 4设直线4?的方程为y = _Lx+m 联立十广=i得：9x2-8/nx+16w2-32 = 0. 4428m二为+与=歹，>萩2 =16m2-32，由 = 64w2 -4x 9x(1

25、6m2 -32)> 0 => 川 < 3再十 / 4m /八2、 小3、 八 3 = (0,-)=>wg (0,-) /. 0<m<-.AS =，1 + 也(* + )2 - g = 二"do_A8 = %'I ° 分 :.SMOB = 11J J = - V72-32W2 = i 718zn2-8m4.12分又m e (0, |) /. S%ob 6(0，& ,22、解析：(1) V/'(x) = alnx- A/'(e) = a-, xe又 /(e) = o， g a) = (a)a-e).3 分e令户(x) = /(x) - g(x) = /(x)