第6章多元函数微分学

1、第六章 多元函数微分学§1 多元函数的极限与连续性一基本内容1.平面点集(1) 邻域：设 A(x , y ) Î R2 ，平面点集(x, y)(x - x )2 + ( y - y< d 2 与)20000(x, y)< d 分别称为点 A 的d 圆邻域和 A 的 d 方邻域，记为< d ,x - x0y - y0U ( A,d ) .类似地可定义U 0 ( A,d ) .(2) 给定平面点集 E ，则 R2 中的点 P 与 E 之间的关系有：0() P0 为 E 的内点，即$d > 0 ，使U (P0 ,d ) Í E () P0 为 E

2、 的外点，即$d > 0 ，使U (P0 ,d ) Ç E = f () P0 为 E 的界点，即"d > 0 ，U (P0 ,d ) 内既含 E 中的点,又含不是 E 中的点() P 为 E 的聚点，即"d > 0 ，U (P ,d ) 内总含有 E 中的点000() P0 为 E 的孤立点，即$d > 0 ，U (P0 ,d ) Ç E = P0 (3)几类特殊点集() 开集：设 E Í R 2 ，若 E 中的每一点均是 E 的内点，则称 E 为开集：设 E Í R 2 ， E 的所有聚点组成的集为 E 的

3、导集，记为 E ¢ ，若()E¢ Í E ，则称 E 为它等价于， E 的补集 Ec 为开集() 开域：设 E Í R 2 ，若非空开集 E 中的任意两点均可用完全含于 E 的有限折线连接起来，则称 E 为开域()：开域连同它的整个边界所成的点集() 区域：开域连同它的部分或整个边界所成的点集统称为区域() 有界集：设 E Í R 2 ，若$r > 0 ，使 E Í U (O, r) ，则称 E 为有界集，其中O为坐标原点(4) () 点集 E 的直径：设 E Í R 2 ，称d(E) = sup r(P , P )

4、为 E 的直径易12P1 ,P2ÎE得： E 为有界集的充分必要条件是d (E) < +¥ () 点集 E 与 E 之间的距离：设 E ，E Í R 2 ，称 r (E , E ) =infr (P , P )12121212P1ÎE1 ,P2ÎE2为 E1 与 E2 之间的距离R2 的完备性2.P Í R面点列， P Î R2 ，如果"e > 0 ， $N ，当n > N 时，有2定义 设n0r(P0 , Pn ) < e ，则称点列Pn 收敛于 P0 ，记作，lim Pn = P0Pn

5、® P0 (n ® ¥)或n®¥易得 Pn (xn , yn ) ® P0 (x0 , y0 )(n ® ¥) 的充要条件是 xn ® x0 ， yn ® y0 (n ® ¥) .定理 1（准则）点列Pn 收敛的充要条件是： "e > 0 ， $N ，当n > N 时，< e "p Î N ，有 Pn+ p - Pn定理 2 （套定理）设Dn 为 R 中的一个2() Dn Ê Dn+1 ,"n Î

6、N ；() d (Dn ) ® 0,(n ® ¥) ，列，且满足：则存在唯一的点 P0 Î Dn , n = 1,2,L注：套定理中的Dn 与有限覆盖定理中的 D 均可推广到的情形定理 3 （聚点定理）设 E Í R 2 为有界无穷点集，则 E 至少有一个聚点P Í R 必存在收敛子列P 定理 4 （致密性定理）有界无限点列2nn k定理 5 （有限覆盖定理）设 D Í R 2 为一有界，Da 为一开域族，它覆盖 D ，则可从Da 中选出有限个开域D1 , D2 ,L, Dn ，它们也能覆盖 D 3. 多元函数的极限(1)

7、基本概念定义 1 设 D Í Rn ，且 D ¹ f ， f 为一对应法则，如果对 D 中的每一点 P ，在 f的作用下有唯一的一个实数 z 与之相对应，则称f确定了一个定义在 D 上的n 元函数.记作：f ： D ® R,P ® z,z = f (P), P Î D 或此时称 D 为 f 的定义域， f (D) 为 f 的值域特别地，若 P = P(n ) ，则n元函数可记为 z = f (n ) ，当n = 2 时，常记为 z = f (x, y) 定义 2 设 f 为定义在 D Í R 2 上的二元函数, P 为 D 的一个聚点

8、, A Î R ,如果0"e > 0 ，$d > 0 ，当 P ÎU (P ,d ) Ç Df ( p) - A< e ，则称 f在 D 上当 P ® P0时，有00时以 A 为极限，记作：lim f (P) = A P®P0PÎD特别地,当 P, P Î R2 ，且 P, P 的坐标分别为(x, y) , (x , y ) 时,也记作0000limf (x, y) = A .( x, y )®( x0 , y0 )( x, y )ÎD为定义在 D Í R 2 上的二

9、元函数, P定义 3设 f为 D 的一个聚点, 如果0"M > 0 ，$d > 0 ，当 P ÎU (P ,d ) Ç D 时，有0f (P) > M在 D 上当 P ® P，则称f00极限+ ¥ ，记作：lim f (P) = +¥ 时有P®P0PÎD类似地，可定义 lim f (P) = -¥ 及 lim f (P) = ¥ P®P0P®P0PÎDPÎD定义 4 设 Ex , Ey Î R ， x0 , y0 分别是 Ex

10、与 Ey 的聚点，二元函数 f 在集合D = Ex ´ Ey 上有定义，若"y Î Ey , y ¹ y0 ，极限 lim f (x, y) 存在，记为j ( y) ，且x® x0 xÎExlim j( y) = L ，则称 L 为二元函数 f (x, y) 先对 x(® x0 ) 后对 y(® y0 ) 的累次极限，y® y0 yÎEy并记作：L = lim lim f (x, y) y® y0 x®x0 yÎEy xÎEx类似地可定义先对 y 后对 x

11、 的累次极限(2) 归结原则定理lim f (P) = A 的充分必要条件是， "E Í D ，只要 P0 为 E 的聚点就有P®P0PÎDlim f (P) = A P®P0PÎE推论 1 lim f (P) 存在的充要条件是： "Pn Í D ， Pn ¹ P0 , Pn ® P0 (n ® ¥) ，P®P0PÎDlim f (Pn ) 都存在n®¥设 E1 Í D ，P0 为 E1 的聚点若 lim f (P) 不存在，

12、则 lim f (P) 不存在推论 2P®P0P®P0PÎEPÎD设 E1 , E2 Í D ， P0 为 E1 , E2 的聚点若 lim f (P) ¹ lim f (P) ，则推论 3P®P0 PÎE1P®P0 PÎE2lim f (P) 不存在P®P0PÎD(3) 重极限与累次极限的关系limf (x, y) 存在,且"y ¹ y0 ,若 f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 处的二重极限定理( x, y )®( x0 , y0 )

13、lim f (x, y) = j( y) 存在，则累次极限 lim lim f (x, y) 也存在，且x® x0y® y0 x® x0lim lim f (x, y) =y® y0 x® x0lim( x, y )®( x0 , y0 )f (x, y) 推论 若两个累次极限均存在，但不相等，则二重极限必不存在4.二元函数的连续性(1) 定义：设 f 为定义在点集 D Í R 2 上的二元函数，P Î D ，若"e > 0, $d > 0 ，0"P ÎU (P0 ,d )

14、 Ç D ，有f (P) - f (P0 )< e ，则称f关于集合 D 在 P0 连续若f在 D上任何点关于 D 连续，则称 f 为 D 上的连续函数(2)有界上连续函数的性质定理(有界性) 设 f (P) 在有界D 上连续，则 f (D) 有界定理(取最值性) 设 f (P) 在有界D 上连续，则 f (P) 在 D 上可取到最大，最小值定理(一致连续性) 若函数在 f (P) 在有界D 上连续，则 f (P) 在 D 上一致连续定理 (介值性)设 f (P) 在区域 D 上连续，P1 , P2 Î D ，且 f (P1 ) f (P2 ) ，则任一满足 f (P

15、1 ) m f (P2 ) 的实数 m ，必存在 P0 Î D ,使 f (P0 ) = m .二.难点与重要结果设 P Î R2 , E Í R 2 , E ¹ f ，若 r (P, E) = 0 ,则 P Î E 或者 P 为 E 的一个聚点.1.设 E Í R 2 ,则¶E 必是2.3.部4.二重极限的局部性质与一元函数极限的局部性质完全类似，如局部有界性、局性、四则运算性质、复合性质及迫敛性等二重极限与累次极限是两个本质上完全不同的概念，因而两者在存在性方面毫不相关.我们有(1) 两个累次极限存在且相等，但二重极限不

16、存在xy例如， f (x, y) =在(0,0) 点处+ y 2x 2(2) 重极限存在，但两个累次极限均不存在ìx sin 1 + y sin 1 ,xy ¹ 0ï例如， f (x, y) =yx在(0,0) 处íïî0,xy = 0(3) 重极限存在，两个累次极限中一个存在，另一个不存在ì1y ¹ 0在(0,0) 处y = 0ïx sin y ,例如， f (x, y) =íïî0,(4) 重极限与累次极限均不存在ì1 + 1 ,xy ¹ 0ï

17、; x例如， f (x, y) =y在(0,0) 处íïî0,xy = 0(5) 若两个累次极限均存在，但不相等，则二重极限不存在5. 重极限的存在性讨论要比一元函数极限的存在性讨论复杂得多，其主要是由定义域的维数多一维引起的，在讨论时要特别当心例如，ì1,0 < y < x2 , - ¥ < x < +¥其它，f (x, y) = íî0,沿任一 y = kx ，有lim f (x, y) = 0 但( x, y)®(0,0)y=kxlimf (x, y) 不存在( x, y )

18、®(0,0)6. 若 D = D1 È D2 È LÈ Dk ,且limf (x, y) = A, i = 1,2,L, k.则( x, y )®( x0 , y0 )( x, y )ÎDilimf (x, y) = A ( x, y )®( x0 , y0 )( x, y )ÎD注意：若k = +¥，则结论不真.7. 关于全面连续与按单变量连续之间的关系：(1) 若 f (x, y) 在a, b ´c, d 上连续，则 f (x, y) 对"y Îc, d 关于 x 在a,

19、 b上连续对"x Îa, b关于 y 在c, d 上连续，反之不真(2) 若 f (x, y) 在区域 D Í R 2 上关于两个单变量连续，且满足下列条件之一() f (x, y) 关于其中的一个变量单调.兹(Lipschitz) 条件，即$L > 0 ,使() f (x, y) 对于其中的一个变量满足"x, y1, y2 ,有f (x, y1 ) - f (x, y2 )< L y1 - y2.f (x, y) 对 x 关于 y 一致连续，即"x, "e > 0, $d> 0 ，当x1 - x2< d

20、 时，有()< e ，则 f (x, y) 在 D 上处处连续.f (x1, y) - f (x2 , y)三.基本题型与方法1. 关于平面点集中的一些结论的证明此类问题的主要处理方法就是依据定义来解决例 1 设 E Í R 2 ，证明： ¶E 为证明:设 P0 为¶E 的任一聚点，则据聚点定义知在 P0 的任一d1 邻域中必含有¶E 中的异于 P0 的点 P1 ，取d 2 充分小，使U (P1 ,d 2 ) Í U(P0 ,d1) 中，由于 P1 Î ¶E ,故U (P1 ,d 2 ) 中既含有 E 中的点，又含有不

21、是 E 中的点，而U (P1 ,d 2 ) Í U(P0 ,d1) 中.故U (P0 ,d1) 中既含有 E 中的点，又含有不是 E 中的点，再由d1 的任意性及界点的概念知， P0 为 E 的一个界点，即 P0 ζE ，由的定义知, ¶E 为2. 二重极限的证明.ìx = x0 + r cosq代入，通过适当地放大，去掉q此类问题的处理方法一种是令í y = y+ r sinqî0后解 r 得圆形邻域的半径， 或者通过适当地转化， 将表达式变形为g ( x - x ,0y - y0 )，再将x - x0y - y0与看，

22、方形邻域的半径.sin(x3 + y3 )= 0 .例 2 (1) 证明：limx2 + y 2( x, y)®(0,0)lim(x 2 + xy + y 2 ) = 7 .(2) 证明：( x, y )®(1,2)证明： (1) 令ìx = r cosq 代入得í y = r sinqîsin(x3 + y 3 )sin r 3 (cos3 q + sin3 q )- 0=££ 2 r ，x 2 + y 2r 2r 2= e2sin(x + y )33故"e > 0 ，取d，当 x2 + y 2 <

23、d 2 时，有< e .x 2 + y 2(2) 由于x 2 + xy + y 2 - 7=x2 -1+ xy - 2 + y 2 - 4=( y - 2) + 2(x -1) + ( y + 2)( y - 2)(，x -1 < 1,y - 2< 1 ，则 x < 2, y < 3 限制故有x2 + xy + y 2 - 7< 3 x -1 + 2 y - 2 + 2 x -1 + 5 y - 2= 5 x -1 + 7 y - 2 取d = min ì e ,1ü ，则x -1 < d ,< d ，且(x, y) 

24、5; (1,2) 时，有y - 2íýî12þ< e x2 + xy + y 2 - 73.二重极限的存在性并求值二重极限的存在性方面主要依赖归结原则和一元函数中的各种放大在技巧，特别要熟悉一元函数中无穷小量的阶的比较，其极限的求法最后也归结为一元函数的极限的计算例 3 讨论下列极限是否存在，若存在，求其极限值x2 - y 222-( x+ y )(x + y )e(1)lim(2)lim；( x, y)®(0,0) x2 + y 2( x, y )®(+¥,+¥)r 3cos3 q + sin 3 qx2

25、yx3 + y3(3)lim；(4)lim.+ yx + y( x, y)®(0,0) x422( x, y )®(0,0)x 2 - y 2为 0 次齐次式，令 y = kx, 即知极限不存在解(1) 由于x 2 + y 2(2) 由于当 x > 0, y > 0 时，有0 £ (x2 + y 2 )e-(x+y)£ x2 e- x+ y 2e- y ，而x 2 e- x= lim x 2e-x= 0 ，y 2 e- y= 0 ，limlim( x, y )®(+¥,+¥)x®+¥( x,

26、y )®(+¥,+¥)lim(x 2 + y 2 )e-(x+ y) =0故( x, y )®(+¥,+¥)x 2 y12沿路径 y = x ，知其极限为，沿 y = 2x 则其极限为，故22(3)x 4 + y 225极限不存在.(4) 此式的虽然为3 次齐次式，分母中的最低次幂项为一次，但由于分母中含奇次项，故总可以沿适当的路径，使得分母的次幂不低于的次幂，例如，令 y = x3 - x2 ,则分母的次幂为3 次，中起主要作用的仍是3 次幂如令 y = x4 - x2 ，则分母的次幂为4 次，而重极限不存在4. 关于连续性的证明关

27、于连续性的证明，无论是一元还是多元函数其主要工具仍然是定义.中起主要作用的仍是3 次幂，故二设 f 在 R2 上分别对每个自变量 x, y 是连续的，且当 x 固定时关于 y 是单调例 4的证明 f 是 R2 上的连续函数证明： "P (x) Î R 2 ， 由于 f (x , y) 在 y 连续，故对 "e > 0, $d> 0 ， 当y00, 0001£ d1 时，有< e 即有y - y0f (x0 , y) - f (x0 , y0 )f (x0 , y0 + d1 ) - f (x0 , y0 )< e ，f (x0 ,

28、 y0 - d1 ) - f (x0 , y0 )< e 又 f (x, y0 + d1), f (x, y0 - d1) 均在 x0 连续，故 $d 2 > 0 ，当< d 2 时，有x - x0f (x, y0 + d1) - f (x0, y0 + d1)< e ，f (x, y0 - d1 ) - f (x0 , y0 - d1 )< e x - x0< d 2 时，有故当f (x, y0 + d1) - f (x0, y0 )< 2e ，f (x, y0 - d1 ) - f (x0 , y0 )< 2e< d 2 ，£

29、 d1 时，由于 f (x, y) 关于 y 单调，故 f (x, y) 介于x - x0y - y0故当f (x, y0 + d1) 与 f (x, y0 - d1) 之间，即有f (x, y0 - d1 ) - f (x0 , y0 ) ,f (x, y0 + d1 ) - f (x0 , y0 )f (x, y) - f (x0 , y0 )£ max< 2e 2所以， f (x, y) 在(x0 , y0 ) 连续由(x0, y0 ) 的任意性，知 f (x, y) 在 R 上连续5. 关于有界上连续函数性质的应用此类问题的题型及处理方法均可借鉴一元函数的相应部分的内容

30、.设 f (x, y) 在 D = (x, y) x ³ 0, y ³ 0上连续，r =x2 + y 2 ，且 lim f (x, y) 存例 5r ®+¥在，则 f (x, y) 在 D 上有界.证明：由于 lim f (x, y) 存在，设为 A ,故对 1>0, $M , 当 r > M 时有<A + 1 f (x, y)r ®+¥又 f (x, y) 在 D = (x, y) x ³ 0, y ³ 0且x2 + y 2 £ M 上连续，且 D 为有界，由有11上连续函数的性质知，

31、 f (x, y) 在 D1 上有界， $G1 > 0 ，即"(x, y) Î D1 , 有界< G1 f (x, y)取G = max G1 , A + 1，则"(x, y) Î D, 有< G 即 f (x, y) 在 D 上有界.f (x, y)四.综合举例例 6 设S Í R 2 ， P (x y ) 为S 的内点， P (x y ) 为S 的一个外点证明：直线00, 011, 1段 P0 P1 必与S 的边界¶S至少有一个交点 证明：P0 P1 的中点C0 ，若C0 为S 界点，则问题得证；否则， C0 必

32、为S 的一个内点或外点若C0 为S 内点，则记C0 P1 为 A1 B1 ，若C0 为S 外点，则记 P0C0 为A1 B1 .用 A1 B1 代替 P0 P1 仿上，要么，若干次以后得线段 An Bn 的中点Cn 恰为SAn Bn 满足：的界点，则此时问题得证，否则得一线() An+1 Bn+1 Í An Bn ，n = 1,2K=® 0(n ® ¥) .（）A Bn n2n() An 为S 的内点, Bn 为S 的外点.套定理知，存在唯一Q0 Î An Bn , n = 1,2K ，由区间套定理的由()()及推论知，"d >

33、 0, $N , 当n > N 时，有 An Bn Í U (Q0 ,d ) 由()知，U (Q0 ,d ) 中既含S 中的点 An , 又含不是S 中的点 Bn 故Q0 为S 的界点< 1, y< 1 上的有界k 次齐次函数(k ³ 1) ，问极限例 7设 f (x, y) 是区域 D :xlim( f (x, y) + (x -1) ey) 是否存在，若存在求其值( x, y)®(0,0)解：由于 f (x, y) 为k 次齐次函数，故"t Î R , (t ¹ 0) 有 f (tx,ty) = t k f (x

34、, y) 因此,有 f (r cosq , r sinq ) = r k f (cosq ,sinq ) £ M ,(x, y) Î D 故有又因 f (x, y) 在 D 上有界，设f (x, y)f (r cosq , r sinq )= r kf (cosq , sinq )£ r k M ® 0 (r ® 0) 所以有limf (x, y) = 0 ( x, y )®(0,0)因而，lim( f (x, y) + (x -1) ey) = -1( x, y)®(0,0)讨论下列极限例 8x2) x+ y ；x 2 y

35、 21xlim(1 +(1)limf (x, y) =；(2)x2 y 2 + (x - y)2( x, y )®(0,0)( x, y )®( +¥,0)x 4 y 4e x- e y(3)limf (x, y) =limf (x, y) =；(4)；(x3 + y 6 )2sin xy( x, y )®(0,0)( x, y )®(0,0)1解 (1) 当 y = x 时，极限为1.当沿 y = x + x2 时极限为,故极限不存在.2x2xlim(1 + 1 ) x+ y =lim(1 + 1 ) x x+ y = e1 = e (2)x

36、x( x, y )®( +¥,0)( x, y )®( +¥,0)1(3) 沿 y = 0 时极限为0 沿 x = y 2 时极限为，故原极限不存在4(4) 沿 y = kx 时，有P0 P1ex - ekxex - ekx- kekxex1原式= lim= lim=limsin kx2kx2k2xx®0 y=kxx®0x®0k = 1k > 1ì 0= í¥，î从而极限不存在例9 设函数 f (x, y) 分别对 x, y 连续，且连续f (x, y) 对 x 关于 y 一致连

37、续，则f (x, y)证明： "(x0 , y0 ) ，由于 f (x0 , y) 连续，故"e > 0,$d1 > 0 ，当有< d1 时，y - y0f (x0 , y) - f (x0 , y0 )< e 又 f (x, y) 对 x 关于 y 一致连续,故对上述e > 0,$d 2 > 0 ，当< d 2 时，x - x0"y ，有< e f (x, y) - f (x0 , y)取d = mind1,d 2 ，当x - x0< d ,y - y0< d 时，有f (x, y) - f (x0 ,

38、 y0 )£f (x, y) - f (x0 , y)+f (x0 , y) - f (x0 , y0 )< 2e 所以 f (x, y) 在(x0 , y0 ) 连续，由(x0 , y0 ) 的任意性即得结论例 10 设 D Í R 2 为开集， (x , y ) Î D ， f (x, y) 为 D 上的函数，且满足：00(1) 对每个(x, y) Î D 的 x ,有 lim f (x, y) = g(x) .y® y0D 中关于 y 一致地存在极限lim f (x, y) = h( y) .x® x0(2)证明： lim

39、 lim f (x, y) = lim lim f (x, y).x® xo y® y0y® y0 x® x0证明：由 D 为开集，数(x0 , y0 ) Î D ，为 D 的内点，所以， $r > 0 ，使G = (x, y) x - x0< rÌ D .< r, y - yo在G 中，由条件(2) 知， "e > 0, $d > 0, (d < r) ,当0 << d 时，x - x0"y Î( y0 - r, y0 + r) ,都有< e .f

40、(x, y) - h( y)< d , 0 << d 时， "y Î( y0 - r, y0 + r) 有< 2e .从而当0 <x1 - x0x2 - x0f (x1, y) - f (x2 , y)令 y ® y0 ，得g(x1 ) - g(x2 )£ 2e 由准则知lim g(x) 存在，设为 A ,故$d1 > 0,(d1 < d ) ，当0 <x - x0< d1 时，x® x0有g(x)- A < e 任取 x¢ÎU(x0 ,d1) ，由 lim f (

41、x¢, y) = g(x¢) ，故 $d 2 > 0,(d 2 < d1)，当 y® y0< d 2 时，有y - y0f (x¢, y) - g(x¢)< e < d 2 时，有y - y0故当h( y) - A £h( y) - f (x¢, y) +f (x¢, y) - g(x¢) +g(x¢) - A < 3e .所以 lim h( y) = A ,即lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) .y® y0x&#

42、174; x0 y® y0y® y0 x® x0例 11 设u = f (x, y, z) 在 D = a, b ´c, d ´e, f 上连续，证明：g(x, y) = max f (x, y, z)e£ z£ f在a, b ´c, d 上连续证明： "(x0 , y0 ) Îa,b´c, d ，由u = f (x, y, z) 在 D 上连续从而一致连续，故"e > 0,$d > 0 ，当x - x0< d ,y - y0< d ,z - z= 0

43、 < d 时，有< e f (x, y, z) - f (x0 , y0 , z)f (x0 , y0 , z) - e < f (x, y, z) < f (x0 , y0 , z) + e 即从而有max f (x0 , y0 , z) - e £ max f (x, y, z) £ max f (x0 , y0 , z) + e ，e£ z£ fe£ z£ fe£ z£ fg(x0 , y0 ) - e £ g(x, y) £ g(x0 , y0 ) + e ，即&

44、#163; e g(x, y) - g(x0 , y0 )即故 g(x, y) 在(x0 , y0 ) 连续，由(x0 , y0 ) 的任意性即有 g(x, y) 在a, b ´c, d 上连续.§2 多元函数微分学一基本内容1. 基本概念定义 1 设函数 z = f (x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义，如果$ A, B Î R ，及d >0,使当 P(x, y) Î U ( P0 ,d )时，总有 f 在 P 处的全增量：Dz = f (x, y) - f (x0 , y0 ) = A Dx + BDy + o (

45、r ) ，其中D， Dy = y - y ， r =Dx2 + Dy 2 ，则称 z = f (x, y) 在点 P 处000可微并称其线性主部 ADx + BDy 为函数 z = f (x, y) 在点 P0 处的全微分记作dz P ，即dz P = ADx + BDy 00注：也可将上述定义中的Dz 换成如下形式f (x, y) - f (x0 , y0 ) = f (x0 + Dx, y0 + Dx) - f (x0 , y0 ) = ADx + BDy + aDx + bDy其中a , b 满足：lima =limb = 0 ，不改变定义的本质(Dx,Dy )®(0,0)(D

46、x,Dy )®(0,0)定义 2 设函数 z = f (x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义，如果极限lim D x z = limf (x0 + Dx, y0 ) - f (x0 , y0 )DxDxDx®0Dx®0存在， 则称这个极限值为函数f在点 (x0 , y0 ) 关于 x 的偏导数. 记作) 或¶f或¶zf (x , y.x00¶x( x0 , y0 )¶x( x0 , y0 ) 或¶f或¶z¶y类似地可定义， f (x , y.y00( x0 , y0

47、)( x0 , y0 )¶y®定义 3 设函数u = f (x, y, z) 在点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内有定义，l 为从 P0 出发的一射线，P(x, y, z) 为 l 的任一点，以 r 表示 P0 与 P 之间的距离. 若极限®D flimlf (P) - f (P0 ) =limrrr ®0+r ®0+®存在，则称函数u = f (x, y, z) 在 P0 处沿 l 的方向导数存在，并称此极限值¶®为 f 在 P 沿 l 的方向导数，记作：f或 f (P ) 或 f (x , y

48、 , z ) 0P®0®000¶l0ll定义 4 若函数u = f (x, y, z) 在点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内有定义，且存在对所有变量的偏导数，则称向量( f x (P0 ), f y (P0 ), f z (P0 ) 为函数f 在点P0 梯度，记作：grad f = ( f x (P0 ), f y (P0 ), f z (P0 ) 定义 5 若二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 内的每一点处关于 x ( 或关于y) 的偏导数均存在，则得 z = f (x, y) 在 D 上关于 x ( 或关于 y) 的偏导函数，简称

49、为偏导数.对该偏导函数进一步地其偏导数，称为 z = f (x, y) 的二阶偏导数.类似地，n 阶偏导数的偏导数称为n + 1阶偏导数，及上的偏导数称为高阶偏导数.定义 6 设 f (P) 在点 P0 的某领域内有定义， 如果 $d >0 ，使 "P ÎU(P0 ,d ) 恒有 f (P) £ f (P0 ) 或( f (P) ³ f (P0 ) ,则称 f (P) 在 P0 处取得以极大（小）值， P0 称为 f 的一个极大（小）值点.定义 7 称函数 y = f (n ) 在约束条件组n ) = 0,(m < n)ìj1 (&

50、#239;íLïj) = 0,(îmnn ) 在约束条件ji = 0(i = 1,2,L, n) 下的条件极下的极值称为函数 f (值，简称为条件极值.2. 基本结论(1) 可微的必要条件是偏导数存在，偏导数连续是可微的充分条件.(2) f (P) 在 P0 处可微的充要条件是曲面 z = f (x, y) 在点 P0 处存在不平行于 z轴的切平面(3) f (P) 在 P0 处可微，则 f (P) 在 P0 处沿任一方向的方向导数存在且有¶f¶l= ¶fcosa + ¶fcos b + ¶fcosg ¶

51、x¶y¶zPPPP0000其中(cosa , cos b , cos g ) 为l 的方向余弦(4) 梯度方向是函数值变化最快的方向，即使 f r (P0 ) 的绝对值最大的方向，由l于f (P ) = gradf (P ) × l ，r000lgradf (P0 ) × cosq , 其中q 为l 与梯度方向之间的夹角，故有上述结论成=故f r (P0 )l立(5) 求偏导数的四则运算法则与一元函数的求导法则完全相同复合函数的求导法则为：若函数 z = f (x, y) 处可微，而 x = x(s, t), y = y(s, t) 均在点(s, t)

52、处可微，则复合函数 z = f (x(s, t), y(s, t) 在点(s, t) 处可微，且有¶z = ¶z × ¶x + ¶z × ¶y ,¶z = ¶z × ¶x + ¶z × ¶y .¶s¶x ¶s¶y ¶s¶t¶x ¶t¶y ¶t(6) 对不同变量所求的高阶偏导数称为混合偏导数，关于混合偏导数，我们有，若f xy 与f yx 均连续，则f xy

53、=f yx .依此类推(7) 中值定理与泰勒公式定理 1 设 z = f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 的某邻域U (P0 ) 内的偏导数存在，则对"(x, y) ÎU (P0 ) ，存在q1,q2 ,q3 ,q4 ,q Î(0,1) ，使得f (x, y) - f (x0 , y0 ) =f x (x0 + q1 (x - x0 ), y)(x - x0 ) + f y (x0 , y0 + q2 ( y - y0 )(y - y0 )0 ), y0 )(x - x0 ) + f y (x, y0 + q4 ( y - y0 )(y - y0

54、)0 ), y0 + q ( y - y0 )(x - x0 )0 ), y0 + q ( y - y0 )(y - y0 ) = f x (= f x (+ f y (定理 2 设函数 z = f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 的某邻域U (P0 ) 内有直到n + 1阶连续偏导数，则对U (P0 ) 内的任一点(x0 + h, y0 + k) , $q Î(0,1) ，使得f (x , y ) + (h+ k ¶ ) f (x¶¶¶ )2, y ) + 1 (h+ kf (x + h, y + k) =, y ) + Lf

55、 (x0000¶x¶y002!¶x¶y00¶¶ ) n(h+ k ¶ ) n+1 f (x + qh, y + qk) ，¶+ 1 (h+ k1f (x , y ) +n!¶x¶y00(n + 1)!¶x¶y00¶¶¶ mm0å mi m-i其中(h ¶x + k ¶y )f (x , y ) =cmif (x , y ) × h k000¶xi ¶ym-ii=0(8) 隐函数, y)

56、在点 P (x0 ,L, x0 , y0 ) 的某邻域内具有定理 3 若()函数 F(一阶连续偏导数；n01n（） F(x0 ,L, x0 , y0 ) = 0 ；1n（） F (x0 ,L, x0 , y 0 ) ¹ 0 ，y1n则()在 P0 的某邻域U (P0 ) Í D 内方程 F(n , y) = 0 唯一地确定了一个定义在Q (x0 ,L, x0 ) 内的某邻域U (Q ) 的n 元函数 y = f () ,使得01n0nn , f (x1,L, xn ) º 0 ，F(y0=f (x0 ,L, x0 ) .1n() y = f (n ) 在U (Q0

57、 ) 内有连续的偏导数，且Ff= -,L, f= -x Fx1nx1xnFyFy定理 4 若() F (x, y, u, v) 与G(x, y, u, v) 在点 P0 (x0 , y0 ,u0 , v0 ) 的某邻域内具有一阶连续偏导函数；() F(x0 , y0 ,u0 , v0 ) = G(x0 , y0 ,u0 , v0 ) = 0 ；¶F¶u¶G¶u= ¶(F, G)¹ 0 ，() J=¶(u, v)p0P0¶F¶v¶G¶uìF (x, y, u, v) = 0则(

58、)方程组唯一的确定了一个定义在点Q0 (x0 , y0 ) 的某邻域íîG(x, y, u, v) = 0ìu = u(x, y)内的隐函数组í,使得îv = v(x, y)F (x, y, u(x, y), v(x, y) º 0 ， G(x, y, u(x, y), v(x, y) º 0 ,u0 = u(x0 , y0 ) ， v0 = v(x0 , y0 ) ；（） u = u(x, y) ， v = v(x, y) 在Q0 的邻域内是有一阶连续偏导数，且¶u = - 1 ¶(F,G) ，

59、2;u = - 1 ¶(F,G) ，¶yJ ¶(y, v)¶xJ ¶(x, v)¶v = - 1 ¶(F,G) ，¶v = - 1 ¶(F,G) ¶xJ ¶(u, x)¶yJ ¶(u, y)推论：令 F (x, y, u, v) = u - u(x, y) ，G(x, y, u, v) = v - v(x, y) ，则得反函数存在定理及坐标变换公式.3. 偏导数与微分的应用(1) 几何应用()平面曲线的切线和法线设平面曲线的方程由 F (x, y) = 0 给出,它在点 P0 (x0 , y0 ) 的某邻域内满足隐函数存在定理的条件，则它在点 P0 处的切线方程： Fx (x0 , y0 )(x - x0 ) + Fy (x0 , y0 )(y - y0 ) = 0 ，法线方程： Fy (x0 , y0 )(x - x0 ) - Fx (x0 , y0 )(y - y0 ) = 0 . ()空间曲线的切线与法平面10 ，若空间曲线方程为：L ： x = x(t) ， y = y(t) ， z = z(t) ，a