解析几何中的定值和定点问题

1、解析几何中的定值定点问题(一)一、定点问题 22-【例1】.已知椭圆C：与 22 1(a b 0)的离心率为 义,以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 a b2与直线x y/0相切.求椭圆C的方程； 设P(4, 0) , M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结 PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线 ME与x轴相交于定点.4b2,又因为bl21,所以1 1一22 r2解：由题意知e £色，所以e2 、a 2a a2222a 4, b 1 ,故椭圆C的方程为C ： L y 1 .4由题意知直线PN的斜率存在，设直线 PN的万程为yk(x

2、4)联立y k(x2x 27 y4)消去y得：(4k212221)x2 32k2x 4(16k21) 0,2 2(32k2)2224(4k2 1)(64k2 4)20 得 12k1 0,0不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是设点 N(X1，y) E y2),则 M (x1 ,y),直线ME的方程为y2J(X X2),X2由得X1X2所以直线¥2(X2 Xi)X2 , 1 寸 y1y2 y122铐L X1X2 64k2 4代入整理,得4k 11 4k 1k(X1 4), y2k(X2 4)代入整理，得X1x 2-X2 4(X1 X2)XiX28ME与x轴相交于定点(1,0).【针对

3、性练习1】 在直角坐标系XOy中，点M到点F1的距离之和是4 ,点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点 A ,不过点A的直线l : y 求轨迹C的方程；uur uurkX b与轨迹C交于不同的两点 P和Q .当AP AQ 0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点.解：点M到 石，0 , 73,0的距离之和是4, M的轨迹C是长轴为4,焦点在X轴上焦中为2班2的椭圆，其方程为-y2 1.4将y kx b,代入曲线C的方程,整理得(1 4k2)x2 8j2kx 4 0 ,因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q ,所以64k2b2 4(122224k )(4 b 4) 16(4k b 1) 0设 P x

4、i , yi , Q X2 , y2 ,则 x1x28岳 xx, 42 , & x2 2 J1 4k1 4k且 y1 y2 (kx1 b)(kx2 b)2(k x/z) kb(x1X2) b2 ,显然，曲线C与x轴的负半轴交于点uuuuur以 AP x 2 , % , AQx2 2 , y2 .由uur uuirAP AQ 0,得(xi 2)(x2 2) yiy2 0 .将、代入上式，整理得_ 2212k 16kb 5b0.所以(2k b) (6k 5b)-k ,经检验, 5都符合条件，当b 2k时，直线l的方程为y kx 2k.显然，此时直线l经过定点2 , 0点.即直线l经过点A,

5、与题意不符.当 b 6k时，直线5,6.l的方程为y kx -k k x5显然，此时直线l经过定点6,0点，且不过点 A .综上,5k与b的关系且直线l经过定点一,0 点.5【针对性练习2】在平面直角坐标系 xoy中，如图，已知椭圆2y- 1的左、5右顶点为 A、B,右焦点为F。设过点T( t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点 M(x1, y1)、N(x2, y2),其中m>0, y10, y20。(1)设动点P满足PF2 PB24,求点P的轨迹;(2)设Xi-1，一一2, x2-,求点T的坐标;3(3)设t 9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与 m无关)。【解析】本小题主

6、要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力 和探究问题的能力。解：(1)设点 P (x, y),则：F (2, 0)、B (3, 0)、A (-3, 0)。由 PF2 PB2 4,得(x 2)2 y2 (x 3)2 y2 4,化简得 x 9。2 9故所求点P的轨迹为直线x 9o2(2)将 x12, x25 、， 1以及 y1 0, y2 0 得：M (2, )、N (_ ,20一)9直线直线y0xJ即50233y0x32010393MTA方程为:yNTB方程为:即7x1 、，、-分别代入椭圆方程,31,联立方程组，解得:10，所以点T的坐标为 10、(7,三)。

7、3(3)点T的坐标为(9,m)A直线直线y0x2即ym( (xm09312y0x即ym /一(xm0936MTA方程为:3),NTB方程为:3)。1联立方程组，同时考虑到2x2分别与椭圆9Xi3, X2解得：M(t°m2)2m一 2 一T)、N(3m-80 m20 m20m 、20 m2)°(方法一)当为x2时，直线MNr程为:令y 0,解得:20m20 m240m 280 m20m20 m23(m2 20)20 m23(80 m2)3(m2 20)X 1。此时必过点 D (1, 0);当x1 x2时，直线MN程为：x 1 ,与x轴交点为D (1, 0)。所以直线 MN5过

8、x轴上的一定点 D (1,0)。(方法二)若入240 3m2x2 ,则由2280 m23m2 6020 m此时直线MN的方程为x 1 ,过点D (1,0)。若x1 x2,则m 2痂,直线MD的斜率kMD40m80 m2240 3m2 d2180 m280 m220 m210m2，40 m220m直线ND的斜率kND20 .10m2，得kMD kND ,所以直线 MNi D点。3m2 60 彳 40 m22- 120 m2因此，直线MN、过x轴上的点(1,0)。【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在 x轴上，焦距为2,短轴长为2J3. (I)求椭圆C的标准方程;(n )若直线l : ykx

9、 m k 0与椭圆交于不同的两点M、N (M、N不是椭圆的左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点 A .求证：直线l过定点,并求出定点的坐标.解:2c2b2 a2,23,b2解得a 2,_ 椭圆C的标准方程为b 3,设椭圆的长半轴为a,短半轴长为b,半焦距为c,则2()由方程组y3 kx m3 4k2x2 8kmx 4m2 12 0.由题意8km224 3 4k2 4 m2 120,整理得:3 4k2x/、Nx>, y2，则Xix28 km2-，3 4kX1X24m2 123 4k2由已知,AM AN ,且椭圆的右顶点为 A (2,0),x210分k2x1x2 km 2x1x2

10、0,也即k24 m2 124k2km 28 km4k2“2m 4整理得7m216mk解得2k2k7均满足11分2k时，直线l的方程为kx过定点(2,0),不符合题意舍去;2k一时，直线7l的方程为2,过定点(2,0), 7二、定值问题【例2】.已知椭圆的中心在原点，焦点 F在y轴的非负半轴上，点 F到短轴端点的距离是 4,椭圆上的点 到焦点F距离的最大值是6.(I )求椭圆的标准方程和离心率 e ;(n )若F为焦点F关于直线y 3的对称点，动点 M满足MF e ,问是否存在一个定点 A ,使M2MF到点A的距离为定值？若存在，求出点 A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解：(I)设椭圆长

11、半轴长及半焦距分别为a, c,由已知得解得a4, c2 .a c 6,2221所以椭圆的标准方程为匕上 1.离心率e 2.161242(n ) F(0,2),F (0,1),设 M(x,y),由 JM e得仁 (y 2 1MFx2 (y 1)22化简得 3x2 3y2 14y 15 0,即 x2 (y 7)2 (2)2337 2故存在一个定点 A(0,-),使M到A点的距离为定值，其定值为 -.33【例3】.已知抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，P(2, 0)为定点.(I)若点P为抛物线的焦点，求抛物线 C的方程；(n)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动，点A B是圆M与y轴的

12、两交点，试推断是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.解：(1)设抛物线方程为y22Px(p0),则抛物线的焦点坐标为(卫,0).由已知，-2,即p 4,22故抛物线C的方程是y2 8x.(n)设圆心M (a, b)( a 0),点A(0, y1)，B(0, y2).因为圆M过点P(2 , 0),则可设圆M的方程为(x a)2 (y b)2 (a 2)2b2.令 x 0,得y22by4a4 0.则 y1y 2b,y y 4a 4.所以 | AB|J(y1J(m3 4.y244b2 16a16.，设抛物线C的22万程为y mx(m 0),因为圆心 M在抛物

13、线C上，则b ma .所以|AB| "ma 16a_16 ，4a(m 4)16 .由此可得，当 m 4时，|AB| 4为定值.故存在一条抛物线y2 4x,使|AB|为定值4.解析几何中的定值定点问题（二）1、已知椭圆C的离心率e 盘,长轴的左右端点分别为 Ai 2 ,0 , A2 2 ,0。（ I ）求椭圆C的方程;2（n）设直线x my 1与椭圆C交于P、Q两点，直线AF与A2Q交于点S。试问：当m变化时，点S是 否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。22解法一：（I）设椭圆C的方程为驾 y21ab 0。 1分a b1 a 2 , e -

14、 -, c j3, b2 a2 c2 1。 4 分a 22，椭圆C的方程为xr y2 1。 5分4（n）取m 0,得P 1,灵，Q 1,理，直线A1P的方程是y 页x 更，2263直线A2Q的方程是y 旦。,交点为S1 4,73 7分，2若P 1 咆Q 1在，由对称性可知交点为S2 4, J3 . '2 '2若点S在同一条直线上，则直线只能为l :x 4。 8分2x 2 1以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线l :x 4上。事实上，由 4 y 得x my 1,2,22.22m3-27 , y1y2-2-m 4 m 4my 1 4y 4,即 m 4 y 2

15、my 3 0,6y1x1 2记 P x1，y1 ,Q x2,y2 ,则 y1 y2设A1p与1交于点S0（4,y。），由言24，得y0设A2Q与1交于点S0（4,y0）,由上/万得y。卫x2 21012m12m6y12y2 6y1 my2 1 2y2 my1 34myIy2 6 y1 y2m2 4 m2 4Q y0 y 0,x1 2 x2 2x1 2 x2 2x1 2 x2 2 x1 2 x2 2yc yc ,即S0与S0重合，这说明，当 m变化时，点S恒在定直线l :x 4上。13分虫，直线A2Q的方程是3解法二：（n）取m 0,得P 1,W3 ,Q 1, Y3 ,直线AF的方程是y x 2

16、26y -2-xU3,交点为 & 473 . 7分取m 1,得P 8,-,Q 0, 1 ,直线A1P的方程是y -x 1,直线A2Q的方程是y 1x1,交点为S24,15 5632若交点S在同一条直线上，则直线只能为l ：x 4。以下证明对于任意的m,直线AF与直线A2Q的交点S均在直线l :x 4上。事实上，由2 x-4xmy1 /日得122my 1 4y 4,2my 3 0记 P x1，y1 ,Qx2，y2一 ,yy24A1P的方程是y1x1 2,A2Q的方程是y占2 ,消去y,得一x1y11y2以下用分析法证明4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明x26y1x1 22y2x2

17、2,即证3yi my 2 1y2 my1 3，即证 2myy2 3 y1 y2 .2my1y2 3 y16my2 m 46m-2 m0,，式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线l :x4上。解法三：(n)2x 2由7 yx mymy221 4y4,即m24 y 2my3 0。记 P x1,y1 ,QX2N2 ,则yiy22mF'y2AiP的方程是y1 x12 , A2Q的方程是y2 xx22y1x1y2x2Wx122 x12gy2 x1y x22y1 x22V2 my1 32gV2 my1 3y1 my2 12g2my1 my2 13y23y 2 y1yic 32mg2c m 4

18、2g2mF y1c 2m32y1y1m 4y1一 4.12分这说明，当m变化时，点S恒在定直线l :x4上。13分2my1 y2m2、已知椭圆E的中心在原点，焦点在 x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值2为企1 ,离心率为e .2(I )求椭圆E的方程；uur ujuu(n )过点1 , 0作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点 M , MP MQ为定值?若存在，求出这个定点 M的坐标；若不存在，请说明理由.解：(I)设椭圆2E的方程为与 a2yr 1,由已知得: bc(n) uuir MP,2 b21c2 1 椭圆E的方程为法一：假设存在符合条件的点uuuu(X1 m,y

19、1),MQ(X2M(m,0) uuur uuuum,y2),MP MQ,、2X1X2 m(X 1 x2) m y1y2。 5 分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为:k(x1 得 X2 2k2(X 1)21)2(2k21)X2224k2X (2k22) 0 X1X2*V2k2(X11)(X2 1),2/k X1X2 (X1uuur uuuu 所以MP MQ2k2 2对于任意的k值,22k 1uuirMP4k22k2 1uuiurMQ为定值,1。(X14k22, X12k 1X2)1所以P(Xi，y)Q(X2，y2),则:m)k(xX2(X21),2k22k2m) y%17分5 uur 所以

20、M(5,0),MP4uuuu MQ;1116k22k2 1k22k2 1(2m24m22_1)k (m 2)22k2m2, 一， 24m 1 2(m2 2)当直线l的斜率不存在时，直线l： x 1,X1 X2 2,X 1X21,yy2uuuu5 uur得 MP MQ工综上述知，符合条件的点16M存在,法二：假设存在点 M(m,0),又设P(X1,y)Q(X 2%),则:uuir uuur MP MQ当直线2XuuurMP (X1X1X2(X1 m) (X2 m) y1y2 = X1X2 m(X1l的斜率不为0时，设直线l的方程为、2X2)mX ty 1,起坐标为(-,0) -4uuuum,y1

21、),MQ(X25分13分m,y2)ty1得(t11) (ty2X1X2 t(y 1 y2)uuurMPuuuu MQ2t222)y2 2ty 1 0 y1y22tp2，y1 y21t2 21)tzywt(y 1y2)2_ 22_t 2t t 22t 22t2 tuuir 设MPuuuu MQt2 22 则皿2t2t24mt2 222)t t22t2 4222m2(m2(m222)t2一 2., 22m 4m 1 (t、2_2)t 2m 4m 1 2当直线l的斜率为0时,直线l:uuir uuur -5 一MP MQ ( 2 -) (242 (m22)t2t2 24m 1；2m2 t2 24m

22、12)0,2,2m 4m545M(-,0) 11745、 25)一416由 M(5,0)得:716162综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为(5,0)。i3分223、已知椭圆的焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x2 4y的焦点，离心率e -,过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l ,交椭圆于A、B两点。(I )求椭圆的标准方程；uuir uuur uuu(n)设点 M (m,0)是线段OF上的一个动点，且(MA MB) AB(m)设点C是点A关于x轴的对称点，在 x轴上是否存在一个定点,求m的取值范围；三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。由(2.5解法一： (

23、ia2 b2a(n)2代入5则xiuuur2)设椭圆方程为2a2y2 i(a b2a 5故椭圆方程为一I )得 F(2,0)，所以 0 mi,得(5k2i)x2 20k 2x20kx2uuir5k2,xix2i20k2 52, yi5k ib 0),由题意知b 152,y2 i设l的方程为y k(x2) (k 0)220k2 5 0 设 A(xi,yi),B(x2,y2),yk(xi X2 4), yi y2k(xi X2)MA MB (Xi m,yi)uuruuLrQ(MA MB)uuuuuirAB, (MA(X2 m,y2) (xiuuirMB)uuuAB 0,uuux2 2 m, yi

24、y2), AB d(xi x2 2m)(x2 xi) (y220k25k2 i2m4k25k28 - 4一时，有5i uuu (MA0,(8uuirMB)(m)在x轴上存在定点*y2 yi /、为 y yi (x x1),x2Ql的方程为xiy k(xyi k(%2), y25m)k22 m _m 0 由 k 0, 08 5muurAB成立。.5 一N (一 ,0)，使得C、B、N三点共线。依题意知2yi%)y2yixiyx2y2、y2yi2), A、k(x2 2)B在直线l上,k(xi i)x2 k(x2 i)、k(xi x2) 4k2k事i5 2k20k25k2 i20k2解法二：x2代入

25、55k(n)4kxix2xi, y2yi)(yi8m -5C(xi,yi)v2yi)，2kxix2 2k(xi x2)k(xi x2) 4k 5在x轴上存在定点N(-,0)，使得C B N三点共线。2I)得 F(2,0),所以 0一 22 一 2得(5k i)x 20k20k2_220 k 52,xx22-5k2 i 5k2 i直线BC的方程m 2。设l的方程为y k(x 2) (k 0),20k2yi5 0设 A(xi,yi),B(x2,y2),则y2 k(xx24)uur uiuruur-Q(MA MB) AB, | MA | |MB|,Q ,(xi m)2(xi x2 2m)(xi x2) (yi 72)(yi y?) 0,2_22(i k )(xi x?) 2m 4k 0, (8 5m)k myi (x2 m)4k彳, yi y25k i2y2,k(xi x?)08k2m 5