求三角函数最值的八种方法归纳总结学生版

1、求三角函数最值的八种方法归纳总结三角函数的最值问题是三角函数中的高频考点之一，考查知识点多，综合性强，灵活性也比较大。三角函数最值问题不仅仅用到了其函数图像与性质，还用到三角恒等变换；并且常常会涉及到二次函数、不等式、方程、向量等等。下面就介绍常考题型的解题方法。题型一、利用三角函数有界性转化成 y asinx b或y acosx b形式例1.求函数y 2cosx 1的值域.变式训练 求函数 y sin x cosx,x , 的值域.64 3小结：必须注意字母 a的符号和自变量x的范围对最值的影响题型二、y asinx bcosx形式此类型的函数形式要通过辅助角公式化为y Va2 b2 sin

2、 x ，利用函数sin x1即可求解。例2.求函数f x 2cosx sin x的最大值为变式训练 求函数f x cos4 x 2sin xcosx sin4 x在0,一 上的最值. 2题型三、转化为二次函数若函数表达式中的正弦或者余弦函数次数最高为2时，一般就需要通过换元法或者配方法化成二次函数的最值问题来处理.即y a sin2 x b sin x c型，一般来说可令t sinx,t 1,1 ,化为闭区间上二次函数最值问题。例3.求函数y sin2 x 3cosx 3的最小值.变式训练 已知向量m sinA,cosA,nJ3, 1 , m n 1,且A为锐角.(1)求角A的大小；(2)求函

3、数 f x cos2x 4 cos Asin x x R 的值域.题型四、引入参数转化(换元法).2sin x cosx 1对于表达式中同时含有 sin x cosx,与sin xcosx的函数，可以利用2sin xcosx建立sinx cosx与sin xcosx之间的关系式， 通过换元将换函数转化,但要注意前后定义域的关系例4.求函数y sin xcosx sinxcosx的最大值2变式训练 已知sinx sin y ,求cosx cosy的值域. 2题型五、基本不等式法在运用均值不等式时，必须注意函数式中各项的正负，需要各项满足正值时方可使用,在解题时应加以论述说明；此外，还要注意不等式

4、中等号成立的条件，需要合理的拆添项, 凑系数，及其不等式中和的最值与积的最值例5.已知X 0,sinxsinx的最小值.变式训练若x 0,，求y,. x , 一 八1 cosx sin一的最大值.2题型六、 利用导数求单调性例6.已知函数f x 2 sin x sin 2x ,求f x的最小值.变式训练 求函数y 1 sinx 3 s1nx的最值. 2 sin x题型七、转化成分式型a sinx b -D y （或 ycsin x d可得到最值.a cosx b 一. .,）型，反解出sinx或cosxccosx d,在利用其有界性,e a sinx b j a sinx by y （或y ）型，可化为 sin xccosx dccosx dg y去处理.例7.求函数y2 cosx2 cos x 11 一的值域.sinx 1变式训练：求函数 y 的最大值和最小值cosx 2题型八、数形结合.一 一 22由于sin x cos x 1