构造等腰三角形解题的常见途径(新)

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!3构造等腰三角形解题的常见途径等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？ 一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图1中，若AD平分/ BAC, AD/EC,则 ACE是等腰三角形；如图 1中，AD平分/ BAC,DE /AC,则 ADE是等腰三角形；如图 1中，AD平分/ BAC, CE / AB,则 ACE是等腰三

2、角形；如图1中,AD平分/ BAC, EF / AD,则 AGE是等腰三角形.图1例1 如图2, 4ABC中，AB = AC,在AC上取点P,过点P作EFXBC,交BA的延长线于点E,垂足为点F.求证：.AE = AP.简析 要证.AE=AP,可寻找一条角平分线与 EF平行，于是想到 AB=AC,则可以作AD平分/ BAC,所以ADXBC,而EFXBC,所以AD/EF,所以可得到 AEP是等腰三角形，故AE = AP.例2 如图3,在 ABC中，/ BAC、/ BCA的平分线相交于点 O,过点 O作DE /AC,分别交AB、BC于点D、E.试猜想线段 AD、CE、DE的数量关系，并说明你的猜想

3、理由.简析 猜想：AD+CE=DE.理由如下：由于 OA、OC分别是/ BAC、/ BCA的平分 线，DE/AC,所以 ADO和 CEO均是等腰三角形，贝U DO=DA, EC= EO,故AD+CE =DE.例3 如图4, ABC中，AD平分/ BAC, E、F分别在 BD、AD上，且 DE=CD, EF = AC.求证：EF / AB.简析 由于这里要证明的是 EF / AB,而AD平分/ BAC,所以必须通过辅助线构造 出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE = CD的提示下，相当于倍长中线，即延长AD至M,使DM=AD,连结EM ,则可证得 MDEADC,所以ME = AC,又E

4、F =AC, / M = / CAD,所以/ M = Z EFM ,即/ CAD = / EFM ,又因为 AD 平分/ BAC, 所以/ BAD = Z EFD = / CAD,所以 EF / AB.二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图5中，若AD平分/ BAC, ADXDC,则 AEC是等腰三角形.例 4 如图 6,已知等腰 R t ABC 中，AB=AC, /BAC = 90° , BF 平分/ ABC, CDBD交BF的延长线于 D.求证：BF=2CD.简析 由BF平分/ ABC, CDXBD,并在图5的揭

5、示之下，延长线BA、CD交于点 巳 于是 BCE是等腰三角形，并有 ED = CD,余下来的问题只需证明 BF = CE,而事实上， 由/ BAC=90° , CDXBD, / AFB = / DFC ,得/ ABF = / DCF ,而 AB = AC,所以 ABFACE,贝U BF = CE,故 BF = 2CD .三、利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图 7中，若/ ABC = 2/C,如果作BD平分/ ABC,则 DBC是等腰三角形；如图7中，若/ ABC=2/C,如果延长线 CB至ij D,使B

6、D = BA,连结AD ,则4ADC是等腰三角形；如图 7中，若/ B=2/ACB,如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作/ ACD=/ACB,交BA的延长线于点 D,则4 DBC是等腰三角形.D ,图7E 图8例 5 如图 8,在 ABC 中，/ ACB=2ZB, BC=2AC,求证：/ A=90° .简析 由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对/ACB = 2ZB进行技术处理，即作 CD平分/ ACB交AB于D,过D作DELBC于E,则由/ ACB= 2 / B知/ B = Z BCD,即 DBC是等腰三角形， 而DELBC,所以BC= 2CE,又BC=

7、2AC, 所以 AC=EC,所以易证得 ACDAECD,所以/ A=/DEC = 90° .说明本题也可以利用图 7的、来构造等腰三角形求解.手脑并用巧解题随着课程标准深入实施：宥效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。手实验、自主探索与合作交流成为学习的重要方法因此，以等腰三角形为背景的动手操作、动脑设计的手脑并用的中考题悄然兴起.一、模拟画图例1 已知在如图1的4ABC中，AB=AC, / A=36° ,仿照图1,请你再用两种不同的方法，将 ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图

8、 2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数）.解：如图4、图5、图6、图7.、手脑并用例2在平面内，分别用3根、5根、6根火柴，首尾依次相接可以搭成什么形状的 三角形呢？通过尝试，列表如下所示:火柴救356示意图12"1形状等边三角彩等腰T角形等边三角形问：（1） 4根火柴能搭成三角形吗？（2） 8根、12根火柴分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出图形.解：（1） 4根火柴不能搭成三角形因为1 + 1=2不满足三边关系.放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！(2) 8根火柴能搭成等腰三角形，如图 812根能搭成等边三角形，如图 9,或等腰三角形，如图10,或直角三角形，如图 11.此题动手操作性强而且有助于培养同学们探究学习的学习习惯.三、动手剪裁例3在劳技课上老师请同学们在一张边长为16cm的正方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形(要求等腰三角形至少有一条边