云南省玉溪市高考数学模拟试卷(09)及答案

1、云南省玉溪市高考数学模拟试卷（09） 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）集合 M=y|y= ，x，y N的元素个数是（ ） x+3 A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个 2. （5 分）下列命题中，真命题是（ ） A. ? x R， r 0 B. ?x R，2xx2 a+b=0 的充要条件是=- 1 D . a 1，b 1 是 ab 1 的充分条件 b （5 分）将函数 y=sin4x 的图象向左平移=个单位，得到 y=sin （4x+）的图象, X U C. 2 C. 3. A.

2、等于（ B . 12 （5 分） 函数 ) C. 3 f (x) D . 3 12 =2+x3- 2 在区间（0，1）内的零点个数是（ ） （5 分） 已知 丄 x=ln n y=log52，2，贝U( ) xv yv z B . zv xv y C . zv yv x D . yv zv x （5 分）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取 自阴影部分的概率为（ 1 *为有理数 7. （5分）设函数为无理数，则下列结论错误的是（） A . D （x）的值域为0，1 B . D （x）是偶函数) C. D (x)不是周期函数 D. D (x)不是单调函数

3、8. (5 分)函数 f (x)在a, b上有定义，若对任意 xi , a, b，有 2，i :1 . I则称 f(x)在a，b上具有性质 P.设 f (x) 2 2 在1, 3上具有性质 P,现给出如下命题： f (x)在1, 3上的图象是连续不断的； f (x2)在1,习上具有性质 P; 若 f (x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f (x) =1, x 1, 3; 亠 亠 X 1 + K + K/I 1 对任意 X1, x2 , x3, X4 1 , 3，有: . ：. f (X1)+f (X2) +f (X3) +f (x4) 其中真命题的序号是( ) A. B. C D. 10.

4、 (5 分)1一 _ 一在R 上为减函数，则 a 的取值范围是 _ . 2 11. (5 分)当函数 y=sinx_血cosx (00,宀0)的最大值为 3，其 6 1T 图象相邻两条对称轴之间的距离为 ， (1) 求函数 f (x)的解析式和当 x 0, n时 f (X)的单调减区间； (2)设 a(0, 2L),则 f (皂)=2,求 a 的值. 2 2 16. (12 分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者 获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概 率为丄，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响. 3 2 (I) 求甲获胜的概

5、率； (n)求投篮结束时甲的投篮次数 E的分布列与期望. 17. (14 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 丄平面 ABCD AB 丄 BC, / BCA=45 , PA=AD=2 AC=1, DC 农 (l) 证明 PC 丄 AD; (n)求二面角 A- PC- D 的正弦值； (m) 设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30,求 AE 的长. 18. (14 分)已知函数 f (x) =x- a 丫+lnx, (a 为常数). (1) 当 a=5 时，求 f (x)的极值； (2) 若 f (x)为增函数，求实数 a 的取值范围. 19. (14

6、 分)设函数 f (x) =x4+ax3+2x2+b (x R),其中 a, b R. (1) 若函数 f (x)仅在 x=0 处有极值，求 a 的取值范围； (2) 若对于任意的 a - 2, 2，不等式 f (x)6 时， ，所以 y?N. x+3 综上，M=y| y= , x, y N=2, x+3 故选 A.y N， 当 x=1 时, y= 当 x=2 时, 当 x=3 时, 当 x=4 时, 当 x=5 时, y= ?N; 2+3 5 y= ?N; 3+3 3 y= ?N； 4+3 7 y= N; 1，元素个数是 2 个. a 1, b 1是 ab 1 的充分条件，显然正确. 故选

7、D. 3. (5 分)将函数 y=sin4x 的图象向左平移 个单位，得到 y=sin (4x+)的图象, 12 A. 等于( ) 71 JT 7V 71 B.C. D. 12 3 3 12 【解答】解：函数 y=sin4x 的图象向左平移三个单位，得到.二二，的图 象，就是 y=sin (4x+)的图象，故| 0 故选 C 4. (5 分)函数 f (x)二公+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解答】解：由于函数 f (x) =2x+x3 - 2 在区间(0, 1)内单调递增，又 f (0)= -1v0，f (1) =10， 所以 f

8、(0) f (1)v 0， 故函数 f (x) =2x+x3 -2 在区间(0，1)内有唯一的零点， 故选 B. 5. (5 分)已知 x=ln n y=log52， ze 丄 ，则( ) A. xvyvz B. zvxvy C. zvyvx D. yvzvx 【解答】解： x=ln Ine=1， 0 v Iog52 v logs* ；=u 即 y(0,)； 仁e0. = 1 = -，即 z，“， yv zvx. 故选：D. 6. (5 分)如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取 自阴影部分的概率为( ) A.】B.】C. - D. 4 5 6 7 【解答

9、】解：根据题意，正方形 OABC 的面积为 1X仁 1, 1 2 彳 而阴影部分由函数 y=x 与 y= 丫围成，其面积为歩1( ，-x)dx=()|o1=, 3 x 2 6 丄 则正方形 OABC 中任取一点 P,点 P 取自阴影部分的概率为 =; 1 6 故选 C. 1 丫为有理数 7. (5 分)设函数 DW=J 二;工田二：，贝 U 下列结论错误的是( 卫，X 为无理轨 A. D (x)的值域为0，1 B. D (x)是偶函数 C. D (x)不是周期函数 D. D (x)不是单调函数 【解答】解：A 显然正确； 垃为有理数 垃为无理数 D (x)是偶函数, T=1 为其一个周期， 故

10、 C 错误； v D (匚)=0, D (2) =1, D ( _) =0, 显然函数 D (x)不是单调函数, 故 D 正确； 故选：C. 8. (5 分)函数 f (x)在a, b上有定义，若对任意 xi , a, b，有 J ：则称 f( x)在a，b上具有性质 P设 f (x) 在1, 3上具有性质 P，现给出如下命题： f (x)在1, 3上的图象是连续不断的； f (x2)在1, 上具有性质 P; 若 f (x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f (x) =1, x 1, 3; 对任意 X1, x2 , x3, X4 1 , 3，有匚 * ：. f (X1)+f (X2) 4 4

11、 +f (x3) +f (X4) 其中真命题的序号是( ) A. B. C D. 【解答】解：在中，反例：f (x)= ，： 在1, 3上满足性质 P, 也 x=3 但 f (x)在1 , 3上不是连续函数，故不成立； 在中，反例：f (x) =-x 在1, 3上满足性质 P,但 f (x2) =-x2在1,= 上不满足性质 P, 故不成立； B 正确； v D (x+1) 號为有理数 X 为无理数 在中：在1, 3 上, f (2) =f (1)三上：一， f (x)+f(4-x) 2 f( 0 【解答】解：由 r+lHl ，解得：-1 VX .u- 2 2 11. (5 分)当函数 y=s

12、inx-cosx (0 xv 2 n)取得最大值时，x= 【解答】 解：I y=sinx- :cosx=2 (亠sinx-cosX) =2sin (x- ). 2 2 3 / 0 xv2n, W X - v , 3 3 3 ymax=2,此时 x-=, 3 2 5 兀 x= . 6 故答案为：一 . 6 12. (5 分)已知 y=f (x) +x2是奇函数，且 f (1) =1,若 g (x) =f (x) +2,则 g (-1) = - 1 . 【解答】解：由题意，y=f (x) +x2是奇函数，且 f (1) =1, 所以 f (1) +1+f (- 1) + (- 1) 2=0 解得

13、f (- 1) =-3 所以 g (- 1) =f (- 1) +2=- 3+2=- 1 故答案为：-1. 13. (5 分)已知函数 f (x) =x (x- c) 2在 x=2 处有极大值，则 c= 6 . 【解答】解：T f( x) = (x- c) 2+2x (x- c) =3x2 - 4cx+c2,且函数 f (x) =x (x -c) 2在 x=2 处有极大值， f( 2) =0,即卩 c2 - 8c+12=0，解得 c=6 或 2. 经检验 c=2 时，函数 f (x)在 x=2 处取得极小值，不符合题意，应舍去. 故 c=6. 故答案为 6. 14. (5 分)已知函数 f (

14、x) =elx-al (a 为常数).若 f (x)在区间1, +*)上是 增函数，贝U a 的取值范围是 (-%, 1. 【解答】解：因为函数 f (x) =e|x-a| (a 为常数).若 f (x)在区间1, +x)上(12 是增函数 由复合函数的单调性知， 必有 t=|x- a|在区间1, +K)上是增函数 又 t=|x-a|在区间a, +x)上是增函数 所以1, +x)? a, +x),故有 a0,宀0)的最大值为 3，其 6 图象相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 (1) 求函数 f (x)的解析式和当 x 0, n时 f (X)的单调减区间； (2) 设 a( 0,),则 f L

15、) =2,求 a 的值. 2 2 【解答】解：(I)：函数 f( x)的最大值是 3,二 A+1=3，即 A=2. - (1 分) 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，最小正周期 T=n,二=2 2 (3 分) 分) 16. (12 分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者 获胜，所以 f (x) =2sin (2x-) +1. - 6 ，即 厶 (4 分) f (x) (n)V f) =2s 的单调减区间为 3 (a-)+仁 2,即 sin 6 k7Tx-+kn, kez, 3 6 5 兀 1 _ / ”)=1 )一, 6 (8 分) 分) ：0v a JT - JT

16、 7T . 7T JT . JT -，- a=. (12 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概 率为丄，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响. 3 2 (I) 求甲获胜的概率； (H)求投篮结束时甲的投篮次数 E的分布列与期望. 【解答】解：(1)设 Ak, Bk分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中， 则 P (Ak) = , P (Bk) =1 , k( 1, 2, 3). 3 2 记甲获胜”为事件 C, 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知: P (C) =P (Al) +P ) +P ；) . - （5 分） （2） E的

17、所有可能为：1, 2, 3, 由独立性知：P（E =） =P （Ai） +P （厂.）=丨 =, P （ E =） =P （ i ,| ：. +P （二.j 七二丿= .+ （）2 （ ）2 =, 2 2 P （ E =） =P （.、. 11； 乂 ；）=（）（十）= , 综上知，E的分布列为: E 1 2 3 P 2 2 1 3 9 9 - （9 分） EE二. 二.（次） - （11 分） 3 9 9 3 甲获胜的概率为丄7；甲的投篮次数的期望为鼻次. - (12 分) M I J 17. （14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中, PA 丄平面 ABCD AB 丄 BC, / BC

18、A=45 , PA=AD=2 AC=1, DC=/5 （I） 证明 PC 丄 AD; （8 分） （U）求二面角 A- PC- D 的正弦值； （m）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30求 AE 的长. 【解答】（本小题满分 13 分） 证明：（I）：在厶 ADC 中，AD=2, AC=1, DC=- AC2+AD2=CD2， AD 丄 AC, （ 1 分） 如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系， 依题意得 A （0，0，0），D （2，0，0），C （0，1, 0），B （-丄，丄，0）, P （0， 2 2 0, 2）, 得疋=（0, 1,- 2）

19、, AD = （2, 0, 0）, 解：（U） j，_ ;,厅if： 设平面 PCD 的一个法向量 i-= （x, y, z）, 则牡竺 y%0,不妨令 z=1，得；=（1, 2, 1）, Ln-CD=2x-y=0 可取平面 PAC 的一个法向量 =（1, 0, 0）, 于是cos = 八, 从而 sinv 所以二面角 A-PC- D 的正弦值为 . 6 （m）设点 E 的坐标为（0, 0, h）,其中 h 0 , 2, PCX （4 分） -(7 分) 由此得祝=(丄，丄，b),由石=(2,- 1, 0), 2 2 故 一-一 ， I BE I I CD | V10+20B2 满足异面直线

20、BE 与 CD 所成的角为 30 - =cos30工！，解得 h= I ，即 AE 二二.(13 分) &0+2 曲 2 10 10 18. (14 分)已知函数 f (x) =x- a，+lnx, (a 为常数). (1)当 a=5 时，求 f (x)的极值; (2)若 f (x)为增函数，求实数 a 的取值范围. 【解答】解：函数 y=f (x)的定义域为(0, +x), 、頁+2 _ (2 頁-1)(依-2) 一 2x 一 2x 如下表 x 1 4 tp 4) 4 (4, +x) f (x) + 0 1 0 + f (x) 递增 递减 6+l n4 递增 (1 分) (1)当 a

21、=5 时，- 令 f (x) =0 得一一，或 x=4 (3 分)f (x), f (x)随 x 的变化情况 -(7 分) 由上表可得函数的极大值为亠；=_: D，极小值为 f (4) =- 6+ln4. - （14 (2)由题意得：， I在区间(0, +x)恒成立，- 2y E K 2x 即：在区间(0, +x)恒成立, 1,当且仅当厂:一，即 x=1 时等号成立. VI =4 - m in 19. (14 分)设函数 f (x) =x4+ax3+2x2+b (x R),其中 a, b R. (1) 若函数 f (x)仅在 x=0 处有极值，求 a 的取值范围； (2) 若对于任意的 a -

22、 2, 2，不等式 f (x) 1 在 x - 1, 1恒成立，求 b 的取值范围. 【解答】解：(1)求导函数可得f (x) =x (4x2+3ax+4), - ( 1 分) 显然 x=0 不是方程 4x2+3ax+4=0 的根. 为使 f (x)仅在 x=0 处有极值，必须 4/+3&乂+40 成立， - (3 分) 即有 =9a2- 640 恒成立.- - (8 分) 当 xv0 时，f (x)v 0;当 x0 时，f (x) 0. 因此函数 f (x)在-1, 1上的最大值是 f (1)与 f ( - 1)两者中的较大者.- - (11 分) 为使对任意的 a - 2, 2，不

23、等式 f (x) 1 在-1, 1上恒成立, 分) 所以 b - 4,因此满足条件的 b 的取值范围是(-%, - 4.- 分)在区间(0, +x)恒成立.- (10 分) _ 1 -（13 分） 所以 a 的取值范围是(-% 4 . - （ 14 分） 当且仅当 ffdXi 丁(T)0，可得 x 1 ； 函数 f (x)的单调减区间为(-x， 1)，单调增区间为(1，+x) (n)设点 P (x0，f (X。)，曲线 y=f (x)在点 P 处的切线方程为 y=f(x) (x -x0)+f (X0) 令 g (x) =f (x)- f(X0)(x-x0)- f (X0) 曲线在该点处的切线与曲线只有一个