函数的单调性

1、1.3.1函数的单调性函数的单调性函数的基本性质xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?f(x1)x1xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y =

2、 x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)xyy = xO11实例实例1 1：画出函数：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)1.从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降 _?2.在区间在区间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值的值随着随着 _ (- -, +)增

3、大增大上升上升Oxy2xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)(1xf2xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函

4、数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Ox)x(f11xy2xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?1.在区间在区间_上上,f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而_2. 在区间在区间_上上,f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _ (- -, 0(0, +)增大增大减小减小x01234f(x)=x2014916 2 2 在在区区间间 0 0，上上任任取取两两个个, ,得得到到，当当时时，有有，这这时时我我们们就就说说函函数数在在区区间间 0 0，上上

5、是是增增函函数数212112221212,(),()()()( ).xxf xxf xxxxf xf xf xx 一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对，如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区在区间间D上是上是增函数增函数 1增函数增函数一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对，如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两

6、个自变量x1，x2，当，当x1f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区在区间间D上是上是减函数减函数 2减函数减函数 3.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的质，是函数的局部性质局部性质；注意：注意：2.必须是对于区间必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2) 分别是增分别是增函数和减函数函数和减函数.1.1.如果函数如果函数 y =f(x)在区间在区间D D是单调增函数或单调是单调增函数或单调减函数，那么就说函数减函数，那么就说函数 y = =f( (x) )在区间

7、在区间D D上具有单上具有单调性。调性。例例1.下图是定义在区间下图是定义在区间- -5，5上的函数上的函数y=f(x)，根，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？它是增函数还是减函数？解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有其中其中y=f(x)在区间在区间- -5, - -2), 1, 3)上是减函数，上是减函数， 在区间在区间- -2, 1), 3, 5 上是增函数上是增函数.- -5, - -2), - -2,1), 1, 3), 3, 5. 二二.典例精析典例精析例例2.证明：函数证明：函数 在在 上是增

8、函数上是增函数., 证明：在区间证明：在区间 上任取两个值上任取两个值 且且 , 12,x x12xx12xx12,x x ，且，且210 xx23)( xxf)23()23()()(1212xxxfxf则)(312xx )()(0)()(1212xfxfxfxf即所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数. . , 23)( xxf思考：思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？如何证明一个函数是单调递增的呢？取值取值变形变形作差作差定号定号判断判断三三、判断函数单调性的方法步骤、判断函数单调性的方法步骤 取值：取值： 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；作差：作差：f(x1)f(x2)；变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；定号：（即判断差定号：（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；下结论：（即指出函数下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上上的单调性）的单调性） 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：强化训练：强化训练：1.证明函数证明函数 在在 上是增函数上是增函数.32)(2xxxf), 1 ( 2.证明函数证明函数 在在 是减函数是减函数 xxf2)()0 ,(