利用空间向量解决立体几何（高二}

1、123( ,)aa a a1.若，123( ,),bb b b则：数量积： a b 1 1223 3aba ba b夹角公式： cosa b 111222( ,), (,)A x y zB xyz2.若，则：212121(,)xx yy zzAB | |a bab 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb| | cos,aba b异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D,CD AB 与 的关系？思考：思考：,DC AB 与 的关系？结论：结论：coscos,CD AB |题型一：线线角题型一：线线角小结小结正方体正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2

2、，且，且AC与与BD交于点交于点O，E为为棱棱DD1的中点。求证：的中点。求证：B1O平面平面EAC。zyx解：解：如图所示，以如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 A-xyz，则，则A（0，0，0）,B（2，0，0），），C（2，2，0），），D（0，2，0）E（0，2，1），）， B1（2，0，2） O是正方形是正方形ABCD的中心，的中心， O（1，1，0） A1DCBAB1D1C1OE1( 1,1, 2)B O (2,2,0)AC (0,2,1)AE 即即B1OAC，B1OAE，又，又AC AE=A B1O平面平面EAC1( 1,1, 2) (2,2,0)1

3、2 1 22 00BO AC 1( 1,1, 2) (0,2,1)1 0 1 22 10BO AE 1BOAC 1BOAE 例一：090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角所以 与 所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：

4、11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF3010题型一：线线角题型一：线线角练习：题型一：线线角题型一：线线角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD 10AM AD 1.ADAMADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M题型

5、二：线面角题型二：线面角直线与平面所成角的范围： 0,2ABO, n BA 与 的关系？思考：思考：n结论：结论：sincos, n AB |题型二：线面角题型二：线面角例二：题型二：线面角题型二：线面角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,AD AD 2 55ADANM与平面所成角的正

6、弦值是2 55练习1： 1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角题型二：线面角题型二：线面角正方体ABCD1A1B1C1D题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围题型三：二面角题型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， A

7、 B C D 是一直角梯形，A B C = 90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0, 1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是zxy练习练习2:zxy练习练习2:zxy练习练习3: 正三棱柱正三棱柱 中，中，D

8、是是AC的中点的中点,当当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值的余弦值.111ABCA B C 11ABBC 1D BCC CADBC1B1A1解:如图，以如图，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设设底面三角形的边长为底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b31(,0),22Aaa(0,0),Ba31(,0)44Daa1(0,0, ),Cb1(0,),Ba b则则 C(0,0,0),故故131(, ),22ABaa b 1(0, ),BCa b 由于由于 ,所以所以 11ABBC 2211102AB BCab 22ba yxzCADBC1B1A1 在坐标平面在坐

9、标平面yoz中中 BCC1 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1( , )mx y z 可取可取 （1，0，0）为面）为面 的法向量的法向量 BCC1n练习练习3:小结：小结：1.异面直线所成角： coscos,CD AB |2.直线与平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12|cos,|n n cos12|cos,|n n 关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2n 立体几何中的有关证明问题，大致可分为立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行平行”“”“垂直垂直”两大类：两大类：平行：平行：线面平行、面面平行线面平行、面面平行垂直：垂直：线线垂直、

10、线面垂直和面面垂直线线垂直、线面垂直和面面垂直 一、一、 用空间向量处理用空间向量处理“平行平行”问问题题 一、一、 用空间向量处理用空间向量处理“平行平行”问问题题 nm0mnmnmnRDBCAA1QPNMD1C1B1例例2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分别是分别是A1B1和和BC上的动点，且上的动点，且A1P=BQ，M是是AB1的中点，的中点，N是是PQ的的中点中点. 求证：求证： MN平面平面AC.M是中点，是中点，N是中点是中点 MNRQ MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作作PP1AB于于P1，作作MM1 AB于于M1，连结连结QP1， 作作

11、NN1 QP1于于N1，连结连结M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又又NN1、MM1均等于边长的一半均等于边长的一半故故MM1N1N是平行四边形，故是平行四边形，故MNM1N1MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图证明：建立如图所示的空间直角所示的空间直角坐标系坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又又A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故故N(2-x, 1+x, 1),而而M(2, 1, 1)MN所以向量所以向量 (-x, x, 0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0, 0, 1)， n0nMN又

12、又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面ACnMNDCBAD1C1B1A1例例3.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：中，求证： 平面平面A1BD平面平面CB1D1平行四边形平行四边形A1BCD1 A1BD1C平行四边形平行四边形DBB1D1 B1D1BD于是平面于是平面A1BD平面平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx证明：建立如图所示的证明：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为1，则向量则向量)1 , 0 , 1 (1DA)0 , 1 , 1 (DB设平面设平面BDA1的法向量的法向量为为),(zyxn 则有

13、则有x+z=0 x+y=0令令x=1,则得方程组的解为则得方程组的解为x=1 y=-1 z=-1故平面故平面BDA1的法向量的法向量为为) 1, 1, 1 (n同理可得平面同理可得平面CB1D1的法向量为的法向量为) 1 , 1 , 1(m则显然有则显然有mn即得两平面即得两平面BDA1和和CB1D1的法向量平行的法向量平行所以所以 平面平面BDA1CB1D1 通过本例的练习，同学们要进一步通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于量积等于0，利用解方程组的方法求，利用解

14、方程组的方法求出平面法向量出平面法向量(在解的过程中可令其中在解的过程中可令其中一个未知数为某个数一个未知数为某个数)。例例1 1、2 2与例与例3 3在利用法向量时有何不同？在利用法向量时有何不同？DCBAD1C1B1A1FGHE例例4.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分别是分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的的中点中点. 求证：求证： 平面平面AEH平面平面BDGFADGF，AD=GF又又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四边形平行四边形ADGE AEDG 故得平面故得平面AEH平面平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建

15、立如图所示的略证：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz则求得平面则求得平面AEF的法向的法向量为量为) 1 , 2 , 2(n求得平面求得平面BDGH的法向的法向量为量为) 1 , 2 , 2(m显然有显然有nm故故 平面平面AEH平面平面BDGF 二、二、 用空间向量处理用空间向量处理“垂直垂直”问问题题 二、二、 用空间向量处理用空间向量处理“垂直垂直”问问题题 0mnnmnmnm: ,.ABCD A B C DCC BDA FBDE例5 在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ,DA DC DDxyzA 证明:如图取分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,设正

16、方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)( 1,1, 2),(2,2,0),(0,2,1)( 1,1, 2) (2,2,0)0( 1,1, 2) (0,2,1)0,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面ADBPCMNADBPCMN证明证明: 分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 , ,i j k Axyzxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且且平平面面可可设设(0,0,0),(0,1,0),( 1,1,0),(

17、1,0,0),ABCD (0,0,1)P11 1 1(0,0),(, )22 2 2MN 11(,0,)22MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11(,0,) ( 1,0, 1)022MNPDMNPD 11(,0,) (0,1,0)022MNDCMNDC PDDCDMNPDC 又又平平面面例例6 6：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1/3=a/3=a，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CCCC1 1上的点，上的点，且且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a 。求证。求证: :面面AEFA

18、EF 面面ACFACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy 不防设不防设 a =2a =2，则则A A（0 0，0 0，0 0），），B B（ 3 3 ，1 1，0 0），），C C（0 0，2 2，0 0），），E E（ 3 3，1 1，2 2） ，F F（0 0，2 2，4 4），），AE=AE=（ 3 3，1 1，2 2）AF=AF=（0 0，2 2，4 4），因为，），因为，x x轴轴 面面ACFACF，所以可取面，所以可取面ACFACF的法向量为的法向量为m=m=（1 1，0 0，0 0），），设设n=n=（x,y,z)x,y,z)是面是面AEFAEF的法的法向量，则向量，则xnAE=nAE= 3x+y+2z=03x+y+2z=0nAF=2y+4z=0nAF=2y+4z=0 x=0 x=0y= -2zy= -2z令令z=1z=1得得, , n=n=（0 0，-2-2，1 1）显然有显然有m n=0m n=0，即，即，m m n n面面AEFAEF 面面ACFACF证明：如图，建立空间直角证明：如图，建立空间直角坐标系坐标系