导数与微分单元总结

1、学科：数学教学内容：导数与微分单元达纲检测【知识结构】【内容提要】1本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用2导数的概念函数y=f(x)的导数f(x)，就是当x0时，函数的增量y与自变量x的比的极限，即函数y=f(x)在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率3函数的微分函数y=f(x)的微分，即dy=f(x)dx微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即函数值的增量y也可以用y的微分近似表示，即ydy或yf(x)dx。4求导数的方法(1)常用的导数公式c=0(c为常数)；(sinx)=cosx；(c

2、osx)=sinx；，；，。(2)两个函数四则运算的导数：(u±v)=u±v；(uv)=uv+uv。(3)复合函数的导数设y=f(u)，则5导数的应用(1)切线的斜率根据导数的几何意义，函数f(x)在点处的导数就是曲线f(x)在点处的切线斜率。因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。(2)函数的单调性当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果f(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果f(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数对于某个区间上的可导函数，利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。(3)函数的极值对于可导函数

3、f(x)判断其极值的方法为；1°如果在附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么，是极大值；2°如果在附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，那么，是极小值.可导函数f(x)在极值点处的导数是0；导数为0的点不一定是极值点例如，对于函数，x=0点处的导数是0，但它不是极值点(4)函数的最值闭区间a，b上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：1°求函数f(x)在(a，b)内的极值；2°将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。【难题巧解点拨】例1 已知函数（a>0且a

4、1）在定义域0，1上是减函数，求a的取值范围。分析 因为f(x)在0，1上是减函数，所以在0，1上必有f(x)<0。由不等式f(x)<0求出a的取值范围。解 ，由得（1） 或（2）0x1，不等式（1）无解因而知a>1，又由1<a<2。点拨 本题是已知函数的单调性求字母范围的问题，对于可导函数，利用导数来研究单调性是一种普遍适用的方法。例2 若不等式对任何实数x都成立，求实数a的取值范围。分析 要使原不等式对一切实数xR均成立，只要的最小值大于2a。问题归结为求在区间（，+）上的最小值。解 令，则。令f(x)=0，得x=0或x=3。当x变化时，f(x)，f(x)的变

5、化情况如下：由表可知的最小值为27。从而27>2a，故a>29。点拨 对于有关恒成立问题，一般思维方式是：a>f(x)恒成立，则a>f(x)的最大值；a<f(x)恒成立，则a<f(x)的最小值。因此将问题归结为求函数的最大值或最小值。【课本习题解答】复习参考题三（P145）A组1（1）；（2）；（3）（4）；（5） ；（6）。2（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。3（1）提示：由y=0，得所求点为（2）提示：由y=1，得所求点为。4提示：由y=0，得切点的横坐标为；又由y=0，得。5提示：由，得；由，得。（1）由，得或；（2）由，得。6提示：割线

6、斜率为5，由y=5，得所求点为（2，5）。7（1）；（2）dy=2sinx cosxdx；（3）；（4）。8质点的速度为。9（1）由S=0，得，；（2）由S=0，得，。10（1）当xR时，y是减函数。（2）当x(，1)时，y是减函数；当x(1，0)时，y是增函数；x(0，2)时，y是减函数；当x(2，+)时，y是增函数。（3）当x(，1)时，y是增函数；当时，y是减函数；当时，y是增函数。11（1），。（2），。（3），。（4）。12（1）y的最大值是8，最小值是1；（2）y的最大值是2，最小值是10；13提示：如图ABCD是球内接圆柱的轴截面，BD=2R，设圆柱的高为x，则圆柱底面半径，圆柱

7、的体积。令，解得（负值舍去）。因为V(x)只有一个极值，所以当圆柱的高为时，球内接圆柱的体积最大。（2）提示：如图，ABC是球内接圆锥的轴截面，设圆锥的高AD为x，则圆锥底面半径，圆锥的体积。令，解得（负值舍去）。因为V(x)只有一个极值，所以当圆锥的高为时，球内接圆锥的体积最大。14提示：设靠墙的边长为x，则垂直于墙的边，矩形的面积。令S(x)=20x=0，解得x=20。因为S(x)只有一个极值，所以当靠墙的边长为20m时，围成的场地面积最大。15提示：设圆半径为x，如果矩形高记作h，那么窗户面积，窗户周长。令，解得（负值舍去）。因为l(x)只有一个极值，因此为最小值点，相应地，所以圆半径与

8、矩形高的比为1时，窗户周长最小。B组1（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2（1）当x（，0）与x(0，+)时，y是减函数。（2）当x(，3)，x(3，3)与x(3，+)时，y是减函数。（3）当x(0，+)时，y是增函数。3（1）。（2），。4（1）提示：y=f(x)的定义域为（，+）。令，解得x=1，1。而f(1)=2，f(1)=2，且，所以y的最大值为2，最小值为2。（2）提示：y=f(x)的定义域为1，1。令，解得。而，端点的函数值为f(1)=0，f(1)=0，所以y的最大值是，最小值是1。5（1）提示：令，解得x=1±。而，端点的函数值f(0)=1，所以y的最大值

9、是，最小值是。（2）提示：令，解得x=1（负值舍去）。而f(1)=2。端点的函数值为f(0.01)=100.01，f(100)=100.01，所以y的最大值是100.01，最小值是2。（3）提示：当x(0，4)时，y=f(x)是增函数。端点的函数值为f(0)=0，f(4)=8，所以y的最大值是8，最小值是0。（4）提示：令y=2cos2x1=0解得。而，。端点的函数值为，所以y的最大值是，最小值是。6提示：汽车与气球之间的距离是 。lh后它们彼此分离的速度为。【同步达纲练习】一、选择题1函数，则（ ）A在（0，10）上是减函数。B在（0，10）上是增函数。C在（0，e）上是增函数，在（e，10

10、）上是减函数。D在（0，e）上是减函数，在（e，10）上是增函数。2设f(x)在处可导，且，则的值为（ ）A1 B0 C2 D3函数（ ）A有极大值2，无极小值。 B无极大值，有极小值2。C极大值2，极小值2 D无极值。4函数（ ）A有最大值，但无最小值。 B有最大值，也有最小值。C无最大值，也无最小值。 D无最大值，但有最小值。5函数（ ）A有最大值2，最小值2。 B无最大值，有最小值2。C有最大值2，无最小值 D既无最大值，也无最小值。6给出下面四个命题（ ）（1）函数的最大值为10，最小值为。（2）函数的最大值为17，最小值为1。（3）函数的最大值为16，最小值为16。（4）函数无最大值

11、，也无最小值。其中正确的命题有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个7设，则y=（ ）A BC D8设y=f(cosx)是可导函数，则dy=（ ）Af(sinx)dx Bf(cosx)dx Cf(sinx)·sinxdx Df(cosx)·sinxdx9过点（2，0）且与曲线相切的直线方程是（ ）Ax+4y2=0 Bx4y2=0Cx+y2=0 Dxy2=010函数在内（ ）A只有一个最大值。 B只有一个最小值。C只有一个最大值或只有一个最小值。 D既有一个最大值又有一个最小值。11函数y=(2k1)x+b在R上是单调递减函数，则k的取值范围是（ ）A BC D12函数的单调递

12、增区间是（ ）A B（0，+）C和（0，+） D（，1）和二、填空题13曲线在点_处切线的倾斜角为。14函数的单调递增区间是_。15过抛物线上点_的切线和直线3xy+1=0构成45°角。16函数的最大值是_。三、解答题17过曲线上一点引切线，分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于A、B两点，求当线段|AB|最小时的切点的坐标。18物体的运动方程是，当t=2时，求物体的速度及加速度。19求函数的单调区间。20设在x=1在x=2时都取得极值，试确定a与b的值；此时f(x)在x=1处取得的是极大值还是极小值？21已知正三棱柱的体积为V，试求当正三棱柱的底面边长多大时其表面积最小。22有一印刷器的

13、排版面积（矩形）为，左、右各留4cm宽的空白，上、下各留3cm宽的空白。应如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？参考答案【同步达纲练习】一、选择题1C 2D 3C 4C 5B 6B 7B 8D 9C 10D 11A 12B二、填空题13和 14 15（1，1）或 162三、解答题17设|AB|=l，切点为x0，y0，则所求切线方程为。切线在x轴，y轴上的截距分别为，。又在曲线上，。，令，解得。在（0，2）内只有一个导数为零的点，经验证知，在这点，取得极小值，也是最小值。当时，最小值为9，l最小值为3，此时，切点为。18，a(t)=v=6t+4，当t=2时，v(2)=20，a(2)=16。19，1<x<1。函数定义域为（1，1），令y>0，得1<x<0或x>1。又函数定义域为（1，1），1<x<0，函数在（1，0）上是增函数，在0，1）上是减函数。20，由已知x=1与x=2是函数的极值点，解得当x<1时，y'<0，当kx<2时y'>0，函数f(x)在x=1处取得的是极大值。21设正三棱