朝阳区2019届高三二模数学(理)试题及答案

1、北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）2019. 5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1.已知集合 A=x|x>1, B=x|x（x2） <0,则 AljB =A. x| x >0 B.x|1 <x <2 C.x |1 < x <2 D.x|x >0且 x#1112.复数 i(1+i)的虚部为B. 1C. 0D. -13.在数学史上,中外数学家使用不

2、同的方法对圆周率元进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求冗的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出 s的值为A. 4B.8C.52304 D.-1054.在 ABC 中,A. 3.3B. 33C.24D.35B = , c = 4 , cosC =，则 b =635.已知等差数列an的首项为a1，公差d =0.则a”a3,a9成等比数列”是a1 二d ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 . x . a 6.已知函数f（x）=4若函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是-x, x : a.A.-二,0B. (f,1 C.

3、 1,二D. 0,二7 .在棱长为1的正方体ABCD AB1C1D1中，E,F分别为线段CD和AB上的动点，且满足CE =A1F ,则四边形DiFBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A.有最小值3B.有最大值522C.为定值3D.为定值2AiDi8 .在同一平面内，已知A为动点，B,C为定点，且/BAC= , /ACB=3,BC = 1,P为32BC中点.过点P作PQ _L BC交AC所在直线于Q,则AQ在BC方向上投影的最大值是C由 口.3D.|第二部分（非选择题 共110分）、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题

4、卡上9 .已知 a=log3e, b = ln3, c= log 3 2,则 a, b , c 中最小的是210 .已知点 M （1,2）在抛物线 C: y =2px（p >0）上，则点 M到抛物线 C焦点的距离11周 C :x =cos，y =1 sin u. x=1 . 2t,_（日为参数）上的点P到直线l :（t为参数）的距离最小值y 三1 t是.x -1,12 .已知实数x,y满足y之x, 能说明“若z=x+y的最大值为4,则x=1,y = 3”为 x , y44.假命题白一组（x,y）值是13 .由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有 个，其中个位数字比

5、十位数字大的偶数共有 个.14 .如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O(0,0), M(_4,0), N(4,0), P(0, 2),Q(0,2),H (4,2).线段OM上的动点 A满足OA = KOM (九w (0,1)；线段HN上的动点B满足T THB =ZHN .直线PA与直线QB交于点L ,设直线PA的斜率记为k ,直线QB的斜率记 为k',则k k的值为；当九变化时，动点L一定在 (填圆、椭圆、双 曲线、抛物线”之中的一个)上.EMFH BxG三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 .(本小题满分13分)已知函数 f

6、(x) = 2sin xcosx 2 ,_ 3cos2 x - ：；3 .(I)求函数f(x)的最小正周期;求证:16.(本小题满分13分)f(x) - -、,3.某电视台举行文艺比赛， 并通过网络对比赛进行直播 .比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照7,8),8,9),9,10分组，绘成频率分布直方图如下:专家ABCDE评分9.69.59.68.99.7(I)求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；(n )

7、从5名专家中随机选取 3人，X表示评分不小于 9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于 9分的人数；试求E(X)与E(Y)的值;(ID)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x作为该选手的最终得分.方案二：分别计算专家评分的平均数X1和观众评分的平均数 无，用x1 * X2作为该选2手最终得分.请直接写出与x上至的大小关系.217 .(本小题满分14分)在三柱ABCBig中，底面ABC是正三角形，侧棱 AA _L底面ABC. D, E分 别是边BC , AC的中点，线段 BC1与B1c交于点G ,且AB=4 , BB1 =2

8、42.(I)求证：EG平面AB1D;(n )求证：BCi _L 平面 ABQ ；(m)求二面角AB1CB的余弦值.18 .(本小题满分13分)2 一2已知函数 f(x)=(2ax 4x)lnx-ax - 4x( a R，且 a = 0).(I)求曲线y = f (x)在点(1, f (1)处的切线方程；1 (n)若函数f (x)的极小值为一，试求a的值.a19.(本小题满分14分)X 2-.6已知椭圆C: 2 y y =1 (a>1)的离心率为 . a3(i)求椭圆C的方程；(n )设直线l过点M (1,0)且与椭圆C相交于A, B两点.过点A作直线x = 3的垂线，垂足 为D.证明：直

9、线BD过x轴上的定点.20.(本小题满分13分)对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合 S(A) = a+b a三A b A，记集合S(A)的元素个数为d(S(A).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T(A) = AUS(A).(I)若 A =(0,1,2),求 S(A),T(A);(n)若集合 A有n个元素，证明："d(S(A)=2n-1”的充要条件是“集合 A中的所有元素能组成公差不为 0的等差数列”；(出)若 A = 1,2,3,4,5,6,7,8且1,2,3,| | ,25,26 土 T(T( A),求元素个数最少的集合 A.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学(理)答

10、案2019. 5、选择题：(本题满分40分)题号12345678答案ABCBCDDC、填空题：(本题满分30分)题号91011121314答案c2百-1(2,2)(答案不唯一)603614双曲线三、解答题：(本题满分80分)15.(本小题满分13分)解：(I) f (x) =2sin xcosx+2j3cos2 x - J3= sin2x . 3 cos2 x= 2sin(2x -)2二八所以f(x)的最小正周期T = = n . .6分(II)因为 xe-, , ip 2x+-e-,-, 3 1233 2所以f(x)在一二三上单调递增.3 12、“一 nn . 一 n . r-当 2x+二一

11、时，即 x二 一时，f (x)min = -V3. 333 _ n n _.一 r-所以当 xYg，石时，f (x) -v3 . .13 分16.(本小题满分13分)1解：(I)由图知a =0.3 ,某场外观众评分不小于9的概率是一.3分2(n) X的可能取值为2,3.力加 3mx G C32P(X =2) = =； P(X =3)=得=二.C55C55所以X的分布列为2.1132 12所以 E(X) =2 - 3 一 = 一 .55513.10分由题意可知，Y B(3,),所以E(Y) = np =,22x1 x2八(山)x <. .13 分217.(本小题满分14分)(I)因为E为A

12、C中点，G为B1C中点.所以EG/AB1.又因为EG值平面AB1D , AB1 c平面AB1D ,所以EG平面ABD. .4分(n )取BG的中点D1 ,连接DD1 .显然DA , DC , 口口1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D-xyz,则 D(0,0,0) , A(273,0,0) , B(0,2,0) , B1(0,2,2历,G(0,2,2 72),E( ,3,1,0),C(0,2,0).= (0,4,2 ,2).9分所以 DB1 = (0, 2,2历，DA = (2 73,0,0) , BC1T4 T r又因为 BC DA=2J3M0+0父4 + 0M22 =0,I ->

13、L LBC1 DB1 =0 0 (-2) 4 2.2 2 2 = 0,所以 BC1 DA,BC1 DB1.又因为DAD DB = D ,所以BC1 _L平面AB1D .(m)显然平面 B1CB的一个法向量为 R = (1,0,0).设平面AB1C的一个法向量为 m=(x,y,z),又 AC =(一2百,2,0) , BC=(0,4,2历，,n2 AC =0,1-2、3x 2y =0,由广T ，得n2 B1c u0, 4y -2 2z =0.设 x =1 ,则 y =/3 , z = J6 ,则n=(1, J3, J6).所以cos ni,n2 =1.1010 - 10设二面角AB1CB的平面角

14、为日，由图可知此二面角为锐二面角,.14分所以cos-=1018 .(本小题满分13分)解：由题意可知 f'(x) =4( ax + 1)ln x , x£ (0, +=c).(I ) f (1) =0, f (1) = f 4 ,所以曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 y = _a_4. .3分(n)当a c -1时，x变化时f (x), f (x)变化情况如下表:x(0,-) a_1_ a(-,1) a1(1*)f '(x)0+0f(x)极小值极大值,一，_13 211此时 f (一一)=一十-ln(a)=，解得 a =- a-1,故不成立.

15、aa aae当a = 1时，f '(x) <0在(0, +8)上恒成立，所以 f(x)在(0, +道)单调递减.此时f(x)无极小值，故不成立当1<a<0时，x变化时f'(x), f (x)变化情况如下表:x(0,1)11 (1,) a_1_ a1工(一，F) af '(x)0+0f (x)极小值极大值1此时极小值f (1) = -a -4,由题意可得 用4 =, a解得 a = / + J3 或 a = 2 J3 .因为一1 <a父0 ,所以a = J3 2 .当a >0时，x变化时f (x), f (x)变化情况如下表:x(0,1)1(

16、1,Ff '(x)0+f (x)极小值1此时极小值f (1) = a 4,由题意可得4 =,a解得a = 2 + J3或a = 2 J3 ,故不成立.综上所述a=2+J3. .13分19 .(本小题满分14分)b =1, 、 口=一/口 c V6!b =1,(I)由题意可得一=, 解得«a 3a = v3.2.22a = b + c .2所以椭圆C的方程为+y2 =1. .4分3(n)直线 BD恒过x轴上的定点(2,0).证明如下(1) 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1 ,不妨设 A(1,立)，B(1,- - ), D(3,).3336此时，直线BD的万程为：y=(

17、x-2),所以直线BD过点(2,0).3 当直线 l 的斜率存在时，设 l : y =k(x-1), A(x1, y1), B(x2, y2), D(3, y1).2222得(3k1)x -6k x 3k -3=0.!y =k(x -1), 22x 3y =3所以6k23k2 -3x1 x2 = -2，x1x2 = -23k 1 3k 1直线 BD : y_y =左二A(x_3),令 y =0,得 x_3=_yi(x2-3) x2 - 3y2 - yi所以3y2 - 3yi - yix2 - 3yi x =y2 一 yi3y2 -yy2 一 yi4x2 - 3 - x1x2x? _ xi2k4

18、x2 -22 3k2 ix2 -xi由于xi-6k-x2,所以3k i2，i2k24x22X 2 3k2 i _2 x.c6k22x2-2 3k2 i故直线BD 过点(2,0).i4分综上所述，直线 BD恒过x轴上的定点(2,0).20.(本小题满分i3分)解：(I)若集合 A = 0,i,2,则 S(A) =T(A)=0,i,2,3,4.3 分(n )令 A =%?2,|区.不妨设 xi ； x2 ：二 IH :二 xn .充分性：设xk是公差为d (d #0)的等差数列.则 xi xj = xi (i -i)d xi (j -i)d = 2xi (i j -2)d (i 三 i, j m

19、n)且2 Ei + j E2n.所以x +xj共有2n i个不同的值.即d(S(A) =2n -i.必要性：若 d(S(A) =2n -i.因为 2x <xi +xi由 <2x 中 , (i =i,2,lll, n -i).所以S(A)中有2n -i个不同的元素:2Xi,2X2, |,2Xn,Xi X2,X2 X3H，XnXn .任意x +Xj(1 <i, j <n)的值都与上述某一项相等.又 Xi +x 节 <Xi+Xi书 <Xf + Xj书，且 x +Xi¥<2Xi+ <为由+为卡，i =1,2,|,n-2.所以Xi +Xi_2 =2xt,所以Xk是等差数列，且公差不为0.8分(出)首先证明：1WA.假设1亨A, A中的元素均大于1,从而1号S(A),因此1号T(A),1 亨 S(T(A),故 1 号T(T(A),与 (1,2,3,25,26 TT(T(A)矛盾,因此 1乏 A.设A的元素个数为n , S(A)的元素个数至多为 C2 + n ,从而T (A)的元素个数至多为C2 +n+n = n(n；3).若n=2,则T(A)元素个数至多为5,从而T(T( A)的元素个数至5 8多为二20,而T(T(A)中元素至