自动控制数学模型

1、3/6/2022第二章数学模型 关于自动控制数学模型第一页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2.1 数学模型数学模型概述概述 为了从理论上对自动控制系统进行定性分析和定量计算，首先需要为了从理论上对自动控制系统进行定性分析和定量计算，首先需要建立系统的数学模型。建立系统的数学模型。 系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。系的数学表达式。常用的动态数学模型有常用的动态数学模型有微分方程、传递函数及动态结微分方程、传递函数及动态结构图。构图。 系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。系统

2、数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。，列写出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。 本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。第二页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2.1.1线性系统的微分方程模型线性系统的微分方程模型 很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示。一个微分方程表示

3、。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数, 又称为系统的阶数。又称为系统的阶数。 如图机械系统，由牛顿定理得到以下关系：如图机械系统，由牛顿定理得到以下关系：22dtydmFFFfkdtdyfFkyFfk;Fkydtdyfdtydm22第三页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 如图如图RLC网络，由电路定律可得网络，由电路定律可得: 0CLRruuuudtducidtdiLuRiucLR;rcccuudtduRCdtudLC22 不同的物理系统可能得到相似的数学表达式。如果它们对应的不同的物理系统可能得到相似的数学表达式。如果它们对

4、应的系数和初始条件相同，则它们的解将完全相同。这样系数和初始条件相同，则它们的解将完全相同。这样就可以撇开系就可以撇开系统的具体物理属性，研究这些系统的运动过程的共同规律。统的具体物理属性，研究这些系统的运动过程的共同规律。 有了数学表达式，就可从理论上进行普遍意义上的分析。有了数学表达式，就可从理论上进行普遍意义上的分析。 第四页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 机械系统中，设外力机械系统中，设外力F1，质，质量量 m2，弹性系数，弹性系数k1，若阻尼，若阻尼系数较小系数较小 1，则发生震荡，若阻，则发生震荡，若阻尼系数较大尼系数较大 10，不会产生震荡，不会产生震荡。但无。但

5、无论阻尼大小如何，最终物体将下降一个单位长度，新增的弹力正好论阻尼大小如何，最终物体将下降一个单位长度，新增的弹力正好和外力相抵，系统进入一个新的平衡点。和外力相抵，系统进入一个新的平衡点。 总之，建立合理的数学模型，是至关重要的问题。许多系统，事总之，建立合理的数学模型，是至关重要的问题。许多系统，事件及项目就是因为无法建立合理的数学模型而不能加以预测和控制件及项目就是因为无法建立合理的数学模型而不能加以预测和控制。 第五页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2.1.2 2.1.2 列写微分方程的一般方法列写微分方程的一般方法用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：用解析法列

6、写系统或元件微分方程的一般步骤是： 1 1根据实际工作情况，将系统划分为多个独立的环节，标出各根据实际工作情况，将系统划分为多个独立的环节，标出各环节的输入、输出变量。环节的输入、输出变量。各环节之间无负载效应。各环节之间无负载效应。 2从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所遵从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所遵循的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。循的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。 3消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。 4标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出标准化。即将与输入

7、有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归化为有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。具有一定物理意义的形式。第六页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 例例2.1 2.1 列写如图所示列写如图所示RCRC滤波电路的微分方程。（假设电路的输滤波电路的微分方程。（假设电路的输入电源的内阻为零，输出接的负载具有无限大阻抗）入电源的内阻为零，输出接的负载具有无限大阻抗） 解解 根据基尔霍夫定律得：根据基尔霍夫定律得：111cruiRu 1 )(1222212111icdtduuiRuiicdtducccc消除中间变

8、量，得到滤波网络的微分方程式为消除中间变量，得到滤波网络的微分方程式为 ：rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(212211222211第七页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 若撇开具体系统的物理属性，令若撇开具体系统的物理属性，令r(t)r(t)为输入，为输入，c(t)c(t)为输出。线为输出。线性性n阶系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为阶系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为 式中式中 均为由系统结构参数决定的常均为由系统结构参数决定的常系数，且有系数，且有nm。令令 则上式可改写为：则上式可改写为：213222111 , ,CRTCRTCRTrcc

9、cuudtduTTTdtudTT)(3212221 )()()()()()()()()()(1222111012221110trbdttdrbdttrdbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdadttcdammmmmmmmnnnnnnnnmnbbbbaaaa210210，。，第八页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2.1.3 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 在建立控制系统的数学模型时，常常遇到非线性的问题。严格地在建立控制系统的数学模型时，常常遇到非线性的问题。严格地讲，实际的物理系统都包含着不同程度的非线性因素。但是，许多讲，实际的物理系

10、统都包含着不同程度的非线性因素。但是，许多非线性系统在一定的条件下可以近似地视作线性系统。非线性系统在一定的条件下可以近似地视作线性系统。若控制系统在工作点的附近微小运动，则可将非线性函数展开为若控制系统在工作点的附近微小运动，则可将非线性函数展开为泰勒级数，并忽略级数展开式中的高次项，从而得到只含一次项的泰勒级数，并忽略级数展开式中的高次项，从而得到只含一次项的线性化方程。即用工作点的切线代替非线性曲线。线性化方程。即用工作点的切线代替非线性曲线。 对于一般的非线性系统，假设其输入量为对于一般的非线性系统，假设其输入量为r r，输出量为，输出量为c c，并设在，并设在给定工作点处给定工作点处

11、c0 0= =f( (r 0 0) )，各阶导数均存在，则可在，各阶导数均存在，则可在 的邻的邻域展开泰勒级数，即域展开泰勒级数，即202200)()(21)()()()(00rrdrrfdrrdrrdfrfrfcrrrr！第九页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 当当(rr 0 0)，很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得 或或 )()()()(000rrdrrdfrfrfcrr )(00rKrrKccc在处理非线性问题时，应注意以下几点：在处理非线性问题时，应注意以下几点：1 1线性化是在输入、输出量围绕平衡点作小范围变化的假设线性化是在输

12、入、输出量围绕平衡点作小范围变化的假设下进行的。一般取零误差状态作为平衡工作状态。下进行的。一般取零误差状态作为平衡工作状态。2 2线性化以切线代替曲线，是一种近似处理。系统的实际变化量如线性化以切线代替曲线，是一种近似处理。系统的实际变化量如果很大，则采用小偏差线性模型将会带来较大的计算误差。果很大，则采用小偏差线性模型将会带来较大的计算误差。3.3.对于某些严重的典型非线性，不能进行求导运算，因此原则对于某些严重的典型非线性，不能进行求导运算，因此原则上不能用小偏差法进行线性化上不能用小偏差法进行线性化第十页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 例例2.22.2 图示为一个单摆系

13、统图示为一个单摆系统, ,输入量输入量M为零为零( (不加外力矩不加外力矩), ), 输出输出量为摆幅量为摆幅(t) )。摆锤的质量为。摆锤的质量为m, , 摆杆长度为摆杆长度为l, l, 空气阻尼系数为空气阻尼系数为, ,重力加速度为重力加速度为g。试建立系统的近似线性运动方程。试建立系统的近似线性运动方程。 解解 对于图示的单摆系统对于图示的单摆系统, ,根据牛顿运动定律可以直接推出如下系根据牛顿运动定律可以直接推出如下系统运动方程统运动方程: 0sin22mgldtdldtdml显然方程是一个二阶的非线性微分方显然方程是一个二阶的非线性微分方程程( (因为含有因为含有sinsin), )

14、, 但是在摆幅较小但是在摆幅较小的情况下的情况下, 将其线性化处理：将其线性化处理：第十一页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 令非线性函数令非线性函数sin( () )=f，则，则工作点在工作点在0=0，f0=0。线性化：。线性化：)(00kff1)0cos(sin0ddkf022mgldtdldtdml即单摆系统的近似线性化动态方程为：即单摆系统的近似线性化动态方程为：第十二页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2.2 传传 递递 函函 数数 2.2.1 拉氏变换拉氏变换 1. 1. 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 将时间函数将时间函数f(t)乘上指数函数乘上指数函数

15、e- -st( (其中其中s= =+ +j是一个复数是一个复数), ), 并且并且在在0,+0,+上对上对t积分积分, , 称为称为f(t)的拉氏变换的拉氏变换, ,并用并用L f(t)表示。表示。 dtetftfLsFst)()()(0拉氏变换将原来的时间函数拉氏变换将原来的时间函数f( (t) )转化为复变量函数转化为复变量函数F(s)。 通常将通常将F(s)称称作作f(t)的的象函数象函数, 将将f(t)称作称作F(s)的的原函数原函数。 传递函数是对微分方程取传递函数是对微分方程取拉氏变换后推导出来的概念。拉氏变换后推导出来的概念。第十三页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型

16、 2. 2. 拉氏变换的计算拉氏变换的计算根据定义积分计算，各典型函数的拉氏变换根据定义积分计算，各典型函数的拉氏变换见下表见下表。t cos22ss)( 1 ts12/2t31stae as 1tate 2)(1as 22st sinteta sin 22)( ast21s第十四页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2)MATLAB计算计算 syms s t ;Ft=1-sin(t) Fs=laplace(Ft,t,s) 执行结果：执行结果：Fs=1/s-1/(s2+1)3. 拉氏反变换拉氏反变换已知时间函数的象函数通过拉氏反变换求出其时间函数：已知时间函数的象函数通过拉氏反变换

17、求出其时间函数：)()(1sFLtf第十五页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 1) 部分分式法部分分式法将将F(s)展开成多个典型函数的象函数之代数和，查表。展开成多个典型函数的象函数之代数和，查表。例例2.3 F(s)含单极点和重极点时的拉氏反变换。含单极点和重极点时的拉氏反变换。解解:1) 1(3) 1)(3(1)(423212scscscscssssF3/1)(01sssFc12/1)3)(32sssFc2/1) 1)(123sssFc第十六页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2) MATLAB拉氏反变换指令：拉氏反变换指令：ilaplace(Fs,s,t)例

18、例2.3的的MATLAB求解程序：求解程序：syms s,t;ilaplace(1/s*(s+3)*(s+1)2)计算结果与手算结果完全一样。计算结果与手算结果完全一样。ttteteessssLtf41211213114/1) 1(2/1312/13/1)(321124/ ) 1)(sdsssFdc4/1)3()32(0)3(112ssssss第十七页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 例例2.4 F(s)含有共轭复极点时的反变换。解：解：) 1(1)(2sssssF)866. 05 . 0)(866. 05 . 0(12jsjsss222321866. 0)5 . 0(5 . 0

19、5 . 011)(ssssscscscsF)0( 866. 0sin578. 0866. 0cos1)()(5 . 05 . 01ttetesFLtftt用用MATLAB求解：求解：syms s t;ft=ilaplace(s+1)/s*(s2+s+1);pretty(ft) %将符号表达式写成易读形式将符号表达式写成易读形式与手算结果一样与手算结果一样)0( 23sin3123cos1ft22ttetett第十八页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 4. 4. 拉氏变换的基本定理拉氏变换的基本定理1) 1) 线性定理线性定理两个函数和的拉氏变换两个函数和的拉氏变换, 等于每个函数

20、拉氏变换的和等于每个函数拉氏变换的和, 即即 )()()()()()(212121sFsFtfLtfLtftfL函数放大函数放大k倍的拉氏变换等于该函数拉氏变换的倍的拉氏变换等于该函数拉氏变换的k倍倍, 即即 )()(skFtkfL第十九页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2) 2) 微分定理微分定理0)0()0( )0()1(nfff成立成立, 则有则有 )()()(sFstfLnn如果初始条件如果初始条件nkkknnnnnnnnnfssFsfsffsfssFsdttfdL1)1()1()2(21)()0()( )0()0()0()0()()(第二十页，共94页幻灯片3/6/2

21、022第二章数学模型 )(lim)()(lim0ssFftfst 3) 3) 终值定理终值定理 函数函数 f( (t) ) 在在 t +时的函数值时的函数值( (即稳定值即稳定值) )可以通过可以通过 f( (t) ) 的的拉氏变换拉氏变换F( (s) )乘以乘以 s 取取 s0 时的极限而得到时的极限而得到, 即即 总结：微分方程通过拉氏变换变成代数方程，解代数方程可求总结：微分方程通过拉氏变换变成代数方程，解代数方程可求出输出的象函数，对象函数取拉反变换，可求出微分方程的解。出输出的象函数，对象函数取拉反变换，可求出微分方程的解。 第二十一页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型

22、2.2.2 2.2.2 传递函数的定义和特点传递函数的定义和特点 1. 1. 传递函数的定义传递函数的定义 线性定常系统的传递函数线性定常系统的传递函数, ,定义为定义为零初始条件零初始条件下下, ,系统输出量的系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 设输入量为设输入量为r(t) (t) ；输出量为；输出量为 c (t) ，定义传递函数为：，定义传递函数为： )()()()()(sRsCtrLtcLsG一般线性定常系统由下面的一般线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述阶线性常微分方程描述: 第二十二页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 如果

23、如果r(t)和和c(t)及其各阶导数在及其各阶导数在t=0时的值均为零，时的值均为零，则根据拉氏变换的则根据拉氏变换的定义和性质定义和性质, ,对微分方程进行拉氏变换对微分方程进行拉氏变换, , 可得可得 )()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn由传递函数的定义可得系统的多项式形式的传递函数为由传递函数的定义可得系统的多项式形式的传递函数为 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()()()()()()()()()()()(1)2(2)1(1)(01)2(2)1(1)(0trbtrbtrbtrbtrbtcatcatca

24、tcatcammmmmnnnnn第二十三页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 用用MATLAB指令：指令： Gs=tf(b0，b1，bm，a0，a1，an)或者或者 s=tf(s)；Gs=关于关于s 的多项式的多项式构造多项式形式的传递函数后，可以用构造多项式形式的传递函数后，可以用MATLAB的各种控制系统指令的各种控制系统指令分析系统。分析系统。传递函数的零极点形式传递函数的零极点形式)()()()()(21211nmpspspszszszsKsGzi ( i =1,2,m)和和pj(j=1,2,n)分别称为传递函数的分别称为传递函数的零点和极点零点和极点,K1称为称为传递函数

25、的增益或传递函数的增益或根轨迹增益根轨迹增益。第二十四页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 ) 1() 1)(1() 1() 1)(1()(2121sTsTsTsssKsGnmi( (i=1,2,=1,2,m) )和和Tj( (j=1,2,=1,2,n) )为系统中各环节的为系统中各环节的时间常数时间常数, K为系为系统的统的放大倍数放大倍数。 用用MATLAB指令：指令： Gs=zpk(z0，z1，zm，p0，p1，pn，K)或者或者 s=tf(s)；Gs=关于关于s的因式的因式可构造零极点形式的传递函数。可构造零极点形式的传递函数。传递函数的参数形式传递函数的参数形式第二十五页

26、，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 使用使用 Gtf=tf(Gzpk) 或者或者 Gzpkzpk(Gtf) 可实现传递函数在零极点形可实现传递函数在零极点形式和多项式形式之间的互换。即可将传递函数进行展开和因式分解。式和多项式形式之间的互换。即可将传递函数进行展开和因式分解。例例2.4 求传递函数求传递函数 的零极点形式。的零极点形式。解解906314462)(232ssssssGG=tf(2 6,4,1,14,63, 90); F=zpk(G) 执行结果：执行结果：Zero/pole/gain: 2 (s+2) (s+1) - (s+6) (s+5) (s+3) 第二十六页，共9

27、4页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2. 2. 传递函数的特点传递函数的特点 (1) (1) 传递函数的概念传递函数的概念适用于线性定常系统适用于线性定常系统, ,传递函数的结构和各项传递函数的结构和各项系数系数( (包括常数项包括常数项) )完全取决于系统本身结构完全取决于系统本身结构, 因此因此, 它它是系统的动态数是系统的动态数学模型学模型,而与输入信号的具体形式和大小无关而与输入信号的具体形式和大小无关, ,也不反映系统的任何内也不反映系统的任何内部信息。同一个系统若选择不同的量作为输入量和输出量部信息。同一个系统若选择不同的量作为输入量和输出量, , 所得所得到的传递函数可能不

28、同。所以谈到传递函数到的传递函数可能不同。所以谈到传递函数, ,必须指明输入量和输出必须指明输入量和输出量量。 已知传递函数，可求任意输入已知传递函数，可求任意输入R(s)R(s)下的输出下的输出C(s)C(s)：)()()(sRsGsCG (s)R (s)C (s)第二十七页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 (2) (2) 传递函数是在传递函数是在零初始条件零初始条件下定义的。下定义的。 但是，对输入量但是，对输入量加于系统之前加于系统之前, 系统处于系统处于稳定工作状态稳定工作状态的情况同样适用。的情况同样适用。 (3) (3) 对于实际的物理系统和元件而言对于实际的物理系统

29、和元件而言, , 传递函数的分子多项式传递函数的分子多项式的阶次总是小于分母多项式的阶次的阶次总是小于分母多项式的阶次, ,即即mn。它反映了一个基本事实。它反映了一个基本事实: :一个物理系统的输出不可能立即复现输入信号一个物理系统的输出不可能立即复现输入信号, ,只有经过一段时间后只有经过一段时间后, , 输出量才能达到输入量所要求的数值。输出量才能达到输入量所要求的数值。 第二十八页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 (4) (4) 传递函数与线性常微分方程一一对应传递函数与线性常微分方程一一对应。将传递函数展开。将传递函数展开并取拉氏反变换可得到微分方程。例如并取拉氏反变换

30、可得到微分方程。例如, 由传递函数由传递函数 212021)()()(asasabsbsRsCsG可得可得s的代数方程的代数方程 (a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s) 对方程两端取拉氏反变换，对方程两端取拉氏反变换， 便得到相应的微分方程便得到相应的微分方程 )()()()()(2121220trbtrdtdbtcatcdtdatcdtda第二十九页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 (5) (5) 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。 物理物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数

31、性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。另一方面。另一方面, ,研究研究某一种传递函数所得到的结论某一种传递函数所得到的结论, , 可以可以适用于具有这适用于具有这种传递函数的各种系统种传递函数的各种系统, 这就极大地提高了控制工作者的效率。这就极大地提高了控制工作者的效率。 第三十页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2-3典型环节的传递函数典型环节的传递函数 在传递函数中，可以分解出基本单元，控制系统也是由典型在传递函数中，可以分解出基本单元，控制系统也是由典型环节组成，一般可分为比例、惯性、积分、一阶微分、二阶振环节组成，一般可分为比例、惯性、积分、一阶微分、

32、二阶振荡、时滞共七种。荡、时滞共七种。 (1)(1)比例环节比例环节 输入、输出关系及传递函数为输入、输出关系及传递函数为 KsRsCsGtKrtc)()()()()(式中式中 K为增益。为增益。 特点特点: : 输入输出量成比例输入输出量成比例, , 无失真和时间延迟。无失真和时间延迟。 实例实例: 电子放大器电子放大器, 齿轮齿轮, 电阻电阻(电位器电位器), 感应式变送器等。感应式变送器等。 第三十一页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 例例2.52.5 求运算放大器组成的比例环节的传递函数。求运算放大器组成的比例环节的传递函数。 解解 运算放大器是控制系统中最常用的器件。运

33、算放大器是控制系统中最常用的器件。 分析要点：运算放大器的开环放大倍数分析要点：运算放大器的开环放大倍数K K为无限大。输入电阻为无为无限大。输入电阻为无限大，输出电阻为零。输入端电压、电流均为零限大，输出电阻为零。输入端电压、电流均为零。如图有下列关系式：如图有下列关系式： 00Ruir 01ii 11iRucrrcKuuRRu01KsUsUsGrc)()()(第三十二页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 在应用运算放大器时，往往是利用反相端输入的，因此输出、在应用运算放大器时，往往是利用反相端输入的，因此输出、输入电压的相位相反，传递函数出现了负号。为了方便，可以暂不输入电压的

34、相位相反，传递函数出现了负号。为了方便，可以暂不考虑符号。考虑符号。 (2)(2)惯性环节惯性环节 惯性环节具有下列特性：当输入阶跃变化时，惯性环节具有下列特性：当输入阶跃变化时，输出不能立即按比例复现输入，而是按输出不能立即按比例复现输入，而是按指数曲线规律变化指数曲线规律变化, ,经过经过一段时间以后才能复现输入。一段时间以后才能复现输入。 例例2.6 2.6 图示图示RCRC线性电路，各元件特线性电路，各元件特性为：性为： RRRiu 第三十三页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 dtduCicC设电容电压的初始值为设电容电压的初始值为0，对以上两式取拉氏变换，得，对以上两式

35、取拉氏变换，得 (s)1)(s)(ccRRICssURIsU在复数域内电阻、电容均满足欧姆定理：在复数域内电阻、电容均满足欧姆定理：U=Z I，因此，因此，RC网络可看成网络可看成直流电路网络，直流电路网络，用直流电路分析方法分析用直流电路分析方法分析。其中，其中，ZR=R阻抗阻抗 ZC=1/cs容抗容抗第三十四页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 对应的复数电路如图，由直流电路的分压公式，得对应的复数电路如图，由直流电路的分压公式，得 )(11)(sUCsRCssUrc由此可得由此可得RCRC网络的传递函数为网络的传递函数为 11)()()(RCssUsUsGrc令输入电压令输入

36、电压u ur r=1V=1V，Ur(s)=1/sUr(s)=1/s，输出电压象函数为，输出电压象函数为 sRCssUsGsUrc111)()()(输出电压时间函数为输出电压时间函数为 TtRCtceeRCssLsRCsLtu11)(11111)(111第三十五页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 取取T=RC=2sT=RC=2s和和4s4s，绘出输出电压的响应，绘出输出电压的响应曲线如图，输出是按指数曲线增长的曲线如图，输出是按指数曲线增长的，初始上升率在数值上等于时间常数，初始上升率在数值上等于时间常数T T的倒数，的倒数，输出经输出经3T3T的时间后到达稳定值的时间后到达稳定值

37、的的9595，所以，网络是一个惯性环节所以，网络是一个惯性环节。惯性环节的传递函数为。惯性环节的传递函数为 时间常数时间常数T T是惯性环节的重要参数，是惯性环节的重要参数，T T越大，惯性越大，输出上升越缓慢越大，惯性越大，输出上升越缓慢。 11)(TssG第三十六页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为 (3)(3)积分环节积分环节 积分环节具有下列特性；积分环节具有下列特性；输出等于输入的积分输出等于输入的积分。令令r(t)r(t)为输入，为输入，c(t)c(t)为输出，积分时间常数为为输出，积分时间常数为T T。则积分环节有下列。则积分

38、环节有下列关系式关系式 dttrTtc)(1)(在零初始条件时，对上式取拉氏变换在零初始条件时，对上式取拉氏变换)(1)(sRTssC 1)()()(TssRsCsG第三十七页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 T=1T=1, ,则则 G(S)=1/s G(S)=1/s ，称为，称为纯积分环节纯积分环节。 例例2.6 2.6 图示为积分运算放大器。设输出电压为图示为积分运算放大器。设输出电压为u ur和输入电压为和输入电压为u uc，由复数阻抗可得下列关系式，由复数阻抗可得下列关系式 ; ; 00RUIr 01II rrcUCsRRUCsICsU00111 1显然为积分环节，积分时

39、间常数显然为积分环节，积分时间常数T=R0C积分环节的单位阶跃输入响应曲线如图，积分环节的单位阶跃输入响应曲线如图，运放的限幅电路使输出不会无穷大运放的限幅电路使输出不会无穷大。第三十八页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 (4)(4)微分环节微分环节 理想微分环节的特性；输出等于输入的微分，即理想微分环节的特性；输出等于输入的微分，即输出与输入的变化速度成正比。输出与输入的变化速度成正比。令微分时间常数为令微分时间常数为。则微分环节有。则微分环节有下列关系式下列关系式 dttdrtc)()( 若输入量为单位阶跃函数，即若输入量为单位阶跃函数，即r(t)=1(t)r(t)=1(t)

40、，则输出的单位阶跃，则输出的单位阶跃响应为响应为 )()()(ssRsCsG)()( 1)(ttdtdtc在零初始条件时，对上式进行拉氏变换后得传递函数为在零初始条件时，对上式进行拉氏变换后得传递函数为第三十九页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 这是一个面积为这是一个面积为的脉冲，脉冲宽为零；幅值为无穷大。理想微分的脉冲，脉冲宽为零；幅值为无穷大。理想微分环节在实际中是得不到的。下面看几种实际微分环节的例子。环节在实际中是得不到的。下面看几种实际微分环节的例子。 例例2.7 2.7 图示为一电感元件，若以电流图示为一电感元件，若以电流i为输入量，电压为输入量，电压u为输出量，则为

41、输出量，则dtdiLu )()()()(LSsZsIsUsGL对上式进行拉氏变换得对上式进行拉氏变换得Ls 称为感抗。称为感抗。电感元件可以看作一个微分环节。且形式上满足电感元件可以看作一个微分环节。且形式上满足欧姆定理。欧姆定理。第四十页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 在零初始条件的电路网络中在零初始条件的电路网络中R R、L L、C C用复数阻抗形式表示后，可用复数阻抗形式表示后，可使用直流电路的分析方法。使用直流电路的分析方法。 例例2.8 2.8 图示的近似微分电路的传递函数为图示的近似微分电路的传递函数为)(1)(1)(sUsssUcsRRsUrrc 1)()()(s

42、ssUsUsGrcRC式中式中当当1 1时，才能近似地得到时，才能近似地得到=0.01s时单位阶跃响应曲线如图时单位阶跃响应曲线如图 )(ssG第四十一页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 dttdrtrtc)()()(一阶微分环节一阶微分环节也不是纯微分环节，也不是纯微分环节， 一阶微分环节的一阶微分环节的输出不仅与输入输出不仅与输入量的变化率有关，而且还和输入量的大小有关。量的变化率有关，而且还和输入量的大小有关。对上式进行拉氏变换得对上式进行拉氏变换得 由 此 可由 此 可知一阶微分环节的传递函数为知一阶微分环节的传递函数为 一阶微分环节方框图和单位阶跃响应一阶微分环节方框图

43、和单位阶跃响应曲线如图。曲线如图。 )() 1()(sRssC 1) ()()()(ssRsCsG第四十二页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 例例2.92.9 求图示运算放大器路的传递函数求图示运算放大器路的传递函数解解 )()()()( 1/)()(110100sIRsUsIsIcsRsUsIcr 1)s ()()()(01RRsUsUsGrc联解上列各式得电路的传递函数为联解上列各式得电路的传递函数为式中式中 =R0C , ,是一个一阶微分环节。是一个一阶微分环节。 第四十三页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 (5)(5)二阶振荡环节二阶振荡环节 环节输出与输出

44、量的一阶微分、二阶微分环节输出与输出量的一阶微分、二阶微分、输出量本身及输入量均有关，、输出量本身及输入量均有关，多数情况下输出会出现振荡。多数情况下输出会出现振荡。其微其微分方程如下分方程如下 )()()( 2)(222trtcdttdcTdttcdT零初始条件时，对上求拉氏变换得零初始条件时，对上求拉氏变换得或写作或写作 式中式中 阻尼系数阻尼系数 自然振荡角频率自然振荡角频率 1 2T1)()()(22TsssRsCsG 2)()()(222nnnsssRsCsGTn1G=tf(3,1 1 3),step(G)第四十四页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 (6)(6)时迟环节

45、时迟环节 环节的特点：环节的特点：输出信号比输入信号迟后一定时间。输出信号比输入信号迟后一定时间。其其表达式为表达式为 式中式中 迟后时间迟后时间对上式求拉氏变换，可得对上式求拉氏变换，可得由此可知迟后环节的传递函数为由此可知迟后环节的传递函数为 )()(trtc)()()( 0sRedtetrsCsst )()()(sesRsCsG第四十五页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 传输延迟的两个例子如图传输延迟的两个例子如图MATLAB迟后环节的加入用指令：迟后环节的加入用指令： Gputd=T %T迟后时间迟后时间 例如例如 的单位阶跃响应为的单位阶跃响应为 Gs=tf(

46、1); Gs.inputd=0.5 执行后得：执行后得：Gs=exp(-0.5s) step(Gs) %绘出绘出Gs的单位阶跃响应曲线与图的单位阶跃响应曲线与图2-27一样。一样。 )(5 . 0sesG第四十六页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 系统中有迟后环节，则系统传递函数变为超越方程，给以后系统系统中有迟后环节，则系统传递函数变为超越方程，给以后系统分析带来不便，故把迟后环节传递函数展开成级数如下分析带来不便，故把迟后环节传递函数展开成级数如下 3322s s ! 3121111)(ssseesG 若迟后时间若迟后时间足够小，则可忽略上式中足够小，则可忽略上式中的高次项，

47、迟后环节传递的高次项，迟后环节传递函数可近似为函数可近似为seesG111)(s s 上式说明，上式说明，小时间迟后环节可近似为一个小惯性环节小时间迟后环节可近似为一个小惯性环节，且惯性，且惯性时间常数等于迟后时间。时间常数等于迟后时间。第四十七页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2-4 闭环控制系统的动态结构图闭环控制系统的动态结构图 动态结构图（简称方框图）是系统模型的图形表达方式，直观地显动态结构图（简称方框图）是系统模型的图形表达方式，直观地显示了系统的结构及各环节之间的关系。示了系统的结构及各环节之间的关系。2.4.1 2.4.1 结构图的组成与绘制结构图的组成与绘制

48、1. 1. 结构图的组成结构图的组成 (1)(1)方框方框代表一个元件，元件的传递代表一个元件，元件的传递函数放在方框内函数放在方框内, , 方框外面带箭头的线段表方框外面带箭头的线段表示输入信号和输出信号，信号只能沿箭头方示输入信号和输出信号，信号只能沿箭头方向传递。向传递。G (s)R (s)C (s)第四十八页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 (2) (2) 分支点分支点信号分成多路的点。信号分成多路的点。需要注意的是需要注意的是,无论一个分无论一个分支点引出多少条信号流线支点引出多少条信号流线, 它们都是原始大小的信号。它们都是原始大小的信号。 (3) (3) 汇合点汇合

49、点两个以上信号的代数和运算，箭头附近的、两个以上信号的代数和运算，箭头附近的、号表示信号是相加还是相减。号表示信号是相加还是相减。 u(t) r(t)U(s) R(s)u(t), U(s)r(t), R(s)u(t), U(s)u(t), U(s)(a)(b)第四十九页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2. 2. 系统结构图的绘制系统结构图的绘制 (1) (1) 根据系统的原理框图，将系统划分为多个独立环节。确定系统根据系统的原理框图，将系统划分为多个独立环节。确定系统的输入量和输出量和中间变量（环节的输入、输出量）。的输入量和输出量和中间变量（环节的输入、输出量）。 (2) (

50、2) 求各个环节的传递函数，写出每个环节输出的象函数。求各个环节的传递函数，写出每个环节输出的象函数。 (3) (3) 根据每个环节的输入、输出关系将各个环节连接起来。就得到根据每个环节的输入、输出关系将各个环节连接起来。就得到系统的动态结构图，系统的动态结构图，第五十页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 例例 2.102.10 图图RCRC网络中网络中, ,电压电压u1 1( (t) )、u2(t)分别为输入量和输出量分别为输入量和输出量, 绘绘制系统的结构图。制系统的结构图。 sC11I1(s)I2(s)R1R2U3(s)sC21U2(s)U1(s)(b)R1R2u2(t)u1

51、(t)(a)C1C2U1(s)E(s)11RI1(s)sC11U3(s)21RsC21I2(s)U2(s)(c) 解解 将将RC看成环节，确定看成环节，确定RC的输入、输出量，求出的输入、输出量，求出RC的传的传递函数（即复数阻抗），如图（递函数（即复数阻抗），如图（b）所示。）所示。第五十一页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2.4.2 2.4.2 闭环系统的结构图闭环系统的结构图 一个闭环负反馈系统通常用图示的结构图来表示。一个闭环负反馈系统通常用图示的结构图来表示。 输出量输出量C(s)反反馈到相加点馈到相加点,并且在相加点与参考输入量并且在相加点与参考输入量R(s)进行比

52、较。进行比较。 图中各信号之图中各信号之间的关系为间的关系为 C(s)=G1(s)E(s) E(s)=R(s)-B(s) B(s)=H(s)C(s) 式中式中E(s)和和B(s)分别为分别为偏差信号和反馈信号偏差信号和反馈信号的拉氏变换的拉氏变换, ,H(s)为反馈通为反馈通道传递函数。道传递函数。反馈信号反馈信号B(s)=H(s)C(s)。 第五十二页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 反馈信号反馈信号B(s)与偏差信号与偏差信号E(s)之比之比, 叫做叫做开环传递函数开环传递函数, 即即 )()()()()(10sHsGsGsEsB输出量输出量C(s)和偏差信号和偏差信号E(s

53、)之比之比, 叫做叫做前向通道传递函数前向通道传递函数, 即即 )()()(1sGsEsC 如果如果反馈传递函数等于反馈传递函数等于1 1, , 那么开环传递函数和前向传递函数那么开环传递函数和前向传递函数相同相同, ,并称这时的闭环反馈系统为并称这时的闭环反馈系统为单位反馈系统单位反馈系统。从图。从图2-92-9可以推出可以推出系统输出量系统输出量C(s)和输入量和输入量R(s)之间的关系之间的关系, ,具体推导如下具体推导如下: C(s)=G1(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s) 第五十三页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 消去消去E(s)可

54、得可得 C(s)=G1(s)R(s)-H(s)C(s) 所以有所以有 )()(1)()()()(11sHsGsGsRsCsG 上式就是上式就是系统输出量系统输出量C(s)和输入量和输入量R(s)之间的传递函数之间的传递函数, ,称为闭环称为闭环传递函数。传递函数。已知闭环传递函数和输入量的拉氏变换，可得系统输出的拉已知闭环传递函数和输入量的拉氏变换，可得系统输出的拉氏变换氏变换C(s)(s)： )()()(1)()(11sRsHsGsGsC可见可见, 闭环系统的输出量取决于闭环传递函数和输入量。闭环系统的输出量取决于闭环传递函数和输入量。 第五十四页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模

55、型 2.4.3 2.4.3 扰动作用下的闭环系统扰动作用下的闭环系统 实际的系统经常会受到外界扰动的干扰实际的系统经常会受到外界扰动的干扰, , 通常扰动作用下的闭环通常扰动作用下的闭环系统的结构图如图。系统存在两个输入量系统的结构图如图。系统存在两个输入量, , 即参考输入量即参考输入量R(s)和扰动和扰动量量N(s)。 扰动作用下的闭环系统结构图 G1(s)E(s)C(s)H(s)B(s)R(s)G2(s)扰动N(s)第五十五页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 由于线性系统满足由于线性系统满足叠加原理叠加原理, ,可以先对每一个输入量单独地进行处理可以先对每一个输入量单独地进

56、行处理, , 然后然后将每个输入量单独作用时的输出量进行叠加将每个输入量单独作用时的输出量进行叠加, ,就可得到系统的就可得到系统的总输出量。总输出量。研究扰动量研究扰动量N(s)(s)对系统的影响时对系统的影响时, ,可以假设参考输入信号可以假设参考输入信号R(s)=0, (s)=0, 经过简单的推导可以得出经过简单的推导可以得出系统对扰动的响应系统对扰动的响应CN(s)为为 )()()()(1)()(212sNsHsGsGsGsCN所以所以, 系统输出对扰动的传递函数系统输出对扰动的传递函数GN(s)=CN(s)/N(s)为为 )()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCs

57、GNN第五十六页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 同样在分析系统对参考输入的响应时同样在分析系统对参考输入的响应时, ,可以假设扰动量可以假设扰动量N N( (s s)=0, )=0, 这时这时系统对参考输入量系统对参考输入量R(s)的响应的响应CR(s)为为 )()()()(1)()()(2121sRsHsGsGsGsGsCR所以所以, 系统输出对参考输入的传递函数系统输出对参考输入的传递函数G(s)=CR(s)/R(s)为为 )()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCsGR 根据线性系统的叠加原理可知根据线性系统的叠加原理可知, , 参考输入量参考

58、输入量R R( (s s) )和扰动量和扰动量N N( (s s) )同时同时作用于系统时作用于系统时, ,系统的响应系统的响应(总输出总输出)C(s)为为 )()()()()()(1)()()()(1212sNsRsGsHsGsGsGsCsCsCNR第五十七页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 2-5 动态结构图的等效变换动态结构图的等效变换 利用结构图分析和设计系统时,常常要对结构图进行简化和变换。基本原则是相关联的输出不变。基本原则是相关联的输出不变。 1. 1. 串联环节的简化串联环节的简化 几个环节的结构图首尾连接几个环节的结构图首尾连接, , 称这种结构为串联环节。称这

59、种结构为串联环节。(a)G1(s)X0(s)G2(s)X1(s)G3(s)X2(s)X3(s)G1(s)G2(s)G3(s)X3(s)X0(s)(b)第五十八页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 )()()()()()()()()(011122233sXsGsXsXsGsXsXsGsX消去中间变量消去中间变量X1(s)和和X2(s)得输出得输出X3为为 )()()()()(01233sXsGsGsGsX由图（由图（b)b)得得输出输出X3为为 )()()()()(03213sXsGsGsGsX由图（由图（a)a)得得图（图（b)b)是图（是图（a)a)的等效变换。的等效变换。 第五

60、十九页，共94页幻灯片3/6/2022第二章数学模型 结论：结论：n个环节个环节( (每个环节的传递函数为每个环节的传递函数为Gi( (s), ), i=1, 2, , n)串联串联的等效传递函数等于的等效传递函数等于n个传递函数相乘。个传递函数相乘。 G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s) MATLAB指令：指令：series(G1,G2 ) %一次只能两个串联一次只能两个串联或者或者G1*G2 *注意：直接用传递函数进行四则运算结果有时不是最简式，可用注意：直接用传递函数进行四则运算结果有时不是最简式，可用zpk(.)转换成零极点形式，再手工去掉偶极子。转换成零极点形式，再手工去掉偶极子