223向量数乘运算及其几何意义

1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1.1.掌握向量的数乘运算及几何意义；掌握向量的数乘运算及几何意义；2.2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算；掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算；3.3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线；线的向量，能判断两个向量共线；4.4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想通过本节课的学习，体会类比和化归思想 （重点）（重点）（重、难点）（重、难点）如何求作两个非零向量的和向量？如何求作两个非零向量的和向量？首尾相接首尾连首尾相接首尾连OBABOAabO OA AB B

2、abab如何求作两个非零向量的差向量？如何求作两个非零向量的差向量？首同尾连指被减首同尾连指被减BAOBOAO OA AB Bababab问题：问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为 ，那么，那么它在同一方向上按照相同的速度行走它在同一方向上按照相同的速度行走3 3秒钟的位移对应的向秒钟的位移对应的向量怎样表示？是量怎样表示？是 吗？兔子在相反方向上按照相同的速度吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走行走3 3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是 吗吗? ? 你能你能用图形表示吗？用图形表示吗？a3a3a与与的关系：的关系

3、：s = tv思考思考1 1：已知非零向量已知非零向量 ，如何求作向量，如何求作向量 和和（ ）（ ） （ ）？）？O OA AB BC CO OM MN NP PO C =uuu r向量数乘的定义向量数乘的定义aaaaaaaaaaaaaaaaa （ ）（）（ ）（）（ ）OP =uu u raaa思考思考2 2：向量向量 和（和（ ）（）（ ）（）（ ）分别如何简化其表示形式？分别如何简化其表示形式？aaaaaa思考思考3 3：向量向量3 3 和和3 3 与向量与向量 的大小和方向有什么关的大小和方向有什么关系？系？O OA AB BC CO OM MN NP Paaaaaaaaaa 记为记

4、为3 ，（ ）（ ）（ ）记为记为3 .aaaaaaaa思考思考4 4：设设 为非零向量，那么为非零向量，那么 还是向量吗？还是向量吗？它们分别与向量它们分别与向量 有什么关系？有什么关系？a2a2a3和-a2a3a2a-思考思考5 5：一般地，我们规定：实数一般地，我们规定：实数与向量与向量 的积是一个的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘向量，这种运算叫做向量的数乘. .记作记作 ，该向量的长度，该向量的长度及方向与向量及方向与向量 有什么关系？有什么关系？（1 1）| |=|=| | |；（2 2）00时时, 与与 方向相同；方向相同； 00时时, 与与 方向相反；方向相反； =0=0时

5、时, = .= .aaaaaaaaaa0思考思考6 6：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那么的中点，那么向量向量 与与 ， 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？BD BC ADDM A AB BC CD DM M1B DB C2=uuu ruuu rA D3D M= -uuu ruuur向量数乘的运算律及共线向量基本定理向量数乘的运算律及共线向量基本定理思考思考1 1：你认为你认为2 2（5 5 ），），2 2 2 2 ， 可分别转化为什么运算？可分别转化为什么运算？a（3+2 ） aab-2-2 (5(5 )= -10)= -10 ；2

6、2 2 2 = = 2(2( + + ) )； (3(3 ) ) =3 =3 2a.2aaaaaabb思考思考2 2：一般地，设一般地，设，为实数，则为实数，则( ) )，() ，( ) )分别等于什么？分别等于什么？abaaaa2a6)2(3a)2(3aa6= =1( a)()a （ ）(23)aa2a32 ()aaa（）(23)23 ?aaaa2()22 ?abab3()abab（ ）abba22abA Aa2b2B BC CD DE E提升总结：提升总结：1()()aa （）2 ()aaa（）3()abab（ ）思考思考3 3：对于向量对于向量 （ 0 0）和）和 ，若存在实数，若存在实

7、数，使使 = ，则向量，则向量 与与 的方向有什么关系？的方向有什么关系？baabaab思考思考4 4：若向量若向量 （ 0 0）与）与 共线，则一定存在实数共线，则一定存在实数，使，使 = 成立吗？成立吗？aabba思考思考5 5：综上可得向量共线定理：向量综上可得向量共线定理：向量 （ 0 0）与）与 共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使，使 = . . 若若 ，上述定理成立吗？，上述定理成立吗？aabbaa0共线共线一定存在一定存在不成立不成立A AB BP PO O思考思考6 6：若存在实数若存在实数，使，使 ，则，则A A、B B、C C三点的三点的位置关系如

8、何？位置关系如何？ABBC 1()2O PO AO B=+uuu ruuu ruuu rABBC A A、B B、C C三点共线三点共线思考思考7 7：如图，若如图，若P P为为ABAB的中点，则的中点，则 与与 、 的关系的关系如何？如何？OB OAOP思考思考8 8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量对于任意向量 、 ，以及任意实数以及任意实数、x x、y y，(x(x y y ）可转化为什么运算？）可转化为什么运算？aa (x (x y y ）=x=x yy . . ababbb 例例1.1.计算计算（1 1）（）（3 3

9、）4 4 ； （2 2）3 3（ ）2 2（ ） ；（3 3）（）（2 2 3 3 ）（）（3 3 2 2 ）. .aaaaaac1( 3 4)a12a;23a3b2a2ba5b;32a3bc3a2bca5b2:c. 解（ ）原式（ ）原式（ ）原式bbbbc向量与实数之间可以像多项式一样进行运算向量与实数之间可以像多项式一样进行运算. .23O O例例2.2.如图，已知任意两个非零向量如图，已知任意两个非零向量 试作试作 你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位三点之间的位置关系吗？为什么？置关系吗？为什么？A AB BC CAC2AB 分析：A A、B B、C C三点共线三点共线

10、a,b ，OAa b ，OBab OCab 2 ，3 .baabbb解：解：分别作向量分别作向量 ，过点，过点A A、C C作直线作直线AC.AC.观察发观察发现，不论向量现，不论向量 怎样变化，点怎样变化，点B B始终在直线始终在直线ACAC上，猜上，猜想想A A、B B、C C三点共线三点共线. . 事实上，因为事实上，因为OA OB OC 、 、AB OB OAa2b(ab)b, =- ACOCOA =a3b(ab) =2b, AC=2AB. ABC. 而于是所以， 、 、 三点共线a b 、例例3.3.如图，如图，ABCDABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M M，且且 =

11、 = ， = = ，试用，试用 , , 表示表示 、 、 和和 . .ABuuu rADMA MBM CMD ABCD ACABADab, DBABADab. : 在平行四边形中，又平行四边形的两条对角线互解相平分，1MAAC2111 (ab)ab;222 brabraM MA B A B D CD Cabr1111MBDB(ab)ab;2222 111MCACab;222 111MDMBDBab.222 1.,R,()(1) 0,a0, aa;(5)0,a0, aa;A.2B.3 C.4 D.5 已知则在以下各命题中正确的说法共有与 方向一定相反与 方向一定相同与 是共线向量与方向一定相同与

12、方向一定相反个个个个D D3.3.计算：计算：11(2a8b)(4a2b)322.(20122.(2012聊城模拟）聊城模拟）在在ABCABC中，已知中，已知D D是是ABAB边上的一边上的一点，点， , ,若若 ，则，则 等于等于（ ）A. B. C. D.A. B. C. D.DBAD2CBCACD31323131322b aA A4.4.根据下列各小题中给出的条件，分别判断四边形根据下列各小题中给出的条件，分别判断四边形ABCDABCD的的形状，并给出证明形状，并给出证明. .1(1)ADBC;(2)ADBC3(3)ABDC,ABAD 且简析简析: :（1 1）平行四边形，一组对边平行且相等）平行四边形，一组对边平行且相等. .（2 2）梯形，一组对边平行且不相等）梯形，一组对边平行且不相等. .（3 3）菱形，一组对边平行且相等，一组邻边相等）菱形，一组对边平行且相等，一组邻边相等. .5.5.如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点M M是是ABAB的中点，点的中点，点N N在线在线段段BDBD上，且有上，且有BN= BDBN= BD，求证：，求证：M M、N N、C C三点共线三点共线. .31ABCDMN提示：设提示：设 ，AB=a BCb, 则则 11ab ,631ab2M C113ab63（） .MN 一、一、 的定义及运算律的定