面面垂直答案

1、1已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60°，BPC=90 °求证：平面ABC平面PBC【答案】【解析】要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明： 取BC中点D 连结AD、PD PA=PB；APB=60° PAB为正三角形 同理PAC为正三角形 设PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD为直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC2如图（1）在直角梯形ABCD中

2、，AB/CD，ABAD且AB=AD=CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿AD将正方形翻拆，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直如图（2）。ABCDEF图2ABEC图1FD（1）求证平面BDE平面BEC（2）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值。【答案】证见解析 【解析】（1）由折前折后线面的位置关系得平面，所以，又在中，三边满足勾股定理，。由线面垂直的判定定理即证得结论。（2）因为只需求出点到平面的距离也是点到平面的距离，易证出，平面，由面面垂直的判定定理得平面平面，中边上的高就是点到平面的距离。根据线面角的定义可求直线BD与平面BEF所成角的正弦值。3（本小题满分14分）

3、ABCDA1B1C1D1EF如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点（1）求证：EF平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1平面CB1D1【答案】（）略（）略【解析】（1）证明：连结BD.在长方体中，对角线. 2分又 E、F为棱AD、AB的中点， . . 4分又B1D1平面，平面，EF平面CB1D1. 7分（2） 在长方体中，AA1平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，AA1B1D1.9分又在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1， B1D1平面CAA1C1. 又 B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1平面CB1D114分4如图，四棱锥中，

4、底面为平行四边形，底面.(1)证明：平面平面； (2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值。【答案】（1）略（2） 【解析】本试题主要是考查了面面垂直的证明和二面角与线面角的求解的综合运用。考查了同学们的逻辑推理能力和计算能力，以及分析问题和解决问题的能力。（1）根据面面垂直的判定定理，先得到线面垂直，然后得到结论。（2）对于该试题可以合理的建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量，得到向量与向量的夹角，从而得到线面角的表示。5如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，若、分别为、的中点.() /平面；() 求证:平面平面； 【答案】 同解析【解析】)证明：连结，在中，的中位线,/，且平

5、面,平面， ()证明：面面，平面面，平面，又,面面 6 (本小题12分) 如图，四棱锥PABCD的底面是正方形, PA底面ABCD, PA2, PDA=45°, 点E、F分别为棱AB、PD的中点. （1）求证: AF平面PCE; （2）求证: 平面PCE平面PCD; （3）求AF与平面PCB所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）30°【解析】证明: （1）取PC的中点G，连结FG、EG，FG为CDP的中位线 FGCD 四边形ABCD为矩形，E为AB的中点ABCD FGAE 四边形AEGF是平行四边形 AFEG 又EG平面PCE，AF平面PCE AF

6、平面PCE （2） PA底面ABCDPAAD，PACD，又ADCD，PAAD=ACD平面ADP ，又AF平面ADP CDAF 直角三角形PAD中，PDA=45°PAD为等腰直角三角形 PAAD=2 F是PD的中点，AFPD，又CDPD=DAF平面PCD AFEGEG平面PCD 又EG平面PCE 平面PCE平面PCD（3）过E作EQPB于Q点, 连QG, CB面PAB QE面PCB, 则QGE为所求的角. SPEB=BE·PA=PB·EQEQ= 在PEC中, PEEC, G为PC的中点, EG,在RtEGQ中, sinEGQ= EGQ=30°7(本大题14

7、分)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点（1）求证：B1D1面EFG（2）求证：平面AA1C面EFG 【答案】证明略【解析】8如图，在空间四边形中，分别为，和对角线的中点求证：平面平面【答案】证明见答案【解析】，是的中点，平面又，平面，平面，平面平面9如图，在三棱锥中， ABC第19题 图（1）求证：平面平面（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； （3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.【答案】（1）见解析 （2） 直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。 （3）。 【解析】本试题主要是考查

8、了面面垂直的证明，以及线面角的求解，以及二面角的大小的求解的综合运用。考查了同学们的空间想象能力和逻辑推理能力和计算能力的综合运用。（1）利用线面垂直的判定定理，求证面面垂直的证明。（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量和直线的方向向量，利用数量积的性质得到线面角的求解。（3）借助于上一问中的向量坐标，平面的法向量的法向量的夹角与二面角的平面角的大小相等或者互补解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OPOC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，OA=OB=OC,POAPOBPOC,OPOBOP平面ABC, OP在平面PAC中，平面平面 4分（2） 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别

9、为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ), 5分 设平面PBC的法向量，由得方程组，取 6分 直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。 8分（2）由题意平面PAC的法向量， 设平面PAM的法向量为 又因为 取 11分B点到AM的最小值为垂直距离。1910（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，（）证明：平面平面；（）求二面角的大小【答案】（）证明见解析。（）【解析】解法一：（）平面平面，在中，又，即又，平面，平面，平面平面（）如图，作交于点，连接，由已知得

10、平面是在面内的射影由三垂线定理知，为二面角的平面角过作交于点，则，在中，在中，即二面角为解法二：（）如图，建立空间直角坐标系，则，点坐标为，又，平面，又平面，平面平面（）平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则，如图，可取，则，即二面角为11如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C平面ABCD（1）证明：BDAA1；（2）证明：平面AB1C/平面DA1C1（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP/平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析。（2）证明见解析。（3）存在【解析】证明：（1）连BD， 面ABCD为菱形，BDAC由于平面AA1C1C平面ABCD，则BD平面AA1C1C 故： BDAA1 （2）连AB1，B1C，由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知AB1/DC1，AD/B1C，AB1