函数与方程 (2)

1、4.1 函数与方程问题提出问题提出一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a0)0)的根与二次函数的根与二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象有什么关系的图象有什么关系? ?填表填表:一元二次方程一元二次方程方程的根方程的根二次函数二次函数二次函数的图象二次函数的图象图象与图象与x轴轴的交点的交点X2-2x-3=0X2-2x+1=0X2-2x+3=0X1=-1,x2=3X1=x2=1y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3(-1,0),(3,0)(1,0)无实数根无实数根无交点无交点=(x-1)2-4=b2-4ac

2、0=00ax2+bx+c=0的实根的实根有两个不等的实根有两个不等的实根x1,x2有两个相等的实根有两个相等的实根x1=x2无实数根无实数根无交点无交点y=ax2+bx+c图象与图象与x轴的轴的交点交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)对于一般的一元二次方程对于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)与与二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)关系关系.问题提出问题提出一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a0)0)的根与二次函数的根与二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象有什么关系的图象有什么关系? ?归纳归纳

3、:方程方程 ax2+bx+c=0(a0)有实数根有实数根 二次函数二次函数y= ax2+bx+c(a0)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点问题提出问题提出方程方程 ax2+bx+c=0(a0)没没有实数根有实数根 二次函数二次函数y= ax2+bx+c(a0)的图象与的图象与x轴没有交点轴没有交点问题问题:能否把二次函数能否把二次函数y=ax2+bx+c(a0)和一元和一元二次方程二次方程ax2+bx+c=0(a0)的关系推广到一般函的关系推广到一般函数与方程的关系上数与方程的关系上?方程方程f(x)=0的实根情况（有没有的实根情况（有没有?有几个有几个?)函数函数y=f(x)图象与图象与x轴

4、的交点情况轴的交点情况(有没有有没有?有几个有几个?)函数零点的概念函数零点的概念:对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点.结论结论:函数的零点就是方程的实数根函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图也就是函数的图象与象与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.即即方程方程f(x)=0有实数根有实数根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴轴有交点有交点 函数函数y=f(x)有零点有零点例例:观察二次函数观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象的图象(如图如图),我们我们发现函数发现函数f(x)=x2-2x-3在区间在

5、区间-2,1上有零点上有零点.计计算算f(-2)与与f(1)的乘积的乘积,你能发现这个乘积有什么特你能发现这个乘积有什么特点点?在区间在区间2,4上是否也具有这种特点呢上是否也具有这种特点呢?函数零点的性质函数零点的性质:如果函数在区间如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一条曲线,并且有并且有f(a) f(b)0,那么那么,函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零内有零点点,即存在即存在c (a,b),使得使得f(c)=0,这个这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.如果函数在区间如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断

6、的一条曲线,并且有并且有f(a) f(b)0,那么那么,函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零内有零点点,即存在即存在c (a,b),使得使得f(c)=0,这个这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.如果函数在区间如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一条曲线,并且有并且有f(a) f(b)0,那么那么,函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零内有零点点,即存在即存在c (a,b),使得使得f(c)=0,这个这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.例例1:求函数求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数的零点的个数.解：用计算器

7、或计算机作出解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象的对应值表和图象.x123456789F(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表和图可知由表和图可知,f(2)0,则则f(2) f(3)0,这说明函数这说明函数f(x)在区间在区间(2,3)内有零点内有零点.由于函由于函数数f(x)在定义域在定义域(0,+ )内是增内是增函数函数,所以它仅有一个零点所以它仅有一个零点不计算函数值不计算函数值,不列出数据表格不列出数据表格,也不画函数也不画函数f(x)=lnx+2x-6的图象的图象.能得到本题的结论吗能得到本题的结论吗?方法方法1:寻找函数值符号的变化规律寻找函数值符号的变化规律.方法方法2:将函数将函数f(x)=lnx+2x-6零点个数转化为零点个数转化为函数函数y=lnx,y=-2x+6的图象交点的个数的图象交点的个数.